高三数学 专题总复习课件 基本不等式及其应用

2a+b+c的最小值为__________．
(3)已知0<x≤ ，则f(x)=sinx+ 2 的最小值为
2
__________．
sinx
解析：(1) x2 2x 2 = 1 · (x 1)2 1
2x 2 2
x 1
1
1
= 2 [(x-1)+ x 1 ]
=
-
1 2
[-(x-1)+
1 x 1
]．
因从为 而-[-4(＜x-1x＜ )+ 1，1所以]-≥(x2-，1)＞0，
3 2xy 1 ( 2x y )2 1，
2
2
所以2x y2 8，即2x y的最大值是 2 10 .
5
5
例1：(1)已知x＜ 5 ，求函数y=4x-2+ 1 的最
大值；
4
19
4x 5
(2)已知x＞0，y＞0，且 值；
x
+
y
=1，求x+y的最小
(3)求y= 2(x2 3) 的最小值．
1 x 1
＞0.
x 1
所以-
1 2
[-(x-1)+
1 ]≤-1， x 1
当且仅当-(x-1)= 1 ，
x 1
即x=2(舍)或x=0时取等号．
即( x2 2x 2)max=-1.
2x 2
(2)由a2+ab+ac+bc=4，分解因式得(a+b)(a+c)=4，
所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2 a ba c=2 4=4. (3)因为0<x≤ ，则0<sinx≤1，
x2 2
分析：创造应用基本不等式的条件，合理拆添 项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的 前提在于使等号成立的条件；求条件极值的问 题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函 数，代入法是最基本的方法，代换过程中要密 切注意字母隐含的取值范围；函数y=bx+ (a>0， b>0，为常数)的单调性与极值(或值域a)要了解，
证明：证法1： 1
+1
+1
1 x y 1 y z 1 z x
[ 1 (1 x y)] [ 1 (1 y z)]
1 x y
1 y z
[ 1 (1 z x)] 3 1 z x
≥2+2+2-3=3，得证．
证法2：令a=1-x+y＞0，b=1-y+z＞0，c=1-z+x＞0， 则证明原不等式等价于证明 + 1+ 1 ≥31， 其中a、b、c＞0，且a+b+c=3. a b c
x2 2
x2 2
= 2( x2 2 1 ． )
x2 2
此时，不能使用基本不等式，等号取不 到．利用“对勾”函数的单调性解决， 即当x=0时，得其最小值为 3 2 .
【点评】(1)用基本不等式求函数的最值时，关键在 于将函数变形为两项和或积，然后这两项的积或和 或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；
(2)因为x＞0，y＞0，1 + 9 =1，
xy
所以x+y=(x+y)( 1
x
+ 9 )=
y
y + 9x+10≥6+10=16.
xy
当且仅当 y = 9x 时，
xy
上式等号成立，又 1 + 9 =1，
xy
所以x=4，y=12时，(x+y)min=16.
(3) y 2(x2 3) 2 (x2 2) 1
(2)在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值， 另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基 本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值；
(3)不管哪种题，哪种方法，求最值时要验证等号是 否成立．
变式1.(1)若-4＜x＜1，则 x2 2x 2的最大值
为__________；
2x 2
(2) 若 a ， b ， c>0 ， 且 a2+ab+ac+bc=4 ， 则
1.已知x，y，z R ，x 2y 3z 0，y2 的最小值 xz
为_______.
解析：由x 2y 3z 0得y x 3z ， 2
代入 y2 得 x2 9z2 6xz 6xz 6xz 3，
xz
4xz
4xz
当且仅当x 3z时取等号．
2.(2010·山东卷)若对任意x>0，
因为
(a+b+c)(
1 a
1
+b
1
+c
)
=3+(
b a
+a
b
)+(
c a
+
a c
c
)+( b
+
b c
)≥3+2+2+2=9，
即3( 1 + 1 + 1 )≥9，
ab
c
所以 1 + 1 + 1 ≥3.
abc
变式2.设a、b为正实数，且a+b=1.
(1)求证：ab+ 1 ≥4 1；
x
2
x 3x
1
≤a恒
成立，则a的取值范围是
.
解析：因为x>0，所以 x+ 1 ≥2(当且仅当x=1时取
x
等号)，
所以有
x 1 1 1 x2 3x 1 x 1 3 2 3 5
，
x
即
x2
x 3x 1
的最大值为
1 5
，故a≥
.1
5
3.(2011g江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，过坐标
原点的一条直线与函数f x 2的图象交于P、Q
2
则f(x)= sinx
+
2 sinx
在定义域上为减函数，
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所以[f(x)]min=f(
2
)=3.
例2：若x、y、z∈(0,1)，
求证：1
1 x
y
1
1
+ 1 y z + 1 z x ≥3.
分析：注意到三个分数的分母之和为定值3， 故证明时可在不等式两边同时加3使用基本 不等式，也可以通过换元法给出问题的另 证．
x 两点，则线段PQ长的最小值是______.
解析：设交点为(x，2)，(x， 2)，
x
x
则PQ 2x2 4 2 4. x
4.(2011g重庆卷)已知a＞0，b＞0，a b 2，则y 1 4 ab
的最小值是_________.
解析：由题意有 1 4 1 (1 4) a b
a b 2a b
1 [5 (b 4a )] 9 ， 2 ab 2
当且仅当
a b
a
b 4a
b
2 ，即a
2 ，b 3
4 3
时取“”．
5.(2011g浙江卷)设x，y为实数，若4x2 y2 xy 1， 则2x y的最大值是_________ .
解析：因为4x2 y2 xy 1，
所以2x y2 3xy 1
x
并能在解题时灵活运用，特别是当问题不能满 足均值不等式的条件之一“取等”时．
解析：(1)因为x＜ 5 ，所以5-4x＞0，
4
所以 y 4x 2 1
4x 5 (5 4x 1 ) 3 2 3 1 ,
5 4x
当且仅当5-4x= 1 ， 5 4x
即x=1时，上式等号成立，
故当x=1时，ymax=1.