直线与平面所成的角课件课件-直线与平面所成角课件
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直线和平面 所成的角
Bqr6401@
复习旧知
斜线在平面上的射影
过斜线上斜足A以外的一点P向平面 α
引垂线，垂足为点O，过垂足O和斜足A的直线叫
做斜线在这个平面上的射影
P l
垂足O
A斜足
射影
他与地面所成的角是哪个角？
垂 线
射影 垂足
斜足
斜线和平面所概成念的提角出 一、斜线和平面所成的角
2、一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0 ； 3、一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 90 。
直线与平面所成的角θ的取值范围是：
0 90
小试牛刀
练习1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求出A1C1与面ABCD所成的角的度数； 0o
（2）求出A1B1与面BCC1B1所成的角的度数； （3）求出A1C1与面BCC1B1所成的角的度数； （4）求出A1C1与面BB1D1D所成的角的度数； D1
D1
A1
C1 B1
D A
C B
典例精讲
例2：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。
求角 →找角 →找射影
D1
C1
A1B1M NhomakorabeaD A
C B
典例精讲
例2：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。
解：设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a .
P l
A 射影 O
平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的 角.
例题讲解
例1 分别指出正方体的体对角线A1C与平面 A1B1C1D1 、 A1ABB1 、BCC1B1所成的角.
∠CA1C1
D1 射影 斜足
A1
C1
垂足
B1 垂 线
D A
C B
例题讲解
例1 分别指出正方体的体对角线A1C与平面 A1B1C1D1 、 A1ABB1 、BCC1B1所成的角.
课堂小结
0o , 90o
0o, 90o
2. 求直线和平面所成角的方 法
一“作”二“证”三“计算”
一、过关训练
作业布置
星 星
你
谢 谢
A1
D
A
C1 B1
C B
练习1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求出A1C1与面ABCD所成的角的度数；
（2）求出A1B1与面BCC1B1所成的角的度数；
（3）求出A1C1与面BCC1B1所成的角的度数；
（4）求出A1C1与面BB1D1D所成的角的度数；
D1
C1
A1
B1
D A
C B
过斜线上一点作平面的垂线，再连结垂足和斜足。 （2）证明: 证明某平面角就是斜线和平面所成的角
Al
斜线和射影所成的角就是斜线和平面所成的角。
垂
（3）计算: 通常在垂线和斜线段、射影组成
的直角三角形 中计算 。
O
线
B
射影
一“作”二“证”三“计算” 关键：确定斜线在平面内的射影.
1. 直线和平面所成角
如图所示，连接BC1交B1C于M点，连接A1M. ∵ DC ⊥平面BCB1C1
A1
D1
C1
B1
∴ DC ⊥ BC1 ∵ BC1 ⊥ B1C, DC ∩ B1C=C ∴ BC1 ⊥ 平面A1B1CD
2a
D
M
2a 2
C
∴ BM ⊥ 平面A1B1CD ∴A1M 为A1B在平面A1B1CD上的射影．
A
B
∴∠BA1M 为A1B与平面A1B1CD所成的角．
∠CA1B
D1 A1
D A
C1 B1
C B
例题讲解
例1 分别指出正方体的体对角线A1C与平面 A1B1C1D1 、 A1ABB1 、BCC1B1所成的角.
∠B1CA1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
概括归纳
二、直线和平面所成的角
l
l
α
α
l
α
1、斜线与平面所成的角θ的取值范围是：
0 90
A1
D
A
C1 B1
C B
小试牛刀
练习1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求出A1C1与面ABCD所成的角的度数；
0o
（2）求出A1B1与面BCC1B1所成的角的度数； 90o
（3）求出A1C1与面BCC1B1所成的角的度数； 45o
（4）求出A1C1与面BB1D1D所成的角的度数； 90o
在Rt△A1BM 中，A1B＝
2a，BM＝
2a 2
sin∠BA1M＝ BM ＝ 1 ，
∴∠BA1M＝30°A.1B
2
即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
归纳总结
求直线和平面所成角的方法步骤
（1）作图: 作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角） 转化为平面角（两条相交直线所成 的锐角）。
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/28
小试牛刀
练习1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求出A1C1与面ABCD所成的角的度数； 0o （2）求出A1B1与面BCC1B1所成的角的度数； 90o
（3）求出A1C1与面BCC1B1所成的角的度数； （4）求出A1C1与面BB1D1D所成的角的度数；D1
A1
C1 B1
D A
C B
小试牛刀
练习1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求出A1C1与面ABCD所成的角的度数； 0o （2）求出A1B1与面BCC1B1所成的角的度数； 90o （3）求出A1C1与面BCC1B1所成的角的度数； 45o
（4）求出A1C1与面BB1D1D所成的角的度数； D1
Bqr6401@
复习旧知
斜线在平面上的射影
过斜线上斜足A以外的一点P向平面 α
引垂线，垂足为点O，过垂足O和斜足A的直线叫
做斜线在这个平面上的射影
P l
垂足O
A斜足
射影
他与地面所成的角是哪个角？
垂 线
射影 垂足
斜足
斜线和平面所概成念的提角出 一、斜线和平面所成的角
2、一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0 ； 3、一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 90 。
直线与平面所成的角θ的取值范围是：
0 90
小试牛刀
练习1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求出A1C1与面ABCD所成的角的度数； 0o
（2）求出A1B1与面BCC1B1所成的角的度数； （3）求出A1C1与面BCC1B1所成的角的度数； （4）求出A1C1与面BB1D1D所成的角的度数； D1
D1
A1
C1 B1
D A
C B
典例精讲
例2：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。
求角 →找角 →找射影
D1
C1
A1B1M NhomakorabeaD A
C B
典例精讲
例2：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。
解：设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a .
P l
A 射影 O
平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的 角.
例题讲解
例1 分别指出正方体的体对角线A1C与平面 A1B1C1D1 、 A1ABB1 、BCC1B1所成的角.
∠CA1C1
D1 射影 斜足
A1
C1
垂足
B1 垂 线
D A
C B
例题讲解
例1 分别指出正方体的体对角线A1C与平面 A1B1C1D1 、 A1ABB1 、BCC1B1所成的角.
课堂小结
0o , 90o
0o, 90o
2. 求直线和平面所成角的方 法
一“作”二“证”三“计算”
一、过关训练
作业布置
星 星
你
谢 谢
A1
D
A
C1 B1
C B
练习1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求出A1C1与面ABCD所成的角的度数；
（2）求出A1B1与面BCC1B1所成的角的度数；
（3）求出A1C1与面BCC1B1所成的角的度数；
（4）求出A1C1与面BB1D1D所成的角的度数；
D1
C1
A1
B1
D A
C B
过斜线上一点作平面的垂线，再连结垂足和斜足。 （2）证明: 证明某平面角就是斜线和平面所成的角
Al
斜线和射影所成的角就是斜线和平面所成的角。
垂
（3）计算: 通常在垂线和斜线段、射影组成
的直角三角形 中计算 。
O
线
B
射影
一“作”二“证”三“计算” 关键：确定斜线在平面内的射影.
1. 直线和平面所成角
如图所示，连接BC1交B1C于M点，连接A1M. ∵ DC ⊥平面BCB1C1
A1
D1
C1
B1
∴ DC ⊥ BC1 ∵ BC1 ⊥ B1C, DC ∩ B1C=C ∴ BC1 ⊥ 平面A1B1CD
2a
D
M
2a 2
C
∴ BM ⊥ 平面A1B1CD ∴A1M 为A1B在平面A1B1CD上的射影．
A
B
∴∠BA1M 为A1B与平面A1B1CD所成的角．
∠CA1B
D1 A1
D A
C1 B1
C B
例题讲解
例1 分别指出正方体的体对角线A1C与平面 A1B1C1D1 、 A1ABB1 、BCC1B1所成的角.
∠B1CA1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
概括归纳
二、直线和平面所成的角
l
l
α
α
l
α
1、斜线与平面所成的角θ的取值范围是：
0 90
A1
D
A
C1 B1
C B
小试牛刀
练习1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求出A1C1与面ABCD所成的角的度数；
0o
（2）求出A1B1与面BCC1B1所成的角的度数； 90o
（3）求出A1C1与面BCC1B1所成的角的度数； 45o
（4）求出A1C1与面BB1D1D所成的角的度数； 90o
在Rt△A1BM 中，A1B＝
2a，BM＝
2a 2
sin∠BA1M＝ BM ＝ 1 ，
∴∠BA1M＝30°A.1B
2
即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
归纳总结
求直线和平面所成角的方法步骤
（1）作图: 作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角） 转化为平面角（两条相交直线所成 的锐角）。
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/28
小试牛刀
练习1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求出A1C1与面ABCD所成的角的度数； 0o （2）求出A1B1与面BCC1B1所成的角的度数； 90o
（3）求出A1C1与面BCC1B1所成的角的度数； （4）求出A1C1与面BB1D1D所成的角的度数；D1
A1
C1 B1
D A
C B
小试牛刀
练习1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求出A1C1与面ABCD所成的角的度数； 0o （2）求出A1B1与面BCC1B1所成的角的度数； 90o （3）求出A1C1与面BCC1B1所成的角的度数； 45o
（4）求出A1C1与面BB1D1D所成的角的度数； D1