阻尼振荡的数学本质分析

第17卷第4期2005年8月

军械工程学院学报

Journal of O rdnance Engineering College

Vol117No14

Aug.,2005

文章编号:1008-2956(2005)04-0072-03

阻尼振荡的数学本质分析

林亮亮1,张飞龙2

(1.河北经贸大学信息技术学院,河北石家庄　050061;2.军械工程学院电气工程系,河北石家庄　050003)

摘要:用微分方程定性理论,从平面自治系统奇点的性态角度出发分析了阻尼振荡的数学本质。以全新的视角讨论了三种阻尼情况的本质区别,由此引出了系统在平衡态的稳定性问题。进一步用系统稳定性理论论述了自激振荡器的设计思想。该分析方法也是研究非线性动态电路、动力系统稳定性的有效方法。

关键词:阻尼振荡;稳定性分析;奇点理论;极限环

中图分类号:T M132;O175112 文献标识码:A

M a thema ti ca l Essence Ana lyses of Dam ped O sc ill a ti on

L I N L iang-liang1,Z HANG Fei-l ong2

(1.School of I nf or mati on and Technol ogy,Hebei University of Econom ics and Trade,Shijiazhuang　050061,China;

2.Depart m ent of Electrical Engineering,O rdnance Engineering College,Shijiazhuang　050003,China)

Abstract:The mathe matical essence of da mped oscillati on is researched with the qualitative theory of differential equati on fr om the odd characters of the p lane aut onomous syste m.Three kinds of da mped conditi ons are discussed with ne w angle of vie w,and then p r oble m s of syste m stability are leaded and the p rinci p le of self-sustained oscillati on is stated.It is an effective way t o analyze the stability of nonlinear circuit and dyna m ic syste m.

Key words:da mped oscillati on;stability analysis;odd theory;li m it cycle

凡是与变化率有关的问题几乎都可以用微分方程模型来研究。为了弄清一个实际系统随时间变化的规律,需要讨论微分方程解的性态,通常有3种主要的方法:1)求出方程的解析解(包括级数形式的解);2)求方程的数值解;3)对解的性态进行定性分析。3种方法各有其特点和局限性。在对方程的研究中它们相互补充、相辅相成。当不必求解微分方程而只需要研究当时间趋于无穷时解的渐近性态时,对解的性态进行定性分析便是一种高效而便捷的方法。

阻尼振荡就是一种与变化率有关的问题。在常见的各种电子类教材中通常是通过求解方程的解析解来阐明系统响应的过阻尼、欠阻尼以及临界阻尼情况的,这种方法虽然可以清楚地展示3种阻尼情况的区别以及它们的表现形式,但是不能很好地将收稿日期:2005-04-10;修回日期:2005-05-20

作者简介:林亮亮(1979—),女,硕士研究生,助教.它们的实质抽象出来以说明形成3种阻尼情况的本质原因,更不能从较高的层次对一个系统进行定性分析判断其稳定性。为此,笔者借助数学工具,从研究微分方程奇点性态角度出发,一方面说明了3种阻尼情况形成的本质原因是其所对应系统的方程奇点的性态不同;另一方面该方法对分析一般非线性动态电路以及动力系统的稳定性也是非常有效的工具之一。

1　奇点的分类和平衡态的稳定性讨论具有2个独立状态变量的系统,该系统总可以用2个一阶微分方程来描述。设描述某非线性系统的微分方程为:

d x

d t

=P(x,y)

d y

d t

=Q(x,y)

。(1)

设A (x 0,y 0)是系统(1)的奇点。作变换: x =x -x 0, y =y -y 0,将坐标原点移至奇点处,则:

d

x d t

=P 1( x , y )d

y d t

=Q 1( x , y )。(2)

将P 1、Q 1在点O (0,0)处用二元函数的Tayl or 公式展开,变系统(2)为:d x d t =5P 15 x (0,0)・ x +5P

15 y (0,0)

・ y +P 2( x , y )d y d t =5Q 15 x (0,0)・ x +5Q

15 y (0,0)・ y +Q 2( x , y ),(3)

式中:P 2、Q 2是关于 x , y 的非线性项。根据Perr on 定理,当系统(3)所对应的线性系统的Jacobian 矩阵行列式非零,而且非线性项在O 点邻域内为解析函数时,双曲奇点O 的类型将由其线性化系统完全确定。

为了研究轨线在奇点O (0,0)邻域内的定性结构,需要将线性系统化为标准型。由线性代数的理论可知,存在矩阵T,使T -1

A T 成为Jordan 标准型。其中A 为Jacobian 矩阵。从而借助非奇异线性变换

x y =T ξη,将线性系统变为:d d t ξη=T -1

A T ξη。

记:

q =5P 15 x 5P 1

5 y 5Q 15 x 5Q 1

5 y

,p =-

5P 15 x +

5Q 15 y ,Δ=p 2

-4q 。 根据p,q,Δ正负符号不同,对应系统不同的奇点类型。将q ≠0以外的总共5种情况用p -q 参数平面表示,如图1所示。

1)q <0,ξ和η中必有一个随时间增长而增长。

所以奇点相对应的平衡状态是不稳定的。此时奇点

附近的相轨线是双曲线型的。这样的奇点称为鞍点。鞍点是不稳定奇点。

2)q >0,Δ>0。奇点附近轨线是抛物线型的,

相应的奇点称为结点。当p <0时为不稳定结点,当

p >0时为稳定结点。

3)q >0,Δ=0。相应的奇点类型为临界或退化

结点。

4

)q >0,Δ<0。通过作极坐标变换可知此时相轨线在原点附近为对数螺线,

相应的奇点称为焦点,当p <0时为不稳定焦点,当p >0时为稳定焦点。

5)q >0,p =0。此时相轨线由螺线变成以原点为中心的同心圆族。相应的奇点称为中心。

不稳定奇点周围的轨线随着时间的增长逐渐远离奇点,稳定奇点周围的轨线随着时间的增长逐渐接近奇点。各类奇点附近的轨线结构如图2示。

2　典型实例分析

以典型的二阶非线性电路(如图3)为例进行分析讨论。

电路中电感器L,电容器C 为线性元件,电阻器

是流控的。若以u s (t )为激励,u c (t )为响应。试分析各元件参数满足什么条件时,电路的阶跃响应出现过阻尼、临界阻尼、欠阻尼以及等幅振荡的情况。描述该电路的微分方程为:

y ″

(t )+ω02f [Cy ′(t )]+ω02y (t )=ω02

f (t ),式中:ω02

=1LC

,f (Cy ′

)为电阻两端的电压。3

7　第4期 林亮亮等:阻尼振荡的数学本质分析