高中数学选修1-1各章节作业练习题(附答 案解析)

第一章常用逻辑用语

§1.1 命题及其关系

1.1.1命题

课时目标 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．

1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．

一、选择题

1．下列语句中是命题的是()

A．周期函数的和是周期函数吗？

B．sin 45°＝1

C．x2＋2x－1>0

D．梯形是不是平面图形呢？

2．下列语句中，能作为命题的是()

A．3比5大B．太阳和月亮

C．高年级的学生D．x2＋y2＝0

3．下列命题中，是真命题的是()

A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集

B．若x2＝1，则x＝1

C．空集是任何集合的真子集

D．x2－5x＝0的根是自然数

4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：

①M的元素都不是P的元素；

②M中有不属于P的元素；

③M中有P的元素；

④M中元素不都是P的元素．

其中真命题的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

5．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()

A．这个数能被2整除

B．这个数能被3整除

C．这个数既能被2整除，也能被3整除

D．这个数是6的倍数

6．在空间中，下列命题正确的是()

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

7．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，则a >b .其中真命题的序号是________．

8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是__________________________，结论q 是________________________________．

9．下列语句是命题的是________． ①求证3是无理数； ②x 2＋4x ＋4≥0；

③你是高一的学生吗？

④一个正数不是素数就是合数； ⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0. 三、解答题

10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)偶数能被2整除．

(2)当m >1

4

时，mx 2－x ＋1＝0无实根．

11．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．

能力提升

12．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：

①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则1

4

≤l ≤1；

③若l ＝12，则－2

2

≤m ≤0.

其中正确命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

13．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

②若m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ?α，则l ∥β；

④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

1．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题． 2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．

3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式，改法不一定唯一．

第一章 常用逻辑用语 §1.1 命题及其关系

1．1.1 命题

答案

知识梳理

1．真假 陈述句 真 假 2．条件 结论 作业设计

1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]

2．A [判断一个语句是不是命题，关键在于能否判断其真假．“3比5大”是一个假命题．]

3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D.]

4．B [命题②④为真命题．]

5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]

6．D 7．①④

解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形． 8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称 9．②④⑤

解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数1

2

既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7

＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．

10．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．

(2)若m >1

4

，则mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题．

11．解 若命题p 为真命题，可知m ≤1； 若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.

所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真， 即?

???? m ≤1，m ≥2或?????

m >1，m <2.

故m 的取值范围是1

12．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．

②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥1

4

.

又l ≤1，∴②正确．

③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－2

2≤m ≤0，

∴③正确．]

13．B [①由面面垂直知，不正确；

②由线面平行判定定理知，缺少m 、n 相交于一点这一条件，故不正确； ③由线面平行判定定理知，正确；

④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确． 综上所述知，③，④正确．]

1.1.2四种命题

课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．

1．四种命题的概念：

(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．

(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．

(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

2．四种命题的结构：

用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：

原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．

逆命题：________________________.即“若q，则p”．

否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．

逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”．

一、选择题

1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

2．命题“若A∩B＝A，则A?B”的逆否命题是()

A．若A∪B≠A，则A?B

B．若A∩B≠A，则A?B

C．若A?B，则A∩B≠A

D．若A?B，则A∩B≠A

3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()

A．它的逆命题是真命题

B．它的否命题是真命题

C．它的逆否命题是假命题

D．它的否命题是假命题

4．有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

④若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．

其中的真命题是()

A．①②B．②③C．①③D．③④

5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()

A．4 B．3 C．2 D．0

6．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()

A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

题号12345 6 答案

7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．

8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是

________________________；逆命题是______________________；否命题是

________________________．

9．有下列四个命题：

①“全等三角形的面积相等”的否命题；

②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；

③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；

④命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆命题．

其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．

三、解答题

10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)正数的平方根不等于0；

(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；

(3)对顶角相等．

11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

能力提升

12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()

A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．

1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转

换．

2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．

1．1.2四种命题答案

知识梳理

1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定

2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立

若綈q成立，则綈p成立

作业设计

1．B[由a>－3?a>－6，但由a>－6 a>－3，

故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]

2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]

3．D 4.C

5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]

6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数

f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]

7．若x≤y，则x3≤y3－1

8．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数

能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数

各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除

9．②③

10．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．

逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．

否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．

逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．

(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．

逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．

否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．

逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．

(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．

逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．

否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．

逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．

11．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．

否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．

(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．

逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．

12．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]

13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．

否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.

逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空

解集．

原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．

1.1.3四种命题间的相互关系

课时目标

1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．

2．会利用命题的等价性解决问题．

1．四种命题的相互关系

2．四种命题的真假性

(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

真假假真

假真真假

假假假假

(2)

①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．

一、选择题

1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()

A．若q不正确，则p不正确

B．若q不正确，则p正确

C．若p正确，则q不正确

D．若p正确，则q正确

2．下列说法中正确的是()

A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真

B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价

C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”

D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()

A．能被2整除的整数，一定能被6整除

B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除

C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除

D ．不能被2整除的整数，一定不能被6整除

4．命题：“若a 2＋b 2＝0 (a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0 B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0

C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0

D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0

5．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )

A ．都真

B ．都假

C ．否命题真

D ．逆否命题真

6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ?α，m ?β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )

A ．①是真命题，②是假命题

B ．①是假命题，②是真命题

C ．①②都是真命题

D ．①②都是假命题

7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ??U A ，则a ∈A ”的逆命题是______________________________________，它是______(填“真”“或”“假”)命题．

8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”或“假”)

9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1

b

，

则a

三、解答题

10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．

11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.

能力提升

12．给出下列三个命题：

①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b

1＋b

；

②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n

2

；

③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

13．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．

1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．

2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．

1．1.3 四种命题间的相互关系 答案

知识梳理

1．若q ，则p 若綈p ，则綈q 若綈q ，则綈p 2．(2)①相同 ②没有关系 作业设计

1．D [原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D 3.D

4．D [a ＝b ＝0的否定为a ，b 至少有一个不为0.] 5．D [原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．] 6．D

7．已知a ∈U (U 为全集)，若a ∈A ，则a ??U A 真

解析 “已知a ∈U (U 为全集)”是大前提，条件是“a ??U A ”，结论是“a ∈A ”，所以原命题的逆命题为“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∈A ，则a ??U A ”．它为真命题．

8．假 9.①②

10．解 逆命题：若方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，则m >2，假命题．否命题：若m ≤2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋3m ＝0有实根，则m ≤2，真命题．

11．证明 假设a ＋b <0，即a <－b ， ∵f (x )在R 上是增函数，∴f (a )

即原命题的逆否命题为真，故原命题为真． ∴a ＋b ≥0.

12．B [①用“分部分式”判断，具体： a 1＋a ≥b 1＋b ?1－11＋a ≥1－11＋b ?11＋a ≤11＋b ，又a ≥b >－1?a ＋1≥b ＋1>0知本命题为真命题．

②用基本不等式：2xy ≤x 2＋y 2 (x >0，y >0)，取x ＝m ，y ＝n －m ，知本命题为真． ③圆O 1上存在两个点A 、B 满足弦AB ＝1，所以P 、O 2可能都在圆O 1上，当O 2在圆O 1上时，圆O 1与圆O 2相交．故本命题为假命题．]

13．解 能确定．理由如下：

显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．

①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.

②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.

从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．

§1.2充分条件与必要条件

课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．

1．如果已知“若p，则q”为真，即p?q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．

2．如果既有p?q，又有q?p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p?q且q?p，则p是q的________________________条件．

一、选择题

1．“x>0”是“x≠0”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．设集合M＝{x|0

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()

A．必要不充分条件B．充分不必要条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

7．用符号“?”或“?”填空.

(1)a>b________ac2>bc2；

(2)ab ≠0________a ≠0.

8．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2

9．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________． 三、解答题

10．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件： (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y .

(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．

11.已知P ＝{x |a －4

能力提升

12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为

min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为

l ＝max ??????a b ，b c ，c a ·min ????

??

a b ，b c ，c a ，

则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．

1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断．

2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ?B 证明了必要性；B ?A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ?B 证明了充分性；B ?A 证明了必要性．

§1.2 充分条件与必要条件 答案

知识梳理

1．充分条件 必要条件

2．p ?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计

1．A [对于“x >0”?“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．] 2．A [∵q ?p ，∴綈p ?綈q ，反之不一定成立，

因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]

3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]

4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]

5．A [l ⊥α?l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]

6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1

a

<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符

合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有

一根为－1

2

，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一

个负数根”的充分不必要条件．]

7．(1) ? (2)? 8．a >2

解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2－a ，即a >2.

9．b ≥－2a

解析 由二次函数的图象可知当－b

2a

≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在

[1，＋∞)上单调递增．

10．解 (1)∵|x |＝|y |?x ＝y ， 但x ＝y ?|x |＝|y |，

∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．

(2)△ABC 是直角三角形?△ABC 是等腰三角形． △ABC 是等腰三角形?△ABC 是直角三角形． ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件． (3)四边形的对角线互相平分?四边形是矩形． 四边形是矩形?四边形的对角线互相平分． ∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 11．解 由题意知，Q ＝{x |1

????

a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．

12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，

∴l ＝max ??????a b ，b c ，c a ·min ????

??

a b ，b c ，c a ＝1×1＝1.

∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．

∵a ≤b ≤c ，∴max ??????a b ，b c ，c a ＝c

a .

又∵l ＝1，∴min ??????a b ，b c ，c a ＝a

c

，

即a

b＝

a

c或

b

c＝

a

c，

得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．

∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]

13．解当{a n}是等差数列时，∵S n＝(n＋1)2＋c，

∴当n≥2时，S n－1＝n2＋c，

∴a n＝S n－S n－1＝2n＋1，

∴a n＋1－a n＝2为常数．

又a1＝S1＝4＋c，

∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，

∵{a n}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.

∴c＝－1，反之，当c＝－1时，S n＝n2＋2n，

可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，

∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.

§1.3简单的逻辑联结词

课时目标 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．

1．用逻辑联结词构成新命题

(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．

(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．

(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作________或____________．

2．含有逻辑联结词的命题的真假判断

一、选择题

1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是()

A．“p∨q”为真，“綈q”为假

B．“p∧q”为假，“綈p”为真

C．“p∧q”为假，“綈p”为假

D．“p∨q”为真，“綈p”为真

2．已知p：?，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p ∧q”，“p∨q”中，真命题有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．下列命题：

①2010年2月14日既是春节，又是情人节；

②10的倍数一定是5的倍数；

③梯形不是矩形．

其中使用逻辑联结词的命题有()

A．0个B．1个

C．2个D．3个

4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是() A．p、q中至少有一个为真

B．p、q中至少有一个为假

C．p、q中有且只有一个为假

D．p为真，q为假

5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则()

A．p假q真B．p真q假

C．p∨q为假D．p∧q为真

6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是()

A．10或15是5的倍数

B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1

C．方程x2＋1＝0没有实数根

D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形

7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________(填“真”，“假”)命题．8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．

9．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p∨q、p∧q、綈p中的真命题是________．

三、解答题

10．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．

(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；

(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；

(3)p：0∈?；q：{x|x2－3x－5<0}?R；

(4)p：5≤5；q：27不是质数．

11．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

能力提升

12．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y ＝|x－1|－2 的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则()

A．“p或q”为假B．“p且q”为真

C．p真q假D．p假q真

13．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．

1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．

设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p∧q?x∈A且x∈B?x∈A∩B；p∨q?x∈A或x∈B ?x∈A∪B；綈p?x?A?x∈?U A.

2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断

当p、q都为真，p∧q才为真；当p、q有一个为真，p∨q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．

3．含有逻辑联结词的命题否定

“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)，?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)”．

§1.3简单的逻辑联结词答案

知识梳理

1．(1)p∧q“p且q”(2)p∨q“p或q”

(3)綈p“非p”“p的否定”

作业设计

1．C[p假q真，根据真值表判断“p∧q”为假，“綈p”为真．]

2．B[∵p真，q假，∴綈q真，p∨q真．]

3．C[①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]

4．C[因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．

又因为p∧q为假，所以p、q一真一假或都是假命题，所以p、q中有且只有一个为假．] 5．C[命题p、q均为假命题，∴p∨q为假．]

6．D[A中的命题是p∨q型命题，B中的命题是假命题，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p∧q型，且为真命题．]

7．或真

8．[1,2)

解析x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，

即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，

所以1≤x<2，即x∈[1,2)．

9．綈p

解析对于p，当a>0，b>0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，故p假，綈p为真；对于q，抛物线

y ＝x 2－x ＋1的对称轴为x ＝1

2，故q 假，所以p ∨q 假，p ∧q 假．

这里綈p 应理解成|a |＋|b |>|a ＋b |不恒成立， 而不是|a |＋|b |≤|a ＋b |.

10．解 (1)p 为假命题，q 为真命题．

p 或q ：1是质数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题． p 且q ：1既是质数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题． 綈p ：1不是质数．真命题． (2)p 为假命题，q 为假命题．

p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题． 綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题． (3)∵0??，∴p 为假命题，

又∵x 2－3x －5<0，∴3－292

2

，

∴{x |x 2－3x －5<0} ＝?

?????x |3－292

3＋292?R 成立． ∴q 为真命题．

∴p 或q ：0∈?或{x |x 2－3x －5<0}?R ，真命题， p 且q ：0∈?且{x |x 2－3x －5<0}?R ，假命题，

綈p ：0??，真命题．

(4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题，∴p 或q ：5≤5或27不是质数，真命题，

p 且q ：5≤5且27不是质数，真命题，

綈p ：5>5，假命题．

11．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，

则?????

Δ＝m 2

－4>0，－m <0，

解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1

因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真． 又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．

因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真．

所以?

???? m >2，m ≤1或m ≥3，或?????

m ≤2，1

解得m ≥3或1

12．D [当a ＝－2，b ＝2时，从|a |＋|b |>1不能推出|a ＋b |>1，所以p 假，q 显然为真．] 13．解 对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是?，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解不等式得：－3

对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.

又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假．

当p 真q 假时有－3

§1.4全称量词与存在量词

课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

1．全称量词和全称命题

(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．

(2)含有______________的命题，叫做全称命题．

(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．

2．存在量词和特称命题

(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．

(2)含有______________的命题，叫做特称命题．

(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为____________．

3．含有一个量词的命题的否定

(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；

(2)特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.

4．命题的否定与否命题

命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．

一、选择题

1．下列语句不是全称命题的是()

A．任何一个实数乘以零都等于零

B．自然数都是正整数

C．高二(一)班绝大多数同学是团员

D．每一个向量都有大小

2．下列命题是特称命题的是()

A．偶函数的图象关于y轴对称

B．正四棱柱都是平行六面体

C．不相交的两条直线是平行直线

D．存在实数大于等于3

3．下列是全称命题且是真命题的是()

A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Q，x2∈Q

C．?x0∈Z，x20>1 D．?x，y∈R，x2＋y2>0

4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()

A．斜三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x0，使x20>0

C．任一无理数的平方必是无理数

D．存在一个负数x0，使1

x0>2

5．已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则() A．綈p：?x0∈R，sin x0≥1

B．綈p：?x∈R，sin x≥1

C．綈p：?x0∈R，sin x0>1

D．綈p：?x∈R，sin x>1

6．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是()

A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011

B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011

C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011

D．以上都不对

7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为________________．

8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.

9．下列四个命题：

①?x∈R，x2＋2x＋3>0；

②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；

③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．

其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)

三、解答题

10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．

(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.

(2)对任意实数x1，x2，若x1

(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.

(4)?x0∈R，使x20＋1<0.

11．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)有些质数是奇数；

(2)所有二次函数的图象都开口向上；

(3)?x0∈Q，x20＝5；

(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．

能力提升

12．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．13．给出两个命题：

命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，

命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．

分别求出符合下列条件的实数a的范围．

(1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．

1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．

2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．全称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质綈p.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

§1.4全称量词与存在量词答案

知识梳理

1．(1)对所有的对任意一个?(2)全称量词(3)?x∈M，p(x)

2．(1)存在一个至少有一个?(2)存在量词(3)?x0∈M，p(x0)

3．(1)?x0∈M，綈p(x0)(2)?x∈M，綈p(x)

4．结论结论条件

作业设计

1．C[“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]

2．D[“存在”是存在量词．]

3．B[A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．]

4．B

5．C[全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．]

6．C[特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]

7．?x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0

8．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根

9．①②③

10．解(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．

(1)∵a x>0 (a>0，a≠1)恒成立，

∴命题(1)是真命题．

(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1

但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．

(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题．

(4)对任意x 0∈R ，x 2

0＋1>0， ∴命题(4)是假命题．

11．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．

(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．

(3)“?x 0∈Q ，x 20＝5”是特称命题，其否定为“?x ∈Q ，x 2

≠5”，真命题．

(4)“不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m ，使得方程x 2＋2x －m ＝0没有实数根”，真命题．

12．存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3 解析 全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．

13．解 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，

即a >1

3

或a <－1.

乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－1

2

.

(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，

∴a 的取值范围是{a |a <－12或a >1

3

}．

(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：

甲真乙假时，13

2

，

∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值范围为{a|13

2

}．

第二章 圆锥曲线与方程

§2.1 椭 圆

2.1.1 椭圆及其标准方程

课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．

1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于________(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是__________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时__________轨迹．

2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．