直线与平面所成的角的定义
直线和平面所成的角
案例二：机械工程中的直线和平面所成的角
总结词
机械工程中，直线和平面所成的角对于机器 的运转和性能至关重要。
详细描述
在机械设计中，直线和平面所成的角涉及到 机器的传动、导向和定位等方面。例如，在 制造精密机床时，需要精确控制导轨的角度 和位置，以确保机床的加工精度和稳定性。 同时，在机器运转过程中，直线和平面所成 的角也需要进行实时监测和调整，以确保机 器的正常运转和性能。
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利用向量计算
总结词
通过向量的数量积和向量的模长来计算直线和平面所成的角，是一种简便的方法 。
详细描述
首先，选取平面上任意一点，并确定一个方向向量。然后，计算这个方向向量与直 线向量的夹角的余弦值。最后，利用公式：θ = arccos(cos(θ))，其中θ为直线和平 面所成的角。
利用几何定理计算
建筑设计
在建筑设计中，可以利用直线和 平面所成的角来设计建筑物的外 观和结构，例如斜屋顶的角度和 楼梯的角度等。
机械设计
在机械设计中，可以利用直线和 平面所成的角来设计机械零件的 形状和尺寸，例如斜齿轮的角度 和轴承的角度等。
道路建设
在道路建设中，可以利用直线和 平面所成的角来设计道路的坡度 和弯度，以确保车辆安全行驶。
直线在平面上
当直线上的所有点都在平 面上时，称为直线在平面 上。
02
直线和平面所成的角
角的定义和性质
角的定义
角是由两条射线共同端点形成的平面空间，这两条射线称为角的边，而它们的公共端点称为角的顶点 。
角的性质
角的大小是由其两边的射线所夹的角度决定的，与边的长度无关。此外，角的大小不会因为角的边做 平移或旋转而改变。
直线和平面所成的角
直线与平面所成的角
直线与平面所成的角1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．。
3.1.1(二课时)直线和平面所成的角
3.1.1(第二课时)
学习目标：
1、理解平面的斜线的概念； 2、掌握斜线在平面上的射影的（求作）概念； 3、理解斜线与平面所成角的概念； 4、会求直线与平面所成角，掌握（几种）常见求法。
知识探究（一）：平面的斜线
思考1:当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不 垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直 线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足. 那么过一点作一个平面的斜线有多少条？
PA 又 BC
PA BC
拓展训练：
P
M
C
E A
O
D N B
课堂小结与练习：
P67 练习： 1. P74习题2.3B组：2，4.
问题的提出:
直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系
直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交
直线与平面直交------线面垂直
直线与平面相交
直线与平面斜交------线面角
平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜 线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 2、斜线和平面所成角
Def : 把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐
角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所
成的角为90°；当一条直线和平面平行或在平面内时， 规定它们所成的角为0°.
（2）推理模式
3、三垂线定理及其逆定理的精髓：（三组垂线）
二、 三垂线定理及逆定理：
O
C1
A1
B1
D1
C
A
D
B
课堂练习 B
2、矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA垂直面ABCD，且
PA=1.则P点到对角线BD的距离是（ A ）
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式及其中蕴含的数学基本思想
浅谈线线角、线面角、面面角的定义方式北京市顺义区第九中学101300高中阶段在学习空间线、面位置关系的时候，会给出线线角、线面角及面面角的定义，本文以角形成的定义方式及蕴含的基本思想为主，进行研究。
1、直线与直线所成的角：（1）共面：同一平面内的两直线所成角，是利用两直线位置关系，平行、重合所成角为0度，如果相交就取交线所构成的锐角（或直角）。
（2）异面：如图所示，已知两条异面直线a和b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
θ定义方式：是发生定义法（即构造定义方式）定义中的“空间中任取一点O”，意味着：角的大小与O 点选取的位置无关；通过平移把异面直线所成角转化成两相交直线，是将空间图形问题转化成平面图形问题的定义方式，体现了定义的纯粹性和完备性。
2、直线和平面所成的角：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
3、面面所成的角：(1)在二面角的棱l上任取一点O，以该点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角称为二面角的平面角.( 2)作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．4、线线、线面、面面所成角的定义方式线线、线面、面面所成角的定义方式是“属加种差定义法”。
直线与平面所成角范围
直线与平面所成角范围
一条直线和一个平面所形成的角的范围是0°到180°。
0°表示这条直线和平面平行，而180°表示这条直线和平面垂直。
两条直线之间的角可以用很多不同的方法来描述，其中之一就是角范围。
它表示两条直线之间从0°到180°所形成的角，也就是说两条直线之间最大可能形成的角就是180°。
当一条直线和一个平面相交时，它们之间也可能形成角。
两条直线之间的角范围仍然是0°到180°。
当它们交叉时，这个角就被称为交叉角，其角度可以是90°。
如果两条直线平行，则它们之间的角度将为0°。
另一方面，当它们垂直时，它们之间的角度则为180°。
因此，一条直线与平面之间的角范围从0°到180°。
这种形式的角范围在几何学以及物理学中都非常重要，因为它被用来描述不同物体之间的关系。
比如，物理学家研究电磁学时，就需要了解直线与平面的角的范围，以确定电磁波的性质。
几何学家也有类似的用途，比如当他们研究空间结构时，几何形状之间的各种角的范围便可以得出一个准确的结论。
因此，一条直线和一个平面所形成的角的范围是0°到180°。
它们可以交叉，并形成一个90°的交叉角，也可以平行或垂直，分别形成0°和180°的角。
无论它们之间形成何种角度，都将在0°到180°范围内。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理
所以
MC＝BMsin∠MBC＝5sin
60°＝5×
23＝5 2
3 .
在 Rt△MAB 中，MA＝ MB2－AB2＝ 52－42＝3.
在
Rt△MAC
中，sin∠MCA＝MMAC＝5
3
3＝2 5
3 .
2
即直线
MC
与平面
CAB
所成的角的正弦值为2
5
3 .
线面垂直的性质定理的应用 如图，已知正方体 A1C. (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N 分别为 B1D1 与 C1D 上的点，且 MN⊥B1D1，MN⊥C1D， 求证：MN∥A1C.
关的垂直问题
问题导学 预习教材 P151－P155 的内容，思考以下问题： 1．直线与平面所成的角的定义是什么？ 2．直线与平面所成的角的范围是什么？ 3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？ 4．如何求直线到平面的距离？ 5．如何求两个平行平面间的距离？
1．直线与平面所成的角
(1)定义：如图，一条直线 PA 和一个平面 α
因为 E 是 DD1 的中点，四边形 ADD1A1 为正方形，所以 EM∥AD.
又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD⊥平面 ABB1A1，所以 EM⊥ 平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 内的射影， ∠EBM 即为直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角． 设正方体的棱长为 2， 则 EM＝AD＝2，BE＝ 22＋22＋12＝3. 于是在 Rt△BEM 中，sin∠EBM＝EBME ＝23， 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为23.
下列命题：
①垂直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同一条直线的两个平面互相平行；
直线与平面所成角公式
正弦值公式为：直线和平面所成的角的正弦=两个向量的乘积除两个向量模的乘积。
（也就是：两向量是法向量和直线所在的向量）。
先做平面的法向量，然后求直线和法向量所成的角的余弦=两向量的乘积除两向量模的乘积。
则直线和平面所成的角=90度-直线和法向量所成的角。
直线和平面所成的角是一个数学名词。
或曰：线面所成角，直线与平面所成角。
1、定义：当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。
当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。
2、范围：0°≤θ≤90°（斜线与平面所成的角θ的范围是0\u003cθ\u003c90°。
）3、求法：作出斜线在平面上的射影；4、斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种。
相交，汉语词汇。
释义为两条直线互相交叉在一起、交于一点。
交朋友，做朋友。
直线与曲线交于两点，且这两点无限相近，趋于重合时，该直线就是该曲线在该点的切线。
初中数学中，若一条直线垂直于圆的半径且过圆的半径的外端，称这条直线与圆相切。
相切是平面上的圆与另一个几何形状的一种位置关系。
相离，就是互相分离的意思。
直线与平面所成的角
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
平面的斜线和平面所成的角
cos= cos 1cos2
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 最小的角
例1.如图，已知AB是平面的一条斜线，B为 斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条 直线，ABC 60 , OBC 45 ，求斜线AB 和平面所成角。
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围
直线与平面所成的角
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1
线段C1D
C1 B1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1 B1 C1
D A B
C
练习：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
线段B1O
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 45o
D1 B1 C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
[ , ] 的范围是_____________ 3 2
2、RT ABC的斜边BC在面内，直角边AB、AC与 面 分别成30、 45，A在面内射影为O。 （）斜边 1 BC上的高AD与面 所成的角 (2)AB与面ADO所成的角。
练习：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1 D1 B1 C1
直线与平面所成的角
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复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
A
P49 练习 1（1、2）
2
O
B
C
练习：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知直线L与平面所成角是 3 ,
直线m是平面内直线,则直线L与m所成角 的范围是____[_3__, _2_]____
2、RT ABC的斜边BC在面内，直角边AB、AC与 面 分别成30、45，A在面内射影为O。 （1）斜边BC上的高AD与面 所成的角
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
D
A
C1 B1
C B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
直线与平面所成的角(整理2019年11月)
你注意观察过生活中 的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
A1
线段B1O
C1 B1
D
C
O
A
B
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
平面的斜线和平面所成的角
cos= cos 1cos2
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 最小的角
例1.如图，已知AB是平面的一条斜线，B为 斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条 直线，ABC 60 , OBC 45 ，求斜线AB 和平面所成角。
A
P49 练习 1（1、2）
2
O
B
C
练习：
1、已知直线L与平面所成角是 3 ,
直线m是平面内直线,则直线L与m所成角
的范围是_____________
2、RT ABC的斜边BC在面内，直角边AB、AC与 面 分别成30、45，A在面内射影为O。 （1）斜边BC上的高AD与面 所成的角
(2)AB与面ADO所成的角。
练习： 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
直线与平面所成的角定义
直线与平面所成的角定义
直线与平面所成的角定义：
直线与平面所成的角是指，以一个端点为顶点，另一个端点在该平面上的直线所夹成的角。
该角度量通常采用弧度或角度制表示。
对于直线与平面所成的角来说，顶点必须在平面上，直线必须与平面相交。
当直线与平面相交于一点时，该点称为交点。
该点与平面上的点构成一条线段，我
们称之为交线。
直线与平面所成的角的度数取决于直线与平面的夹角大小，可以用角度制或弧度制来表示。
其中，角度制用度数来表示，弧度制用弧长所对应的圆心角来表示。
在三维空间中，直线与平面所成的角的度数可以通过以下公式来计算：
cosθ = (a·n) / (|a|·|n|)
其中，a是直线上的向量，n是平面的法向量，|a|和|n|分别是它们的模长，·表
示向量的点积，θ是直线与平面所成的夹角。
直线与平面所成的角在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
在几何学中，直线与平面所成的角是解析几何的基础知识之一，在物理学中，它可
以用来描述光线的传播规律，在工程学中，它可以用来设计机械零件的运动轨迹等。
直线与平面所成角的定义
直线与平面所成角的定义
直线与平面所成角的定义如下：
当一条直线与一个平面相交时，它们所形成的角被称为直线与平面所成角。
直线与平面所成角的度量是指从直线上某一点出发，通过一条线段垂直于平面，并与该平面相交，所形成的角度。
直线与平面所成角的特点：
1. 直线与平面所成角的度量范围是0°到90°之间。
2. 当直线与平面垂直相交时，所成角为90°，称为直角。
3. 当直线与平面的夹角小于90°时，称为锐角。
4. 当直线与平面的夹角大于90°时，称为钝角。
直线与平面所成角的性质：
1. 直线与平面所成角的度量取决于直线与平面的相对位置和方向。
2. 直线与平面所成的角度大小可以用角度度数或弧度来度量。
3. 直线与平面所成角的度量可以用直线与平面相交的两条线段之间的夹角来表示。
4. 直线与平面所成角的度量可以用三角函数如正弦、余弦和正切等进行计算。
直线与平面所成角的理解对于几何学和物理学等学科都非常重要。
它可以帮助我们理解和分析直线与平面的相互关系，并在空间几何问题中进行推理和计算。
平面和直线的所成角
平面和直线的所成角平面和直线的所成角是几何学中的一个重要概念，它描述了平面和直线之间的相对关系。
在这篇文章中，我将详细探讨平面和直线的所成角，包括定义、性质和应用等方面。
一、定义平面和直线的所成角是指平面上的一条射线与一条直线之间的角度。
这个角度可以通过测量两条线之间的夹角来确定，单位通常是度或弧度。
二、性质1. 平面和直线的所成角的度数范围是0到180度，即角的大小不能超过180度。
2. 平面和直线的所成角可以是锐角、直角或钝角。
3. 平面和直线的所成角可以是正角或负角，具体取决于射线与直线的相对位置。
4. 平面和直线的所成角的度数可以用三角函数来表示，如正弦、余弦和正切等。
三、应用平面和直线的所成角在几何学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用：1. 判断两条线是否相交：如果两条线的所成角为0度或180度，则说明它们相交；如果所成角不为0度或180度，则说明它们不相交。
2. 计算平面中的角度：通过测量两条线的所成角，可以得到平面中其他角的度数。
3. 判断线段的方向：通过测量线段与某一参考线的所成角，可以确定线段的方向，如垂直、平行或斜向等。
4. 解决实际问题：平面和直线的所成角在解决实际问题中也有应用，如建筑设计、地理测量和机械制图等领域。
四、实例为了更好地理解平面和直线的所成角，我们来看几个实例：1. 两条直线的所成角为90度，则说明它们是垂直的。
2. 两条直线的所成角为0度，则说明它们是平行的。
3. 两条直线的所成角为45度，则说明它们是倾斜的。
五、总结平面和直线的所成角是几何学中的一个重要概念，它描述了平面和直线之间的相对关系。
通过测量两条线之间的夹角，我们可以判断它们的相交性、方向性和倾斜程度。
平面和直线的所成角在几何学中有广泛的应用，对于解决实际问题具有重要意义。
六、参考资料1. 罗素, B. (1903). Principles of Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press.2. 葛鲁斯, C. (1997). 数学与艺术的对话. 上海: 上海科学技术出版社.3. 高等数学教材. (2008). 北京: 高等教育出版社.通过以上对平面和直线的所成角的定义、性质和应用的分析，我们对这一几何概念有了更深入的理解。
直线与平面所成的角
直线和平面所成的角与二面角
你注意观察过生活中
的角吗？
复习回顾
直线和平面的位置关系
思考:当直线a与平面的关系是a =A时， 如何反映出直线与平面的相对位置关系呢?
直线与平面所成的角：
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）
直线和平面垂直，则直线和平面所成的角是直角
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1
线段C1D
C1 B1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1
E
C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
30o
D A B
C
作
业：
课本P52 习题 9.7 1、2 同步作业本P22
；护加宜 护加宜
；
精光,有些可惜说道,只是话没说完,却又被龙赛男瞪了一眼,连忙闭嘴不言了. "哦…那屠千军他们没出手阻拦?"风紫又好奇の看了眼屠千军の那边,神城公子在此,不给他面子,居然没闹事? "嘿嘿,出手了,你呀来の迟错过了好事.刚才雪纷飞那个笨蛋出手了,他想拍屠千军の马屁,想去后院 把暗月请出来,只是,他自己倒是被却被请了回来！"花草脸上浮现起一丝戏谑,嘿嘿笑道. "哦?为何?暗月实力很强大?"风紫一听见更加油了兴趣,诧异の问道. "暗月实力算一样,但是你呀看到后院门口那个擦酒杯の老头没?"花草摇头道："帝王境巅峰实力！" 哦！原来是这样,风紫总算明 白了,屠千军估计没说话.雪纷飞却主动献殷勤,结果遇到一些帝王境巅峰强者,被客气请了回来.而很明显大家都知道暗月背后有龙城白家,公子哥闹闹没事,但是雪家和神城の帝王境强者当然不会跟着胡闹,所以雪纷飞算是吃了闷亏. "你呀们龙城の帝王境巅峰强者泛滥到如此程度了?居然 一些暗使,需要这等强者守护了?"风紫却转头疑惑の问向龙赛男. "不是龙城の,估计是她自己の仆人,这个暗月不简单！"龙赛男摇了摇头,神情有些复杂の说道. 额,这女人看起来很生猛啊！ 风紫暗叹一声,不在谈论这个话题,转而和几人聊起了明日即将一起入山の事情. 本书来自 品&书 #网 当前 第叁壹0章 挑衅 文章阅读 "这**人太装了,哼！不给俺面子就算了,居然连屠公子,隐公子の面也不给！"大厅の另外一边屠千军那一桌,雪纷飞喝着闷酒,满脸の不爽.请大家检索（品@书￥网）看最全！更新最快の "の确很能装,俺送了那么多宝物,居然连毛都没摸到,要是在隐 岛,哼哼,老子就强上了！不过很够味,老子很喜欢,屠少,什么时候俺上手了,借你呀玩玩."隐荡也是一脸气愤,刚才雪纷飞可是他怂恿用三人の名义去请の,并且这些天来,他花费钱财宝物无数,却还是没上手,心情有些不平衡. 屠千军低垂着眼帘,端这一杯茶慢慢细饮,神情很是平静.几年の 牢狱生涯,以及落神山雪无痕の惨死,让他明白了一些道理,xing子也变得阴忍起来了.他很清楚眼前の这两人,明显是在鼓动自己出手,而如果是五年前の他肯定是毫不犹豫出手了,至于现在吗…他慢条斯文の放下杯子,面无表情说道："雪公子,隐公子,俺是不知道你呀们の脾气,要是俺,这 口气肯定不能忍啊…" 额… 雪纷飞一听见膛目结舌了,隐荡刚想喝水,差点就喷出来了.两人同时尴尬の默默无语起来,同时有闪电の对视一眼,纷纷疑惑起来,这是屠千军吗?怎么和传闻中完全不一样啊. 两人今晚打の算盘很明显,雪纷飞因为雪无痕の事实,对屠千军一直内心有埋怨,今夜 本想诱使屠千军出手,让屠千军和龙城白家对上,好出一口恶气.而隐荡纯属想看热闹,无恐天下不乱.他们都听说屠千军狂傲无双,受了气一定会发飙,没想到这厮竟然这么能忍?并且还反过来将他们一军. "不能忍也得忍啊,别人牛叉,帝王境巅峰强者守门,背后有大树.这后院有谁能进去?" 雪纷飞当然不敢在玩了,有些讪讪说道. "嗯嗯,俺花费了那么多宝物财物精力,后院大门都没迈进去,这女人看来得文火慢炖,急不得の！"隐荡无奈一笑,反正还有段时候在蛮城待者,他倒是不急,这后院他是打定注意一定要进去玩玩の. 屠千军微微一笑,不再多说,摆弄起桌子上の茶水起来. …… "吱呀！" 片刻时候,旅馆の大门再次被打开,走进来四五人,将大厅内众人の目光全部吸引过去.而众人在发现来人之后,都不约而同浮现了各种不同の表情起来. 花草风紫龙水流龙赛男不由自主の站了起来,微微一笑.雪纷飞脸色却陡然变得暗青,眼中闪过一丝恨意.隐荡很有兴趣看 着几人中央の那人,脸上浮现一丝耐人寻味の意味.而屠千军却看了一眼,继续面无表情の低垂眼帘,玩弄着手中の茶杯,只是握住茶杯の手似乎用力大了一些,手上の青筋都冒了出来… "寒少好！" "见过寒少…" "闻名不如见面,寒少果然玉树临风,风流倜傥,一表人才…" "……" 屋内坐着 の其他大不咋大的世家の公子公子,很大一部分都是破仙府北方の世家子弟.白重炙の图像早就在他们世家传遍了.所以在一愣之后,纷纷惊醒,连忙行礼.一时候,招呼声马屁声络绎不绝,竟然比屠千军进来还要热烈了几分. 来人正是匆匆赶来の白重炙,经过几天の赶路,终于在刚才赶到了蛮 城.而一入蛮城家主府,白重炙就耐不住思念,和夜青牛说了一声,匆匆带着几人赶来了 蛮城由于是白家の地盘,明线暗线海里去了.夜青牛倒也不担心白重炙出事,嘱咐了几句,就不在管他,而是和夜白虎分头去和破仙府の世家带队,商量明天入山の事情. "诸位好,都随意吧！" 白重炙扫了 扫众人,发现竟然大部分熟人都到齐了,微微笑了起来.而当他发现屠千军正静静在那玩着杯子の时候,笑意更是浓郁了几分.朝众人拱了拱手,径直朝风紫这边走来. "寒少,怎么来这么迟,俺从西风城都赶来了,你呀居然现在才到?该罚该罚！"风紫连忙在旁边空了个位置,满脸含笑说道. 花 草跟着起哄："对啊,蛮城是寒少の地盘,居然是最后才到,是该罚！" "罚他,去把暗月拉出来给俺表演个yan舞,他是地头蛇肯定有办法,哈哈！"龙水流当然是唯恐天下不乱了. 龙赛男却是神情复杂の看着白重炙,微微一笑,点了点头没有说话. "呵呵,家里长辈管の紧,现在出来一趟不容易 啊！自罚一杯,算是赔罪."白重炙苦笑一声,端起杯子一口饮下. "额…" 风紫花草几人轻轻点头,表示理解.毕竟白重炙现在对于白家可是个宝,刚从落神山出来,怎会又让他乱跑? "地头蛇倒是不错！" 几人刚准备坐下,细聊一番,不料大厅内却响起一声阴阳怪调の声音,让良好の气氛为止 一滞.几人同时扭头望去,而大厅内也停止了细聊声,纷纷关注起来. "不过地头蛇未必有用啊！有本事去把暗月请出来,不说跳yan舞,能陪大伙喝上几倍,俺等就佩服得五体投地了！" 说话の赫然就是雪纷飞,雪纷飞本来一见白重炙就已经很不爽.雪家几年前死了个族长一些太上长老,让雪 家几乎好一段时候都抬不起头来,声名大坠.也让他们这些公子飘雪门の大门都不敢迈出,窝囊极了. 所以他们这些公子,当然对于照成这一切の源头白重炙无比の痛恨.并且刚才白重炙一进来,俨然立刻成为了大厅内の焦点人物,这让他更加不爽了.于是听到龙水流の话,他忍不住出口接了 过来,激将起来. "对,夜公子那么生猛,去把暗月请出来,俺也万分佩服你呀！"隐荡看着白重炙如此瞩目,也忍不住嫉妒起来.在隐岛,这场面都是他出场の方式.今日却换人了,他当然也顺着雪纷飞の话,起哄起来. 两人の意思很明显,想让白重炙去碰碰壁,落落他面子. 两人の话一完,全场 安静下来.风紫花草想说什么,但是却不好开口,毕竟有人挑衅白重炙,他们开口,也是落了白重炙面子.白重炙身后の白家强者,虽然很是气愤,但是她们明白这是公子们の事情,他们不好ha手.至于其他の世家公子们,更是不敢ha手开口了… 于是全场の人都神情复杂の望着白重炙,想看看这 个传说中の猛人会怎么应对. 本书来自 品&书#网 当前 第叁壹壹章 傻逼！ 文章阅读 "不用去管他们,他们两人是两条疯狗！"龙赛男眉梢微微皱起,望着继续垂目安静坐着の屠千军,有些担忧の传音给白重炙.看书 白重炙对着龙赛男微微一笑,示意她不用担心. 而后他将杯子往桌子上轻 轻一放,意味深长同时又饶有兴趣の,望着雪纷飞和隐荡,盯了片刻,在雪纷飞和隐荡有些不耐烦,准备开口の时候. 他却突然转过头来,看着风紫和花草,微微皱眉,很是疑惑の问道："这几个…SB是谁?" 额…… 场中の人当听到"SB"二字の时候,全部变成SB了. 片刻之后,全场寂静下来,连一 颗针落落在地面都能听到.而大厅内の众人表
《直线与平面所成的角》教学设计
注重突显学生主体：在教学中我以学生发展为本，通过想一想，练一练，量一量，试一试，做一做等环节引导他们自主学习、合作探究,不仅完成了掌握知识到形成能力的转变，同时也体验到获得成功的喜悦。
直线与平面所成的角的取值范围是[0, ].
想一想：（小组讨论）
如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？（不一定！）
（三）学以致用，提升能力（约20分钟）
1.小试身手
练一练：找到正方体中的线面夹角
量一量：正确的握笔姿势
笔杆和桌面成60-70度角，握笔高度约3厘米，能清楚书写视野,处于放松的姿势和角度。
通过几何画板的动态演示，深刻理解直线与平面所成的角的定义。通过多媒体教学的使用，突出了重点。
通过理解直线与平面所成的角的范围，更深刻的理解直线与平面所成的角的定义。
进一步理解强化线面夹角概念
为例题的解答做好铺垫，同时信息化手段可以更加形象、直观，体现出了对传统教学的传承和创新。
活跃气氛、提高发散性思维能力，体会数学的应用价值。
板书设计
直线与平面所成的角
1.定义例题讲解
直线与平面内射影的夹角例1
2.取值范围例2
[0, ]
教学反思：
注重联系生活和专业：，整节课运用了不少贴近生活专业的实例，如焊炬倾角，榴弹炮，握笔姿势等，让学生认识到数学既来源于生活，又能帮助我们解决生活中的问题，充分调动学生学习的积极性，提升了学生对数学学习的认知。
课题
9.3.2 直线与平面所成的角
教材
高等教育出版社出版《数学》（基础模块）下册
课型
2019年高中数学第3章空间向量与立体几何3.6直线与平面、平面与平面所成的角讲义(含解析)湘教版
3．6直线与平面、平面与平面所成的角[读教材·填要点]1．直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l 与平面α垂直，l 与平面α所成的角θ为直角，θ＝π2.如果直线l 与平面α不垂直，则l 在α内的射影是一条直线l ′，将l 与l ′所成的角θ定义为l 与平面α所成的角．(2)范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(3)计算：作直线l 的方向向量v 和平面α的法向量n ，并且可选v 与n 所成的角θ1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则l 与平面α所成的角 θ＝π2－θ1，sin θ＝cos_θ1＝|v ·n ||v |·|n |.2．二面角(1)定义：从一条直线l 出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作αl β. (2)二面角的平面角过二面角αl β的棱l 上任意一点O 作垂直于棱l 的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA ，OB ，则∠AOB 称为二面角αl β的平面角．(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角αl β是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．3．两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.两个平行平面所成的角为0°.[小问题·大思维]1．当一条直线l 与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ 提示：不一定，这条直线可能与平面平行．2．设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，如何用a 和n 求角θ？提示：sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a |·|n |.3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？提示：相等或互补．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．求BD与平面ADMN 所成的角θ.[自主解答] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1， 则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， 则N (1,0,1)，∴BD ―→＝(－2,2,0)，AD ―→＝(0,2,0)，AN ―→＝(1,0,1)． 设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ―→＝0，n ·AN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1， ∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n |BD ―→|·|n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD ―→，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.1.如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2.求直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值．解：如图，以点A 为原点，AB ，AC ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz .由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴PA ―→＝(0,0，－2)，DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0＝0，x ，y ，z⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝0.取z ＝1，则平面DEF 的一个法向量为n ＝(2,0,1)． 设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈PA ―→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ―→·n | PA ―→|·|n |＝55， 故直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．[自主解答] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1―→，m ⊥OC 1―→，所以⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1OB 1D 的大小为锐角， 所以二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量； (2)求两法向量的夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来．2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D AF E 与二面角C BE F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E BC A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D AF E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C BE F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.由图知，二面角E BC A 为钝角， 故二面角E BC A 的余弦值为－21919.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A PB C 的余弦值． [解] 法一：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD .∵PC ＝BC ＝2， ∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A PB C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1， AC ―→＝AE ―→＋ED ―→＋DC ―→，且AE ―→⊥ED ―→，ED ―→⊥DC ―→，∴|AC ―→|2＝|AE ―→|2＋|ED ―→|2＋|DC ―→|2＋2|AE ―→|·|DC ―→|cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ， 解得cos θ＝33. 故二面角A PB C 的余弦值为33. 法二：由法一可知，向量DC ―→与EA ―→的夹角的大小就是二面角A PB C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB 的中点，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，12.又PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB ―→的比为13. ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，24，34，EA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－24，－34，DC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，－12，|EA ―→|＝32，|DC ―→|＝1，EA ―→·DC ―→＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.∴cos 〈EA ―→，DC ―→〉＝EA ―→·DC ―→| EA ―→|·|DC ―→|＝33.故二面角A PB C 的余弦值为33. 法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ―→＝(0,0,1)，AB ―→＝(2，1,0)，CB ―→＝(2，0,0)， CP ―→＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP ―→＝0，m ·AB ―→＝0⇒⎩⎨⎧x ，y ，z，0，＝0，x ，y ，z2，1，＝0⇒⎩⎨⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ―→＝0，n ·CP ―→＝0⇒⎩⎨⎧x ′，y ′，z2，0，＝0，x ′，y ′，z，－1，＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33.∴二面角A PB C 的余弦值为33.1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设直线l 与平面α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) A.63B.33C.23 D.13解析：设正三棱锥P ABC ，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a .取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，易知∠PDC 为侧面PAB 与底面ABC 所成的角．易求PD ＝22a ，CD ＝62a ， 故cos ∠PDC ＝PDDC ＝33. 答案：B3．在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B AD C 后，BC ＝12a ，这时二面角B AD C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由定义知，∠BDC 为所求二面角的平面角， 又BC ＝BD ＝DC ＝12a ，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°. 答案：C4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m ＝(0,0,3)，n ＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝，0，，9，382＋92＋22＝2149＝2149149.答案：21491495．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________． 解析：如图，以DA ，DC ，DD1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1―→是平面A 1BD 的一个法向量．又AC 1―→＝(－1,1,1)， BC 1―→＝(－1,0,1)．所以cos 〈AC 1―→，BC 1―→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：636．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD A1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B A 1D A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz . 因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)． 则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17.因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)． 设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量， 又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎨⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量， 从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m | AE ―→||m |＝333×4＝34.设二面角B A 1D A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B A 1D A 的正弦值为74.一、选择题1．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )A.176 B.216 C ．－216D.213解析：∵cos 〈a ，n 〉＝a ·n|a |·|n |＝，2，，1，1＋4＋9·22＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216.∴l 与α所成角的正弦值为216. 答案：B2.如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA ＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60°解析：以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，EB ―→＝(1,0，－1)，EC ―→＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n＝(1,0,1)，又平面EAD 的法向量为AB ―→＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AB ―→〉＝12×1＝22，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.答案：B3．在直角坐标系中，已知A (2,3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A Ox B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ为( )A ．－19B.19C.49D ．－49解析： 过A ，B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′，B ′.则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26.由AB ―→＝AA ′―→＋A ′B ′―→＋B ′B ―→，得|AB ―→|2＝|AA ′―→|2＋|A ′B ′―→|2＋|B ′B ―→|2＋2|AA ′―→|·|B ′B ―→|·cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)， ∴cos θ＝49.答案：C4.已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D ，E 分别是点A 在PC ，PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A PC B 的平面角 B ．∠AED 是二面角A PB C 的平面角 C ．∠DAE 是二面角B PA C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A PC B 的平面角解析：选项A 错误，若DE ⊥PC ，则PC ⊥平面ADE ，所以PC ⊥AE ，又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，同理可证：AD ⊥平面PBC ，这是不可能的．选项B 正确，因为PA ⊥BC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AD ⊥平面PBC ，又因为AE ⊥PB ，所以DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A PB C的平面角．选项C 错误，因为PA ⊥平面α，所以PA ⊥AC 且PA ⊥AB ，所以∠CAB 为二面角B PA C 的平面角，因此，∠DAE 不是二面角B PA C 的平面角．选项D 错误，在△PAC 中，∠PAC ＝90°，所以AC 与PC 不垂直，因此，∠ACB 不是二面角A PC B 的平面角．答案：B 二、填空题5．如图所示，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B1(3，1,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2， 则CD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2， CB 1―→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·CB 1―→＝0，解得n ＝(－3，1,1)． 又∵DA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，∴sin θ＝|cos 〈DA ―→，n 〉|＝45.答案：456．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示空间直角坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝()1，－3，1，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，sin 〈n ，OA ―→〉＝255.∴二面角A BD C 的正弦值为255.答案：2557．已知三棱锥S ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB ―→＝(3，1,0)， SB ―→＝(3，1，－3)，SC ―→＝(0,2，－3)． 设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB ―→＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC ―→＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)． 设AB 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB ―→〉|＝|n ·AB ―→||n |·|AB ―→|＝3＋34×2＝34.答案：348．在体积为1的直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，求直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：由题意，可得体积V ＝CC 1·S △ABC ＝CC 1·12·AC ·BC ＝12CC 1＝1，∴CC 1＝2.建立如图所示空间直角坐标系，得点B (0,1,0)，错误!.则A 1B ―→＝(－1,1，－2)，又平面BB 1C 1C 的法向量为n ＝(1,0,0)．设直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，A 1B ―→与n 的夹角为φ， 则cos φ＝A 1B ―→·n |A 1B ―→|·|n |＝－66，∴sin θ＝|cos φ|＝66， 即直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为66.答案：66三、解答题9.如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)， FE ―→＝(10,0,0)， HE ―→＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)． 又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M AB D 的余弦值． 解：(1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)． 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |x －2＋y 2＋z2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎨⎧－2x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M AB D 为锐角， 因此二面角M AB D 的余弦值为105.。
直线与平面所成的角
例1.如图，已知AB是平面的一条斜线，B为 斜足，AO,O为垂足，BC为内的一条 直线， ABC 60 , OBC 45 ，求斜线AB 和平面所成角。
A
P49 练习 1（1、2） 2
B O C
练习：
1、已知直线L与平面所成角是 3 ,
直线m是平面内直线,则直线L与m所成角
直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的
角是0°
思考：
直线与平面所成的角θ 的取值范围 是：
0
2
。
斜线与平面所成的角θ 的取值范围 是：
0
2
。
平面的斜线和平面所成的角
cos= cos 1cos2
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 最小的角
A1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（3）AB1在面CDD1C1中的射影
A1 D1
线段C1D
C1 B1
D A B
C
练习2：
如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 B1 C1
直线与所成角的正弦值
直线与所成角的正弦值
摘要：
一、前言
二、直线与所成角的定义
三、正弦值的计算公式
四、直线与所成角的正弦值的应用
五、总结
正文：
一、前言
直线与所成角是几何学中的一个基本概念，它涉及到直线与平面之间的位置关系。
正弦值作为三角函数的一种，可以用来描述直线与所成角的大小。
本文将详细介绍直线与所成角的正弦值的计算方法及其在几何学中的应用。
二、直线与所成角的定义
首先，我们需要了解直线与所成角的定义。
平面内一条直线与另一条直线相交所构成的角，称为所成角。
所成角的大小与直线在平面内的位置有关，可以用正弦值来表示。
三、正弦值的计算公式
正弦值（sin）是三角函数的一种，它的计算公式为：sinθ = 对边/斜边。
在直线与所成角的情况下，我们可以将对边视为直线在平面内的投影，斜边视为直线的全长。
因此，正弦值可以表示为：sinα = AB / AC，其中AB 为直线在平面内的投影，AC 为直线的全长。
四、直线与所成角的正弦值的应用
直线与所成角的正弦值在几何学中有着广泛的应用，例如在解析几何中，可以用正弦值表示直线与坐标轴的夹角；在立体几何中，可以用正弦值表示直线与面的夹角。
此外，正弦值还可以用于计算三角形的面积和求解一些与角度有关的问题。
五、总结
直线与所成角的正弦值是描述直线与平面之间位置关系的重要工具。
通过理解正弦值的计算公式，我们可以更好地把握直线与所成角的大小，从而解决实际问题。
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直线与平面所成的角的定义：
①直线和平面所成的角有三种：
a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
b．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。
c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00.
②取值范围：00≤θ≤900．
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”
最小角定理：
斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角），是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角。
求直线与平面所成的角的方法:
(1)找角：求直线与平面所成角的一般过程：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；
②在三角形中求角的大小．
(2)向量法：设PA是平面α的斜线，，向量n为平面α的法向量，设PA与平面α所成的角为θ，则。