2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲主题11 不等式解法线性规划与基本不等式(含详细答案解析)

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2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）

主题11 不等式性质、不等式解法、 线性规划与基本不等式

【主题考法】

本主题考题类型为选择题、填空题，以函数、不等式、三角函数等为载体，考查不等式的 性质、简单不等式解法、简单线性规划解法和基本不等式（重要不等式）应用等，考查运算求解能力、数形结合思想，难度为基础题或中档题，分值为5至10分．

【主题考前回扣】 1．一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解 对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系 数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．

2．一元二次不等式的恒成立问题

(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是???

a ＞0，

Δ<0.

(2)ax 2

＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是?

??

a <0，

Δ<0.

3．分式不等式

f x

g x ＞0(<0)?f (x )g (x )＞0(<0)； f x

g x ≥0(≤0)?

???

f x

g x ≥0≤0，

g x ≠0.

4．基本不等式

(1)a ＋b

2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号．

(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．

5．线性规划

(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．

(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．

(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．

【主题考前回扣】

1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a<0进行讨论．

3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f x

g x≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，

而忽视g(x)≠0.

4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求

函数f(x)＝x2＋2＋

1

x2＋2

的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋

3

x(x<0)时

应先转化为正数再求解．

5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．

6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2

x＋2

是指已知

区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．

【主题考向】

考向一不等关系与不等式的性质应用

【解决法宝】1.判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，有时需要应用相关函数的性质，也可以用作差比较法或作商比较法．学科=网

2

3

2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试， 可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．

例1若a 、b 是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（ ）． A.

1

b a < B. 11

a b

< C. 22a b > D. 33a b > 【分析】利用不等式性质即可判定出错误的不等式.

考向二 不等式的解法

【解决法宝】(1)对于一元二次不等式，首先要看二次项系数a 是否为正，若为负，则将其 变为正数，再求相应一元二次方程的根，再利用大于0的不等式在两边，小于零的不等式在中间，写出一元二次不等式的解集．

(2)对简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是分别利用实数运算性质、指数函数的单 调性、对数函数的单调性等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．

(3)对含参数不等式，常用分类讨论的方法，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分 类标准，有理有据、层次清楚地求解．

（4）解不等式与集合结合命题时，先解不等式确定集合，再按集合的关系与运算求解． （5）分段函数与不等式结合命题，应注意分段求解．

（6）对函数不等式问题，先判断函数图像与性质，再借助函数图象与单调性，将函数不 等式化为简单不等式求解，注意函数定义域.

例2已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足()10xf x ->的x 的取值范围是( )

A. ()(),10,3-∞-?

B. ()()

1,03,-?+∞

C. ()(),11,3-∞-?

D. ()()1,01,3-?

【分析】由实数乘积符号法则知不等式()10xf x ->等价于()0{

10

x f x >->或()0{

10

x f x <-<，

4

再由函数()f x 的性质，即可画出函数()f x 的图象，结合函数图象即可列出关于x 的不等式，即可解出x 的范围

.

考向三 不等式恒成立问题

【解决法宝】不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求 解．注意区分几类问题的解法：①对任意x ∈A ，f(x)>M(或f(x)M(或f(x)

例3若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为（ ）

A.

B.

C.

D.

【分析】由题知，原不等式等价于,然后求函数

在区间

的最小

值，即可求出a 的取值范围.

【解析】原不等式等价于

,由于函数在区间上为增函数,当

,故

.故选D.

考向四 简单线性规划的应用

【解决法宝】解简单线性规划的应用基本思路是：画、移、解、代.技巧是：往往在“角点” 处取得最值，直接代入点的坐标即可；若目标为非线性，关键点是理解目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义：

（1）22)()(b y a x -+-表示点),(y x 与点),(b a 之间的距离；

（2）||C By Ax ++表示),(y x 到直线0=++C By Ax 距离的22B A +倍；（3）a

x b

y --表示点),(y x 与点),(b a 连线的斜率.

例4.已知实数,x y满足

210

10 x y

x y

-+

≥

?

?

--≤

?

，则

22

x y

z

x

++

=的取值范围为（）A．

10

0,

3

??

??

??

B．(]10

,2,

3

??

-∞+∞?

???

U C．

10

2,

3

??

??

??

D．(]10

,0,

3

??

-∞+∞?

???

U 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用目标函数的几何意义．

考向五简单线性规划”逆向”问题，确定参数的取值（范围）

【解决法宝】1.当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.

2.在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答.

3.在约束条件中的二元不等式若含有参数且给定了该参数的取值范围的问题，就意味着直线是“动直线”，则应将该动直线运动的“最大”“最小”位置固定下来，根据运动的趋势确定好不同情况下的可行域，再针对解答目标逐步分析方能获解.学-科网

4.目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究.

例5.若实数x，y满足

320

{2360

230

x y

x y

x y

--≤

+-≥

-+≥

，且使3

c ax y

=++取到最小值的最优解有无穷多个，则实数a的取值是（）

5

6

A. 12-

B. 23

C. 23或3-

D. 2

3

-或3

【分析】作出可行域，作出目标函数，平移直线，结合图象，利用参数a 的几何意义，即可列出关于a 的方程，即可求出a 的值.

【解析】作出可行域，如图，当直线ax c 3y =-+-平行直线AB ，或平行直线BC 时，满足题意，

∴AB 2a 3k =-=-，或AB 3a k ==-,∴a = 2

3

或3-,故选：C

.

考向六 基本不等式应用

【解决法宝】利用基本不等式求最值时应注意：（1）在应用基本不等式求最值时，要把 握三个方法，即“一正——各项（因式）都为正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取等号”，这三个方法缺一不可.

（2）若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值.当多次使用不等式时， 一定要注意每次是否保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.

（3）必须掌握的三个不等式：（1）a ，b R ∈，则222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）.

（2）a ，b R ∈，则22

2

()2a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）.（3）a ，

b R +∈，则2

a b

ab +≥ （当且仅当a b =时取等号）。

例6已知三点()()()1210A B a C b ---，，，，，共线，则122(0,0)a b

a b a b

+++>>的最小值为 A. 11 B. 10 C. 6 D. 4

7

【分析】由题知可找到b a ,的关系，利用常量代换将

1

22(0,0)a b

a b a b

+++>>化成可利用基本不等式的形式，利用基本不等式即可求出最小值.

【主题集训】 1.已知集合， ，则

（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】由题意得

，∴

．选D ．

2.已知集合101x A x x ??

-=??+??， (){|lg 91}B x x =+<，则A B ?=（ ）

A. ()1,1-

B. (),1-∞

C. {}0

D. {}1,0,1- 【答案】A

【解析】由题意得{}110|0|1111x x A x x x x x x ??--??

==<=-<

??，

(){|lg 91}{|0910}{|91}B x x x x x x =+<=<+<=-<<， ∴(){|11}1,1A B x x ?=-<<=-．选A ．

3.若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是（ ） A. 20182018log log a b > B. log log b c a a <

C. ()()c b a c a a c a ->-

D. ()()c b c b a c b a ->- 【答案】C

【解析】根据对数函数的单调性可得20182018log log a b >正确， log log b c a a <正确，∵1a >，

01c b <<<，∴c b a a <， 0a c ->，∴()()c b a c a a c a -<-，故C 不正确，∵0c b -<，

8

∴()()c b c b a c b a ->-正确，故选C.

4.设变量x ，y 满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y 的最小值为（ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．23

【答案】B 【解析】画出不等式

．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线

在

可行域上平移，知在点B 自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以

z min =4+3=7，故选B ．

5.若a 、b 、c 为实数,且a ab >b 2

【答案】D

【解析】若c=0，A

不成立，通过

6．已知,x y 为正实数，则

433x y

x y x

++的最小值为（ ） A ．53 B ．103 C ．3

2

D ．3

【答案】D

9

【解析】由于,x y 为正实数，则3133421334334=-+?+≥-+++=++x

x

y y x x x x y y x x x y y x x ，当且仅当x

x

y y x x +=+334时，等号成立，则其最小值为3，故选D. 7.设ln22a =

， ln33b =， ln55

c =，则,,a b c 三个数从大到小的排列顺序为（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. b c a >> D. c a b >> 【答案】B

【解析】由题意得000a b c >>>，，．∵3ln2ln812ln3ln9a b ==<，∴b a >．又5ln2ln32

12ln5ln25

a c ==>，

∴a c >．∴ b a c >>．选B ．

8.已知,x y 满足约束条件20

220220x y x y x y +-≤??

--≤??-+≥?，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一．．．

，则实数a 的值为（ ）

A ．12或-1

B ．1

2

或2 C.1或2 D ．-1或2

【答案】D

【解析】在直角坐标系内作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示的三角形ABC ，目标函数z y ax =-可变形为y ax z =+，z 的几何意义为直线y ax z =+在y 轴上的截距，因为z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，所以直线y ax z =+与区域三角形的某一边平行，当直线y ax z =+与边线20x y +-=平行时，1a =-符合题意，当直线y ax z =+与边线

220x y --=平行时，1

2

a =

不符合题意，直线y ax z =+与边线220x y --=平行时，2a =符合题意，综上所述，实数a 的值为1-或2，故选D.

9.已知,x y满足约束条件

10

{20

1

x y

x y

x

-+≥

+-≥

≤

,则

x

y

的最小值是

(

)

A. 1

B.

1

2

C.

1

3

D.

1

4

【答案】C

10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

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