常微分方程试题

一单项选择题(每小题2分, 共40分)

1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个.

(1) (2)

(3) (4)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ).

A. 当时,

B. 当时,

C. 当时,

D. 当时,

3. 微分方程的一个解是( ).

A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ).

A. B. C. D.

5. 若方程是恰当方程, 则（）.

A. B. C. D.

6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ).

A. B.

C. D.

7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程.

A. B. C. D.

8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解.

A. B.

C. D.

9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ).

A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关

B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关

C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关

D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性

10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程

的通解是( )

A.(是任意常数, 下同)

B.

C.

D.

11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ).

A. 0, 1, 1

B. 0, 1, -1

C. 1,

D. 1,

12. 方程的基本解组是( ).

A. B.

C. D.

13. 方程的待定特解可取如下( )的形式:

A. B.

C. D.

14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则

和

的伏朗斯基行列式( ).

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ).

A. B. C. D.

16. 方程组满足初始条件的解为( ).

A. B. C. D.

17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

如下叙述中, 正确的是( ).

A.的每个列向量是该方程组的解向量且在某一点为零

B.的每个行向量是该方程组的解向量且

C.的每个列向量是该方程组的解向量且恒不为零

D.的每个行向量是该方程组的解向量且恒不为零

18. 设A是n阶常数方阵, 是A的一个特征值, 则方程组有解为

,

其中是( )

A. 矩阵A的对应于的特征向量

B. 任意向量

C. 矩阵A任意一个行向量

D. 矩阵A的任意一个列向量

19. n阶函数方阵在上连续, 方程组有两个基解矩阵和

,

如下叙述中, 正确的是( ).

A.存在非奇异的常数矩阵C, 使得

B.存在非奇异的常数矩阵C, 使得

C.存在非奇异的常数矩阵C, 使得

D.存在非奇异的常数矩阵C, 使得

20. 设和都是由方程组的n个解向量所组成的方阵, 其中

是在上连续的函数方阵, 是连续的列向量, 则如下断言中正确

的为( ).

A.必是方程组的基解矩阵

B.仍是方程组的解矩阵

C.是方程组的解矩阵

D.也是方程组的解矩阵.

二简答题(每小题3分, 共15分)

21. 写出把方程化为变量分离方程的变换, 并将变换后的方程进行变量分离.

22. 试写出二阶欧拉方程的一个基本解组

23. 写出初值问题的第二次近似解.

24. 函数和都是初值问题的解. 试用解的唯一存在性定理解释这个初值问题的解存在但不唯一的原因.

25. 已知三阶方阵的特征值为1, 1, 2, 对应的特征向量分别为试写出

方程组的标准基解矩阵(既当t=0时为单位矩阵的基解矩阵).

三计算题(一) (每小题5分, 共15分)

26. 解方程.

27. 解方程.

28. 求解方程, 其中.

四计算题(二) (每小题6分, 共18分)

29. 解方程.

30. 求方程组的一个基解矩阵, 其中.

31. 求解方程.

五应用题 (6分)

32. 求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互

垂直.

六证明题 (6分)

33. 设都是区间上的连续函数, 且是二阶线性方程

的一个基本解组. 试证明:

(i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和没有共同的零点;

(iii) 和没有共同的零点.

一. 求解下列常微分方程: (每小题10分, 共50分)

(1) .

(2) .

(3) .

(4) .

(5) .

二. (15分) 求二阶常系数微分方程的通解.

三. (15分) 设, , . (1) 求齐线性方程组

的基解矩阵；(2) 求非齐线性方程组满足初始条件的

的解.

四. (10分) 设有方程, 其中在中连续且

.

(1) 试写出此方程的通解的表达式.

(2)设，证明存在并求出极限值.

五. (10分) 设是连续的阶方阵, 又和分别是方程组

和的解矩阵，证明.