双曲线焦点三角形
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双曲线焦点三角形 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
双曲线焦点三角形
双曲线
22
22x y 1a b
-=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶点任意一点12F PF γ
∠=，则双曲线的焦点三角形满足：
2
122b PF PF 1cos γ
=
-
其面积为；
122F PF S b co 2
t
γ
∆=.
证明：设21PF m PF n ,==，则m n 2a -=
在
12F PF ∆中，由余弦定理得：
2
2
2
121212
PF PF 2PF PF F F cos γ+-=，
即：222m n 2mn 4c cos γ+-⋅=22224a 4b m n 4b ()=+=-+
即：
2222m n 2mn m n 4b cos ()γ+-⋅=-+
即：2
2mn 2mn 4b cos γ-⋅=，即：
22b mn 1(cos )γ=- 即：
2
2b mn 1cos γ
=-，即：
2
122b PF PF 1cos γ
=
-
那么，焦点三角形的面积为：
12
F PF 1
S mn 2sin γ∆=⋅212b 21sin cos γγ
=⋅
⋅-
222
2b 22b 122
sin cos
sin cos sin
γγ
γ
γ
γ
==⋅-2
b 2
cot
γ
=
故：
122
F PF S b 2cot
γ
∆=
同时：
12
F PF 12P P
1
S F F y c y 2
∆=⋅=⋅，故：
2p b y c 2
cot
γ=±⋅
双曲线的焦点三角形的面积为：
122F PF S b co 2
t
γ
∆=.