高三数学 专题总复习课件 基本不等式及其应用
《高考数学第一轮复习课件》第41讲 不等式的性质与基本不等式及应用
(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１ 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２ 推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３ 推论３:a>b>0 14
3.基本不等式 基本不等式 定理1:如果 、 ∈ 那么 那么a 定理 如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果 且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当 时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组 的实际背景 的实际背景. 等关系，了解不等式 组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 掌握并能运用不等式的性质， 掌握并能运用不等式的性质 握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等 掌握基本不等式， 掌握基本不等式 式解决简单的最大（ 值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮 总复习
理数
第六单元 不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系 不等关系. 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（ 的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式 一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 会解一元二次不等式， 会解一元二次不等式 次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图
第04讲 基本不等式及其应用(十八大题型)(课件)-高考数学一轮复习(新教材新高考)
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2
⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4
B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2
高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，
当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
A．3
B．4
+ − 的最小值是（ C．6
） D．7
解：因为 x＞1，所以 + − =2（x﹣1）+ − +2≥ 当且仅当 2（x﹣1）= − ，即 x＝2 时等号成立， 所以 + − 的最小值是 6． 故选：C．
( − ) × − +2＝6，
二次比一次型
分离常数法
已知函数 f(x)＝x2＋ax＋3(x∈R)．若存在 x∈(－∞，1)，使关于 x 的不等式 f(x)≤a 有
2 ab≥1＋1(a>0，b>0)的应用
ab
【多选题】若正实数 a，b 满足 a＋b＝2，则下列结论中正确的有( )
A．ab 的最大值为 1
B.1＋1的最大值为 2 ab
C. a＋ b的最小值为 2 D．a2＋b2 的最小值为 2
a＋b 2 【解析】 因为 ab≤ 2 ＝1，当且仅当 a＝b＝1 时取等号，则 ab 的最大值为 1，故 A 正确；
2
2
跟踪训练
（多选）（2024•随州模拟）设正实数 a，b 满足 a+b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A． + 有最小值 4
B． 有最小值
C． + 有最大值
解：正实数 a，b 满足 a+b＝1， 对于 A，即有 a+b≥2 ，可得 0＜ab≤ ，
D．a2+b2 有最小值
即有 + = ≥4，即有 a＝b 时， + 取得最小值 4，故 A 正确；
对于 B，由 0＜ ≤ ，可得 有最大值 ，故 B 错误；
对于 C，由 + = + +
=+
≤ +×= ，
1-5-13一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用
[点评]
解含字母参数的不等式时要分类讨论求
解． 当二次项系数中含有字母时要分二次项系数大于 0、 等于 0、小于 0 进行讨论．二次项系数的正、负对不等 号的方向和不等式的解集均有影响．其次，对相应方程 根的大小进行讨论．最后结合相应的二次函数的图象求 得不等式的解集．
数学（理） 第28页
新课标· 高考二轮总复习
第一部分
高考专题讲解
数学（理） 第1页
新课标· 高考二轮总复习
专题五
数列、不等式、推理与证明
数学（理） 第2页
新课标· 高考二轮总复习
第十三讲
一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用
数学（理） 第3页
新课标· 高考二轮总复习
考情分析
1.新课标高考对不等式的要求有所降低．从近两年 的《考试大纲》及高考命题来看，一般只要求掌握不等 关系与不等式、一元二次不等式的解法以及线性规划等 基础内容．高考中不等式的性质、均值不等式的应用和 线性规划多以选择题或填空题的形式出现，而解一元二 次不等式则广泛地渗透到函数、数列、解析几何等知识
数学（理） 第18页
新课标· 高考二轮总复习
1 ③几个常用不等式：a＋a≥2(a>0，当 a＝1 时等号成 立).2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b↔R，当 a＝b 时等号成立)．|a ＋b|≤|a|＋|b|(ab≥0 时等号成立)．|a－b|≤|a|＋|b|(ab≤0 时 等号成立)．
数学（理） 第19页
【探究 1】 解关于 x 的不等式 x2－2mx＋m＋1>0. 分析：这个不等式左端的二次三项式的二次项系数 为正，其对应方程的判别式为 Δ＝4(m2－m－1)，这个 判别式的符号不确定，我们就要根据这个判别式与 0 的 大小关系确定不等式的解．
2024版新高考版高考总复习数学 2-2 基本不等式及不等式的应用
2.2 基本不等式及不等式的应用基础篇考点一基本不等式及其应用1.(2022广东深圳外国语学校月考,6)在下列函数中,最小值为2的是( )A.y=x+1xB.y=lg x+1lgx(1<x<10)C.y=x 2−2x+2x−1(x>1)D.y=sin x+1sinx (0<x<π2)答案C2.(2022重庆西南大学附中月考)已知x,y>0,x+9y+xy=7,则3xy的最大值为( )A.1B.2C.3D.4答案C3.(多选)(2023届山东潍坊五县联考,9)设a>0,b>0,a+b=1,则下列不等式中一定成立的是( )A.ab≤14B.√a+√b≥√2C.2a+2b≥2√2D.ba +4b≥8答案ACD4.(多选)(2022沈阳二中月考)已知a>0,b>0,且ab=4,则( )A.√a+√b≤2√2B.a 2b +b2a≥4C.log2a 2+b2a+b ≥1 D.2a(a-b)>18答案BC5.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( )A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1答案BC6.(2023届湖北摸底联考,14)若函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1)是偶函数,则1a +4b的最小值为. 答案47.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.答案148.(2019天津理,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为. 答案4√39.(2021浙江湖州中学月考)函数y=√2x−1+√5−2x(12<x<52)的最大值是.答案2√2考点二应用基本不等式求解最值考向一配凑法求最值1.(2023届辽宁鞍山质量监测,8)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,经常应用于高中数学竞赛,主要用来处理分式不等式.其表述如下:设a,b,x,y>0,则a 2x +b2y≥(a+b)2x+y,当且仅当ax =by时等号成立.根据权方和不等式可以比较容易得出,函数f(x)=2x+9 1−2x (0<x<12)的最小值为( )A.16B.25C.36D.49答案B2.(2022山东平邑一中开学考,6)实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,则a 2a+1+b2b+1的最小值是( )A.4B.6C.32D.83答案D3.(2023届福建龙岩一中月考,15)已知正实数a,b满足ab+a+b=3,则2a+b的最小值为.答案4√2-34.(2022天津南开中学模拟,13)若实数x,y满足x>y>0,且xy=4,则x−y(x+y)2的最大值为.答案185.(2022湖南湘潭三模,14)已知正数a,b满足a+b=5,则2a+1+12b的最小值为.答案34考向二常数代换法求最值1.(2022河北邢台入学考,7)已知a>0,b>0,且a+b=2,则2a +12b的最小值是( )A.1B.2C.94D.92答案C2.(2022辽宁六校联考,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=|x-m+1|-2,若正实数a、b满足f(a)+f(2b)=m,则2a +3b的最小值为( )A.85B.8+4√35C.8√35D.2√105答案B3.(多选)(2021山东潍坊四中检测,10)已知a>1,b>0,且1a−1+4b=1,则下列命题正确的是( )A.a>2B.ab-b的最小值为16C.a+b的最小值为9D.1a−2+9b的最小值为2答案ABD4.(2021天津二模,14)已知正实数x,y满足x+y=1x +9y+6,则x+y的最小值是.答案85.(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则12a +12b+8a+b的最小值为.答案4考向三两次及以上使用基本不等式求最值1.(2022河北邢台“五岳联盟”10月联考,7)函数f(x)=4x+12x +(√2)x的最小值为( )A.2√2B.2√3C.4D.3√2答案C2.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )A.a2+b2≥12B.2a−b>12C.log2a+log2b≥-2D.√a+√b≤√2答案ABD3.(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,则1a +ab2+b的最小值为.答案2√2综合篇考法不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略考向一恒成立与能成立共存问题1.(多选)(2022湖南衡阳八中模拟,11)已知函数f(x)=-x-1,x∈[-2,2],g(x)=x2-2x,x∈[-1,2],下列结论正确的是( )A.∀x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是a<-3B.∃x∈[-2,2],f(x)>a,则实数a的取值范围是a<1C.∃x∈[-1,2],g(x)=a,则实数a的取值范围是-1≤a≤3D.∀x∈[-2,2],∃t∈[-1,2],f(x)=g(t)答案ABC2.(2022重庆巴南月考,14)已知函数f(x)=x+4x ,g(x)=2x+a,若∀x1∈[12,1],∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是. 答案[12,+∞)考向二函数最值与不等式结合问题1.(2022重庆名校联盟联考,5)已知x>0、y>0,且2x +1y=1,若2x+y>m2+8m恒成立,则实数m的取值范围为( ) A.(-1,9) B.(-9,1)C.[-9,1]D.(-∞,-1)∪(9,+∞)答案B2.(多选)(2023届重庆南开中学质检,10)已知正数x,y满足x+2y=4,若存在正数x,y使得12x +x≤t−2y−1y成立,则实数t的可能取值是( )A.2B.4C.6D.8答案CD3.(2021广东佛山南海石门中学模拟,5)已知x,y∈(0,+∞),且x+y=1,若不等式x2+y2+xy>12m2+14m恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(−32,1)B.[−32,1] C.(-2,1)D.(−∞,−32)∪(1,+∞)答案A4.(2021浙江绍兴模拟,4)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为( )A.(−235,+∞) B.[−235,1]C.(1,+∞)D.(−∞,−235)答案A5.(2021湖南师大附中月考,13)已知函数f(x)=x2+4,g(x)=ax,当x∈[1,4]时,f(x)的图象总在g(x)图象的上方,则a的取值范围为.答案(-∞,4)6.(2021广东云浮月考,15)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=a x(a>0且a≠1),若对任意的x1∈[1,2],都存在x2∈[-1,2],使得f(x1)<g(x2)成立,则实数a的取值范围是.答案(0,14)∪(2,+∞)专题综合检测一、单项选择题1.(2022石家庄二中月考,9)下列命题为真命题的是( )A.若a>b>0,则ac2>bc2B.若a>b,则a2>b2C.若a<b<0,则a2<ab<b2D.若a<b<0,则1a >1b答案D2.(2022辽宁丹东五校联考,9)设1a <1b<0,则( )A.a2>b2B.ab>b2C.a+b≥2√abD.2a+2b>2√2a·2b 答案D3.(2022河北曲阳一中月考,4)已知函数f(x)=log2x2·log2x8,若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2),则1x1+9x2的最小值为( )A.34B.32C.2D.4答案B4.(2022石家庄二中月考,6)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+4y的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案B5.(2022重庆涪陵实验中学期中,6)已知x>0,y>-1,且4x +1y+1=3,则x+y的最小值为( )A.4B.3C.2D.1答案C二、多项选择题6.(2022广州执信中学月考,11)设a,b∈R,则下列结论正确的是( )A.若a<b<0,则(a-1)2<(b-1)2B.若a+b=2,则2a+2b≥4C.若2a-2b>2-a-2-b,则a>bD.若a>b>0,且a+b=1,则a b>b a答案BCD7.(2022辽宁六校协作体期中,10)下列说法正确的是( )A.当xÎ(0,1)时,x√1−x2≤12B.sin2x+2sin 2x的最小值为2√2C.x 2x4+2≤√24D.若a>1,b>12,则2√(log2a)·[log2(2b)]1+log2(ab)≤1答案ACD8.(2022辽宁省部分中学期末,11)三元均值不等式:“当a、b、c均为正实数时,a+b+c3≥√abc3,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有( )A.若x>0,则x2+2x≥3B.若0<x<1,则x2(1-x)≤19C.若x>0,则2x+1x2≥3D.若0<x<1,则x(1-x)2≤19答案AC三、填空题9.(2022重庆七中期中,13)正数a,b满足1a +9b=1,若不等式a+b≥m对任意实数m恒成立,则实数m的最大值是.答案1610.(2022沈阳三十一中月考,15)已知a>b,关于x的不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又存在实数x0,使得a x02+2x0+b=0成立,则a 2+b2a−b的最小值为.答案2√211.(2022广东深圳实验学校月考,14)已知log2(a+4b)=2log2(2√ab),则a+b的最小值是.答案9412.(2022广东阳春一中月考,16)已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|2<x<3},则b c =,b+c+25a+2的最小值为.答案-56813.(2022河北曲阳一中月考,14)已知a,b∈R,且a>b2>0,则a2+1(2a−b)b的最小值是. 答案2。
高考数学-第4节-基本不等式及其应用
错解二：z＝2＋x2xyy2－2xy＝(x2y＋xy)－2≥2 x2y·xy－2＝2( 2－1)，所以 z 的最小值是
2( 2－1)． 错解分析：错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式
一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．
正解：z＝(x＋1x)(y＋1y)＝xy＋x1y＋yx＋xy＝xy＋x1y＋x＋yx2y－2xy＝x2y＋xy－2，
(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意， 明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
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备考指南
基础梳理
典例研习
考点演练
变式探究 31：经观测，某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间有函数关系 y＝v2＋39v2＋0v1600(v>0)．在该时段内，当汽车的平均速度 v 为 多少时流量 y 最大？最大车流量为多少？
常用的几个重要不等式：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a·b>0)．
(5)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0)．
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备考指南
基础梳理
典例研习
1 (A)8 (B)4 (C)1 (D)4 思路点拨：先由已知写出 a 与 b 的关系式，然后用基本不等式求解． 解析： 3是 3a 与 3b 的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，∵a＞0，b＞0， ∴ ab≤a＋2 b＝12⇒ab≤14. ∴1a＋1b＝aa＋bb＝a1b≥11＝4.当且仅当 a＝b＝12时，等号成立．故选 B.
高三高考数学复习课件7-4基本不等式及其应用
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)函数
f(x)＝cos
x＋co4s
π
x，x∈0，
2
的最小值等于
4.(
)
(3)“x>0 且 y>0”是“yx＋yx≥2”的充要条件．(
)
(4) 不 等 式
a2 ＋ b2 ≥ 2ab
与
a＋b 2
≥
ab 有 相 同 的 成 立 条
件．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值
为( )
A．80
B．77
C．81
D．82
【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋2 y≥ xy， 即 xy≤x＋2 y2＝81， 当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81. 【答案】 C
【答案】 D
4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形 场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
【解析】 设矩形的一边为 x m， 则另一边为21×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤x＋（120－x）2＝25， 当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.
＝2 400－5（40－x）＋4400－0x＋40， 当且仅当 40－x＝4400－0x，即 x＝20∈(0，30]时，y 取得最大 值 2 000, 所以当 DN＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大， 最大面积为 2 000 m2.
【思维升华】 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数．
7.2 基本不等式及其应用
5.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运
费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总
存储费用之和最小,则x的值是 30 .
解析:一年的总运费与总存储费用之和为 4x+60������0×6=4 ������ +
900 ������
≥4×2
900=240,当且仅当 x=90������0,即 x=30 时等号成立.
()
知识梳理 考点自诊
随堂巩固
-5-
解析: (2)不等式 a2+b2≥2ab 成立的条件是 a,b∈R;不等式������+2������ ≥ ������������成立的条件是 a≥0,b≥0.
(3)函数 y=x+1������值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值. ((45))函 x>数0 且f(xy)>=0sin是x������+������ +si4n������������������≥的2最的小充值分为条-5件. .
∵a,b 为正数,a+b=1,
∴ab≤
������+������ 2
2
= 14,当且仅当 a=b=12时,等号成立.
于是���1���������≥4,���2���������≥8,当且仅当 a=b=12时,等号成立.
∴
1
+
1 ������
1
+
1 ������
≥1+8=9,
当且仅当 a=b=12时,等号成立.
考点1
考点2
考点3
-13-
利用基本不等式求最值(多考向)
1.4+基本不等式及其应用+课件——2025届高三数学一轮复习
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
－1＝3，当且仅当
x＝2
时，取等号；当
x<0
时，－x＋
－4 x
≥2
－x×
－4 x
＝4，当且
仅当
x＝－2
时，取等号，所以 f(x)＝－
－x＋
－4 x
－1≤－4－1＝－5.综上，函数
f(x)＝
x2－x＋4的值域是(－∞，－5]∪[3，＋∞)． x
6．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为___5_____．
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
(2)由题意得 Sm＝ma＋12m(m－1)×(－4)＝36，即 a＝3m6＋2m－2≥12 2－2，当且仅当 m2＝18 时，等号成立．因为 m∈N*，所以 a>12 2－2.当 m＝5 时，a＝756；当 m＝4 时，a ＝15<756，所以实数 a 的最小值为 15.
x＝y 时，x＋y 有最 小 值 2 p(简记：
积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当
高考数学第7章不等式推理与证明第四节基本不等式及其应用课件理
[方法归纳] 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求 得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义 及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号 取不到，可利用函数的单调性求解.
函数单调性求最值]函数 f(x)＝x＋1x在[2，＋∞)上的最小值为 ________.
解析 若 x＝1x，则 x＝1∉[2，＋∞)，函数 f(x)在[2，＋∞)上
单调递增，所以最小值为 f(2)＝2＋12＝52.
答案
5 2
[当在分母中使用基本不等式或式子前有负号时，注意不等号
方向的改变]
(2)若 x＞0，则 y＝x2＋xx＋4有最______值为________.
1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)
B.[－2，＋∞)
C.[－2，2]
D.[0，＋∞)
解析 (1)作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 由图可知，当目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0) 过点 A(1，1)时，z 取得最大值， ∴a＋b＝4， ∴ab≤a＋2 b2＝4.(当且仅当 a＝b＝2 时取等号)， 又∵a＞0，b＞0， ∴ab∈(0，4]，故选 B.
答案 大 －1
突破利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘 积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但 可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等 式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常 数法、换元法、整体代换法等.
(江苏专用)2020版高考数学总复习第七章第三节基本不等式及其应用课件苏教版
a
b
8.
(2)由a,b,c均为正数,且 1 + 1 = 1 得 a = b >0,则b>c>0,1> c >0,令t= c ,t∈(0,
a b c c bc
b
b
1),则 a + b
c c
b
= b
b
c
+ b
b
c
= 1
1t
+ 1
1 t
= 2
1t
2
>2,由 a + b
c cb
>t恒成立,得
号,则函数f(x)的最小值是5.
5.(教材习题改编)若正数x,y满足x+2y=1,则 1 + 1 的最小值是
.
解析
1x + 1y = 1x
1 y
(x+2y)=3+ 2xy + xy ≥3+2 2xy
x y
=3+2 2
,当且仅当 2y =
x
x ,即x= 2 -1,y= 2 2 时取等号,故 1 + 1 的最小值是3+2 2 .
y
2
xy
6.(2019江苏淮阴中学高三模拟)已知正数a,b满足2a+b=1,则 a + b
a 1 b 2
的最大值为
.
答案 2
5
解析 令a+1=m,b+2=n,m>1,n>2,则 a=m-1,b=n-2,
2a+b=2(m-1)+n-2=2m+n-4=1,则2m+n=5,
所以 m1 + n2 = 15 m1
高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件文
ab
3.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是
⑦ 2 p .(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
s 2
4
.(简记:和定积最大)
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
)
2
3 4
当且仅当x=1-x,
即x= 1 时,“=”成立.
2
(2)∵a>b,b>0,a+b=1,
∴ 1 +1 a = b +a b=2+ b + a ≥2+2 b =a 4,
ab a
b
ab
ab
即 1 +1 的最小值为4,
ab
当且仅当a=b= 1 时等号成立.
2
(3)因为xy+2x+y=4,所以x= 4 .y
(1)当a≥0,b≥0时,a+b≥2 a. b (√)
(2)两个不等式a2+b2≥2ab与 a ≥b 成a立b 的条件是相同的. (×)
2
(3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). (√)
(4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. (√)
(5)函数y=x+ 1 的最小值是2. (×)
x
(6)x>0且y>0是 x +y ≥2的充要条件. (×)
答案 1
解析 ∵x< 5 ,∴5-4x>0,
4
∴y=4x-2+ 4 x 1=-5 +53≤4x-2+53=114,x
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解析：设交点为(x，2)，(x， 2)，
x
x
则PQ 2x2 4 2 4. x
4.(2011g重庆卷)已知a＞0，b＞0，a b 2，则y 1 4 ab
的最小值是_________.
解析：由题意有 1 4 1 (1 4) a b
a b 2a b
因为
(a+b+c)(
1 a
1
+b
1
+c
)
=3+(
b a
+a
b
)+(
c a
+
a c
c
)+( b
+
b c
)≥3+2+2+2=9，
即3( 1 + 1 + 1 )≥9，
ab
c
所以 1 + 1 + 1 ≥3.
abc
变式2.设a、b为正实数，且a+b=1.
(1)求证：ab+ 1 ≥4 1；
3 2xy 1 ( 2x y )2 1，
2
2
所以2x y2 8，即2x y的最大值是 2 10 .
5
5
例1：(1)已知x＜ 5 ，求函数y=4x-2+ 1 的最
大值；
4
19
4x 5
(2)已知x＞0，y＞0，且 值；
x
+
y
=1，求x+y的最小
(3)求y= 2(x2 3) 的最小值．
证明：证法1： 1
+1
+1
1 x y 1 y z 1 z x
[ 1 (1 x y)] [ 1 (1 y z)]
1 x y
1 y z
[ 1 (1 z x)] 3 1 z x
≥2+2+2-3=3，得证．
证法2：令a=1-x+y＞0，b=1-y+z＞0，c=1-z+x＞0， 则证明原不等式等价于证明 + 1+ 1 ≥31， 其中a、b、c＞0，且a+b+c=3. a b c
2
则f(x)= sinx
+
2 sinx
在定义域上为减函数，
所以[f(x)]min=f(
2
)=3.
例2：若x、y、z∈(0,1)，
求证：1
1 x
y
1
1
+ 1 y z + 1 z x ≥3.
分析：注意到三个分数的分母之和为定值3， 故证明时可在不等式两边同时加3使用基本 不等式，也可以通过换元法给出问题的另 证．
(2)因为x＞0，y＞0，1 + 9 =1，
xy
所以x+y=(x+y)( 1
x
+ 9 )=
y
y + 9x+10≥6+10=16.
xy
当且仅当 y = 9x 时，
xy
上式等号成立，又 1 + 9 =1，
xy
所以x=4，y=12时，(x+y)min=16.
(3) y 2(x2 3) 2 (x2 2) 1
x
2
x 3x
1
≤a恒
成立，则a的取值范围是
.
解析：因为x>0，所以 x+ 1 ≥2(当且仅当x=1时取
x
等号)，
所以有
x 1 1 1 x2 3x 1 x 1 3 2 3 5
，
x
即
x2
x 3x 1
的最大值为
1 5
，故a≥
.1
5
3.(2011g江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，过坐标
原点的一条直线与函数f x 2的图象交于P、Q
x2 2
分析：创造应用基本不等式的条件，合理拆添 项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的 前提在于使等号成立的条件；求条件极值的问 题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函 数，代入法是最基本的方法，代换过程中要密 切注意字母隐含的取值范围；函数y=bx+ (a>0， b>0，为常数)的单调性与极值(或值域a)要了解，
x2 2
x2 2
= 2( x2 2 1 ． )
x2 2
此时，不能使用基本不等式，等号取不 到．利用“对勾”函数的单调性解决， 即当x=0时，得其最小值为 3 2 .
【点评】(1)用基本不等式求函数的最值时，关键在 于将函数变形为两项和或积，然后这两项的积或和 或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；
1.已知x，y，z R ，x 2y 3z 0，y2 的最小值 xz
为_______.
解析：由x 2y 3z 0得y x 3z ， 2
代入 y2 得 x2 9z2 6xz 6xz 6xz 3，
xz
4xz
4xz
当且仅当x 3z时取等号．
2.(2010·山东卷)若对任意x>0，
x
并能在解题时灵活运用，特别是当问题不能满 足均值不等式的条件之一“取等”时．
解析：(1)因为x＜ 5 ，所以5-4x＞0，
4
所以 y 4x 2 1
4x 5 (5 4x 1 ) 3 2 3 1 ,
5 4x
当且仅当5-4x= 1 ， 5 4x
即x=1时，上式等号成立，
故当x=1时，ymax=1.
(2)在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值， 另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基 本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值；
(3)不管哪种题，哪种方法，求最值时要验证等号是 否成立．
变式1.(1)若-4＜x＜1，则 x2 2x 2的最大值
为__________；
2x 2
(2) 若 a ， b ， c>0 ， 且 a2+ab+ac+bc=4 ， 则
1 x 1
＞0.Βιβλιοθήκη x 1所以-1 2
[-(x-1)+
1 ]≤-1， x 1
当且仅当-(x-1)= 1 ，
x 1
即x=2(舍)或x=0时取等号．
即( x2 2x 2)max=-1.
2x 2
(2)由a2+ab+ac+bc=4，分解因式得(a+b)(a+c)=4，
所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2 a ba c=2 4=4. (3)因为0<x≤ ，则0<sinx≤1，
2a+b+c的最小值为__________．
(3)已知0<x≤ ，则f(x)=sinx+ 2 的最小值为
2
__________．
sinx
解析：(1) x2 2x 2 = 1 · (x 1)2 1
2x 2 2
x 1
1
1
= 2 [(x-1)+ x 1 ]
=
-
1 2
[-(x-1)+
1 x 1
]．
因从为 而-[-4(＜x-1x＜ )+ 1，1所以]-≥(x2-，1)＞0，
1 [5 (b 4a )] 9 ， 2 ab 2
当且仅当
a b
a
b 4a
b
2 ，即a
2 ，b 3
4 3
时取“”．
5.(2011g浙江卷)设x，y为实数，若4x2 y2 xy 1， 则2x y的最大值是_________ .
解析：因为4x2 y2 xy 1，
所以2x y2 3xy 1