误差理论与测量平差基本作业资料

第七章间接平差

§7-1间接平差原理

7.1.01 在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关？误差方程和法方程的个数是多少？

7.1.02 在某平差问題中，如果多余现测个数少于必要观测个数，此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪—个少，为什么？

7.1.03 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的，那么这些观测值的误差方程的常数项都会等于零吗？

7.1.04 在图7-1所示的闭合水准网中，A为已知点（H A=10.OOOm)，P1，P2为高程未知点，测得离差及水准路线长度为：

h1= 1.352m,S1=2km，h2 =-0.531m，S2 = 2km,h3 = - 0.826m,S3 = lkm。试用间接平差法求各髙差的平差值。

7.1.05在三角形(图7-2)中，以不等精度测得

α=78o23′12"，Pα=1;

β= 85o30 '06 "，P? =2;

γ=16o06'32"，Pγ=1;

δ=343o53'24", Pδ=1；

试用间接平差法求各内角的平差值。

7. 1.06设在单一附合水准路线(图7-3)中已知A,B两点高程为H A，H B，路线长为

S1，S2，观测高差为h1 h2，试用间接平差法写出P点高程平差值的公式。

7. 1.07在测站0点观测了6个角度(如图7-4所示)，得同精度独立观测值: L1=32o25'18", L2 =61o14'36",

L3=94o09'40",L4 172010'17"

L5=93o39'48", L6=155o24'20"

已知A方向方位角αA =21o10'15"，试按间接平差法求各方向方位角的平差值。

§7-2误差方程

7.2.08在间接平差中，为什么所选参数的个数应等于必要观测数，而且参数之间要函

数独立?

7.2.09能否说选取了足够的参数，每一个观侧值都能表示成参数的函数?

7.2. 10在平面控制网中，应如何选取参数?

7.2. 11条件方程和误差方程有何异同?

7.2.12误差方程有哪些特点?

7.2. 13图7-5中,A,B为已知点，P1~ P5为待定点，P1, P5两点间的边长为已知，

L1～L6为角度观测值，S1~S6为边长观测值，试确定图中独立参数的个数。

7.2.14在图7-6中，A,B已知点，P1 ~P3为未知点，观测角度L1～L11，若设角度观

测值为参数独立参数有哪些角？

7.2.15s试列出图7-7中各图形的误差方程式(常数项用字母表示)

(I)A,B,C,D为已知点，P1、P5为未知点.观测高差h1~h5，设h2，h4为参数;

(2)A,B为已知点，P1~ P3为未知点，观侧高差h1~h7，设P1点高程、高差h3，h5为参

数;

(3) P1~ P4为未知点，观测高差h1~h6，设P1~ P3点的高程为参数

7.2.16在直角三角形(图7-8)中，测得三边之长为L1 L2和L3

若设参数X?=[X?1X?2]T=[L?1L?3]T，试列出该图形的误差方程式。

7.2. 17为确定某一直线方y=ax+b，在X i(i=1,2,…,5)处

(设x i无误差)观侧了5个观侧值y i

x i/cm 1 2 3 4 5

y i/cm 3.30 4.56 5.90 7.10 8.40

试列出确定该直线的误差方程。

7. 2. 18。在待定点P上,向已知点A,B,C进

行方向观测。如图7-9所示,设Z P?为零方向定向角平差值, L i( i=1，2，3)为方向观测值，A,B,C

点的坐标及P点的近似坐标均列于表中，

试列出全部观侧值的误差方程。

点号X/m Y/m 观测

值（o

′"）

A 826.82

3 393.24

5

Z P21

03

42

B 695.74

1 445.67

8

L125

18

38

C 633.22

6 371.06

2

L271

28

54

P 703.80

0 264.18

L3102

22

36

7. 2. 19在图7-10中,A ,B ,C为已知点，今在其间加测一点P，其近似坐标为X P0=771.365m, Y P0465. 844m.

已知起算数据和观测值列十表中，试列出全部观测

点

号

坐标

X/m Y/m

A B C 867.106

734. 058

598.943

338.796

279.305

372.070

角号 1 2 3 4

观测值79o

51'20"

53o

35'50"

66o

50'10"

63o

00'43"

7.2.20图7-ll中，A,B,C为已知点，P为待定点，网中观测了3条边长L1~L3，起算

数据及观测数据均列于表中，现选待定点的坐标平差值为

参数，其坐标近似值为X P0=

57 578.93m, Y P0=70 998. 26m，试列出各观测边长的误

差方程式

点号

坐标

X/m Y/m

A B C 60509.596

58

238.935

51

946.286

69902.525

74 300.

086

73

416.515

7.2.21有边角网如图7-12所示，A，B，C为已知点，P1P2为待定点，角度观测值为

编号L1L2L3

观测值

/m

3128.86 3367.20 6129.88

标和观测数据均列于表中，若设待定点

坐标为参数，试列

出全部误差方程。

7.2.22有一中心在原点的椭圆，为了确定其方程，观测了10组数据(x i，

y i)(i=1，2，…，10)，已知x i无误差、试列出该椭圆的误差方程。

7.2.23为确定某一抛物线方程y2 =ax，观测了6组数据(x i，y i) (i=1,2,..，6)，

已知

x i无误差，y i为互相独立的等精度观测值，试列出该抛物线的误差方程。

7.2.24某一平差问题列有以下条件方程:

V1-V2+V3 +5=0,

V3-V4-V5 -2=0,

V5-V6-V7 +3=0,

V1+V4+V7 +4=0,

试将其改写成误差方程。

7.2.25某一平差问题列有以下误差方程:

V1 =-X1+3，

V1 =-X2-1，

V1 =-X1+2，

V1 =-X2+1，

V1 =-X1+ X2-5，

试将其改写成条件方程。

§7-3精度评定

7.3.26对控制网进行间接平差，可否在观侧前根据布设的网形和拟定的观测方案来

估算网中待定点的精度，为什么?

7.3.27在间谈平差中，计算V T PV有哪几种途径?简述其推导过程。

7.3.28为什么要求参数函数φ?的协因数Qφ?φ?? 如何求Qφ?φ?？

7. 3. 29已知某平差问题的误差方程为

V 1 =-x ?1, V 2 =-x ?1+2, V 3 =x ?2-1, V 4 =-x ?2, V 5 =?x ?1+x ?2?3,

观测值的权阵为：

??

?

??

?

?

?????????=423

22P ， 试求参数及协因数阵。

7. 3.30已知某平差问题的误差方程为:

V 1 =x ?1+2, V 2 =?x ?1+x ?2?3, V 3 =x ?2 - 1, V 4 =?x ?1 + 6, V 5 =?x ?2 + 5,

观测值的权阵为单位阵，试根据误差方程求单位权中误差估值。 7.3.31如图7-13所示的水准网中，A,B 为已知点P 1~ P 3为待定点，观测高差h 1 ~

h 5，相应的路线长度分别为4km,2km,2km,2km,4km ，若已知平差后每千米观测高差中误差 的估值认σ

?

km

=3mm.试P 2点平差后高程的中误差。

7.3.32对某水准网列出如下误差方程x

???????

?

????????--???????

?????????--=286000101101101?21

x V , 已知Q LL =I,试按间接平差法求: (1)未知参数X ?的协因数阵; (2)未知数函数φ?=X 1??X 2?的权

7.3.33设由同精度独立观测值列出的误差方程为

?????

?

??????-?

?????

??????=3-142-01

11-1-110?V

2141

x 试按间接平差法求Q X ? ，Q L ?X ?， Q L ?

V ，

Q L ?。

7.3. 34在间接平差中，X ?与L

?、L ?与V 是否相关?试证明之。 7.3.35 如图7.14所示的水准网中，A 为已知水准点，B,C,D 为待定高程点，观测了6

段高差h 1~h 6,,线路长度S 1 =S 2 =S 3 =S 4=1km, S 5 =S 6=2km ，如果在平差中舍去第6段线

路的高差h,，问平差后D 点高程的权较平差时不舍去h 6时所得的权缩小了百分之几

?

7. 3.36如图7-15所示的水准网中，A，B为已知点，P1~P3为待定点，独立观测了8段

路线的高差h1~h8，路线长度S1 =S2 =S3 =S4=S5 =S6 =S7 =1km,S8=2km,试问平差后哪一点高程精度最高，相对于精度最低的点的精度之比是多少?

7.3.37在图7-16所示的三角形中，A,B为已知点，C为待定点。A,B点的已知坐标,C点的近似坐标及AC和BC边的近似边长列于图中(均以km为单位)，试按间接平整法求C点坐标的权倒数和相关权倒数(设ρ"=2x105,参数以m为单位)。

7.3.38某一平差问题按间接平差法求解，已列出法方程为

8x?1-2x?2+2.4=0，

?2x?1+7x?2?3.2=0，

试计算函数的φ?=?x?1+x?2权。X?D x?1

7.3.39在三角网(如图7.17所示)中，A,B,C为已知点，D为待定点，观测了6个角度

L1–L6,设D点坐标为X?=[X?D X?D]T参数，已列出其至已知点同的方位角误差方

程:

δα

DA

= - 4. 22x ?D + 1. 04y ?D ,

δαDB

=0.30x ?P -5.96y ?D ,

δα

DA

= 2.88x ?D + 2.28y ?D ,

试写出角 BDC 平差后的权函数式。

7. 3.40 有水准网如图7-18所示，A,B,C,D 为已知点，P 1、P 2为未知点，观测高差h 1- h 5

，路线长度为S 1 =S 2 =S 5 =6km,S 3 =8km,S 4 =4km ，若要求平差后网中最弱点平差后高程中误差≤5mm ，试估算该网每千米观测高差中误差应为多少。 7.3.41在图7-19的大地四边形中，A,B 为已知点，C,D 为未知点，L 1～ L 8为角度观测

值，若设未知点的坐标为参数，试写出求CD 边长平差值中误差的权函数式。

§7-4水准网平差示例

7. 4. 42 在水准网平差中，定权式为P i =C

S i

，S i 以km 为单位，当令c=2

时，经平差计

算求得的单位权中误差σ?

代表什么量的中误差?在

令c=1和c=2两种情况下，经平差分别求得的V, L ?，σ?0

以及[PVV ]相同吗”

7.4.43在图7-20所示的水准网中，A,B 为已知 点H A =10. 210m,H B =12.283m,观测各点间的高差 为:

h 1 =1.215m, h 2=0.852m, h 3=0. 235m, h 4=-2. 311 m, h 5=0. 150m, h 6 =1.062m, h 7 = 1.931m, h 8 =-2. 166m

设观测值的权阵为单位阵(各路线长度相

同)，试按间接平差法求待定点C,D,E 最或 是高程及其中误差。

7. 4. 44水准网(如图7-21所示)中，A,B 为已知点，H A =5.530m, H B = 8.220m,观测高 差和各路线长度为:

h 1 =1. 157m, S 1 =2km, h 2=I.532m, S 2 =2km,

h3 =-2.025m, S3 =2km,

h4=0. 663m, S4 =2km,

h5 =0.498m, S5 =4km,

试按间接平差法求(1)待定点C,D最或是高程;(2)平差后C,D间高差的协因数Qφ?及中误差σφ?(3)在令c=2和c=4两种情况下，经平差分别求得的Q

σφ?

φ?，是否相同?为什么?

7.4.45有水准网如图7-22所示，A,B为已

知点，H A=21. 400m，H B =23. 810m，各路线观侧离

差为：

h1 =1.058m, h2 = -0.912m,

h3=0. 446m, h4 = -3, 668m,

h5=1. 250m, h6=2.310m h7 =-3.225m

设观测高差为等权独立观测值.试按间接平

差法求P1 P2 P3等待定点平差后的高程及中误差。

7.4.46在图7-22所示的水准网中，加测了两条水准路线8,9（如图7-23所示),h8 =

1.973m,h9=-1.354m，其余观测高差见题7.4.45。设观侧高差的权为单位阵，

(1)增加了两条水准路线后，单位权中误差是否有所变化？

(2)增加了两条水准路线后，待定点P1 P2 P3平差后高差的权较之未增加两

条水准路

线时有何变化？

§7-5间接平差特例—直接平差

7.5.47有附合水准路线(图7-24),P为待定点，A,B为已知点其高程为H A H B ，观测

高差为h1，h2，相应的路线长度为S1 km, S2 km，试求P点平差后高程的权P X。

7. 5. 48在如图7-25所示的水准网中已知高程

H A =53 m, H B =58.00 m,测得高差(设

每条线路长度相等)

h1 =2.95 m

h2 =2.97 m

h3=2.08 m

h4 =2.06 m

试求: (I)P点高程的平差值;

(2)P点平差后高程的权倒数。

7.5.49在如图7-26所示的水准网中，A,B,C为已知点，P为待定高程点，已知H A =2I.910m, H B = 22. 870 m, H C = 26.890m，观测高差

及相应的路线长度为:

h1 =3.552m h2 =2.605m, h3=1.425m,

S1 =2km, S2 =6km, S3 =3km,

试求;(1)P点的最或是高程;

(2)P点平差后高程的权(当c=1时)

7.5.50按不同的测回数观测某角，其结果如下:

观测值测回数

78o18′05" 5

09 5

08 8

14 7

15 6

10 3

设以5测回为单位权观测试求

(1)该角的最或是值及其中误差(2)一测回的中误差

§7-6三角网坐标平差

7.6.51在图7-27所示的测角网中，A.B,C为已知点，P点为待定点。已知点坐标和P

点的近似坐标为:

X A =4 728. 008 m,Y A=227. 880 m;

X B =4 604.993 m, Y B=362.996m;

X C =4 750. 191 m, Y C=503.152m;

X P0=4 881. 27m, Y P0=346. 86m。

角度同精度观测值:L1= 94o29'32", L2=

44o20'36. 3", L3=47o19'43. 3",L, =85o59'51. 6",

设P点的坐标平差值为未知参数, X?=[X?P Y?P]T，试按间接平差法，

(1)列出误差方程及法方程;

(2)计算P点坐标平差值及协因数阵Q

7.6.52在三角形ABC中(如图

X?，

7-28所示)

A,B为已知点，C点为待定点，已知点坐标为:

X A=1km, Y A=1km,

X B=1km, Y B=6km,

C点的近似坐标为:

X C0=5.3km, Y C0=3.5k.,

近似边长：

S AC0=5.9km，S BC0=5. 0km

L1，L2，L3，是同精度角度观测值。试按间接平差法求C点坐标的权倒数及相关权倒数。

7.6.53在图7-29所示的三角网中A,B为已知点，P1，P2为待定点，已知点坐标为X A=867. 156m, X A=252. 080m,X8 =638. 267m,Y, =446.686m,待定点近似坐标为:

X P 10=855.050m ，Y P 10=491.050m ， X P 20=634.240m ，Y P 1

0=222.820m ， 同精度角度观测值为:

L 2=94o15'21", L 2=43o22'42", L 2=38o26'00", L 2=102o35'52", L 2=38o58'01", L 2=42o21'43" 设P 1 ，P 2点坐标平差值为参数

x ?

41

=[X ?P 1Y ?P 1X ?P 2Y ?P 2

]T

，试按坐标平差法求 (1 ) P 1 ，P 2点坐标平差值及点位中误差;

(2)观测值的平差值L

? 7.6. 54在图7-30所示的测角网中，A,B,C 为已知点，

P 1 ，P 2为待定点，L 1～ L 10为角度观测值已，知点坐标与待定点 近似坐标为

点号

坐标 X/m Y/m A B C

883.2892 640.2838 612.0508

259.1385 144.1899 463.8277

同精度角度观侧值为 试按坐标平差法求 (1)误差方程及法方程;

(2)待定点最或是坐标及点位中误差; (3)观测值改正数及平差值。 7.6.55有三角网如图7-31所示，已知BH 边的方位角为αBH

= 284o57'29.

5",A , B 为

已知点，其坐标为;

X A =97 689. 562m Y A =31 970. 853m X B =102 344. 255 m, Y B =34 194. 167 m, C,D,E 点为待定点、观

测角值为 角号

观测值

角号

观测值

角号

观测值

近似坐标/m

X 0/m Y 0/m 点号

777.416

320.647 504.160

844.971

编号 观测值（o ′ 1 55 28 13.2 2 97 41 53.9 3 93 02 06.0 4 44 03 51.6 5 50 42 44.3 6 59 57 57.2 7 69 19 22.1 8 99 56 38.2 9 29 05 51.3 10

50 57 29.