直线与平面所成的角教学设计

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一体化课程培训——空间两条直线及所成的角教学设计

空间两条直线及所成的角教学设计【设计理念】：中职学校立体几何课程以培养学生的逻辑思维和空间想象力为主要目标。

根据我校学生特点，坚持教学课堂的先做后学，先学后教，以教促学的“生本理念”，在处理方式上采用削干强枝，淡化形式的教学原则，通过多媒体应用，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得教学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式。

注重对典型实例的观察、分析，给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验，猜想等合情推理活动后，再进行演绎推理、逻辑论证。

另外，通过“观察、思考、探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动在进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程，注重探索空间图形性质的过程。

一、教学目标知识目标：（1）理解异面直线的概念，掌握空间两条直线的位置关系（2）理解异面直线夹角的定义，熟练掌握求异面直线夹角的的方法能力目标：（1）采用情景、对话、探讨等教学模式，通过动手画图，分析总结，空间想象等小结出异面直线的概念，得出空间里面两条直线的位置关系。

（2）通过平移的方法，得出夹角的定义，并熟练求异面直线的夹角（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）培养学生善于提出问题、分析问题的思维品质，理解事物之间相互关系、相互转化的辩证唯物主义思想。

（2）努力创造一种和谐、平等、宽松的课堂氛围，让学生乐于学习，敢于表达、交流自己的看法和想法。

二、教学重点和难点：教学重点: （1）异面直线概念的定义，判断异面直线所成的角。

（2）如何求异面直线的夹角。

教学难点：异面直线所成的角【教法分析】在教学内容的处理上，按照“直观感知—操作确认—思辨应用”的认识过程展开。

采用合作讨论法，实践学习法等教学方法，先通过直观感知和操作确认的方法，概括出异面直线的概念。

采用多媒体教学等有效手段，通过对图形的观察、实验和画图，使学生进一步了解空间的直线与直线夹角，学会准确的运用异面直线夹角知识解决一些简单的推理应用问题。

2.5.3直线与平面的夹角教学设计一等奖

2.5.3直线与平面的夹角广西梧州市苍海高级中学蒙先彩一、教学目标：理解直线与平面的夹角的概念，掌握利用空间向量求解直线与平面的夹角的方法和步骤。

二、教学重难点重点：掌握直线与平面的夹角的求解方法和步骤难点：推导直线和平面的夹角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角关系。

三、教学过程：（一）复习回顾:直线与直线的夹角及二面角的向量求法。

线线角cos θ= 二面角cos θ= （二）合作探究1、直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为__ __ 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为_______ 由此可得,直线与平面夹角的范围是________. 2、直线与平面夹角的求法空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定．设平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为s ，直线l 与平面α所成的角为θ. 当0≤〈n ，s 〉≤π2时，θ＝当π2<〈n ，s 〉≤π时，θ＝即sin θ＝ 3、例题讲解''’''’33ABCD A B C D F A D FCA C θ-'与平面ABCD 的夹角的例在空间直角坐标系中有单位正方体，求对角线例变式：题目条件保持不变，若是的正中点，弦值求直线与平面.例4 在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’，E ，F 分别是的B ’C ’,A ’D ’中点，求直线AC 与平面ABEF 的夹角θ的正弦值.x例4变式：题目条件保持不变，求直线AC 与平面B ’CD ’的夹角的正弦值.小结：向量法求直线与平面的夹角的步骤。

4.课堂练习（1）如图，已知三棱椎P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．求SN 与平面CMN 所成角的大小．（2）（2017北京理科16改编）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 为线段PB 的中点，PD//平面MAC ,PA =PD求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值。

《平面与平面垂直的判定定理》教学设计

《平面与平面垂直的判定定理》教学设计一、本节内容分析本节内容按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程展开.对于直线与直线的垂直,首先定义异面直线所成的角,两条直线垂直包括共面垂直与异面垂直对于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直主要研究它们的判定定理和性质定理.直线与平面垂直的判定定理是指一条直线与构成该平面的基本元素—直线满足什么条件才能使此直线与该平面垂直,而平面与平面垂直的判定定理是指构成其中一个平面的直线与另平面或这个平面内的直线具备什么条件才能使两个平面垂直,实际上是在寻找平面与平面垂直的充分条件.性质是指直线与平面垂直、平面与平面垂直时,其基本构成要素具有怎样的确定不变的关系,实际上是必要条件,性质和判定之间具有互逆的关系,这也是我们研究问题的一个自然的起点.本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开.通过本节课的学习与研究,可进步完善学生的知识结构,更好地培养学生观察记忆、空间想象及推测解释能力,使其体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想,提升直观想象、数学运算和逻辑推理核心素养.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析上一节,我们研究了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,本节在上一节基础上研究空间直线、平面间的另一特殊位置关系——垂直.由于学生的知识积累、解决问题的方法都已较为丰富,所以本节内容的学习既要继续加强从“一般观念”上的引导,让学生明确“什么是空间直线、平面的垂直”以及“空间直线、平面垂直时,其要素(直线、平面)有什么确定的不变关系”;又要充分类比对空间直线、平面平行关系的研究方式,引导学生研究空间直线、平面之间的垂直关系.研究的对象尽量由学生去提出,研究的内容要学生去确定,研究的方法启发学生去寻找.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.平面与平面垂直【教学目标设计】1.通过实例直观感知“二面角”概念的形成过程,理解二面角的概念,掌握二面角的作法,理解并掌握两个平面互相垂直的概念,两个平面垂直的判定定理及其应用方法.2.发展学生的推测解释能力、观察记忆能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新的精神.【教学策略设计】1.在平面与平面垂直的实际教学中,建议采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法,使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法,从而达到以学生为主体、教师为主导、师生共同发展的课堂教学效果.【教学方法建议】启发教学法、探究教学法、情境教学法,还有________________________________【教学重点难点】重点1.直观感知、操作确认,概括出平面与平面垂直的判定定理难点3.平面与平面垂直的判定定理的应用.【教学材料准备】1.常用材料:多媒体课件、计算机、实物模型、__________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入探究1 平面与平面垂直的判定定理师:在工程建设中,建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直,如果系有铅锤的细线紧贴墙面,则确定墙面与地面垂直,否则不垂直.为什么线要紧贴墙面?生:为了说明细线在墙面内,细线与地面垂直,墙面就和地面垂直.师:满足什么条件的时候,才能使平面与平面互相垂直?【师生活动】教师组织学生思考、讨论,归纳出下面的结论.生:如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面,则这两个平面垂直.师:如何用图形语言和符号语言描述平面与平面垂直的判定定理.【师生活动】教师指导学生画出图形并将文字语言转化成符号语言,并出示多媒体.【推测解释能力】通过对实际问题观察和理解,使学生形成面面垂直的判定定理,通过学生交流讨论,把实际问题抽象成数学符号的表达方式,培养学生严谨的数学思维习惯【要点知识】平面与平面垂直的判定定理⊥⎫lα【教师总结】这个定理说明,可以由直线与平面垂直,证明平面与平面垂直.师:门所在平面与地面始终垂直吗?大家将课本打开,直立放在桌面上,每页纸张与桌面是否垂直?为什么?【师生活动】教师组织学生讨论、交流,用面面垂直判定定理来解释现象.师:下面请看如何利用平面与平面垂直的判定定理来解决实际问题.【活动学习】通过用判定定理解释生活中的常见现象,让学生意识到数学来源于生活,服务于生活,也体现了从特殊到一般,再到特殊的知识认知过程,促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握“降维”的转化与化归的数学思想方法【说明论证能力】通过学生尝试用定理解决问题,从而加强对面面垂直判定定理的理解和掌握,巩固所学知识,进一步体会由证明面面垂直转化为证明线面垂直,提升学生的逻辑思维和分析问题、解决问題的说明论证能力【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例1 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'【师生活动】教师出示多媒体并读题,引导学生分析题意,梳理解题思路,得到要用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直,关键是找到一个平面内有一条直线垂直于另一个平面.学生独立完成例题证明,教师巡视课堂,并适时给予学生指导,教师出示规范解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证平面A'BD ⊥平面ACC'A',根据两个平面垂直的判定定理,只需证明平面A'BD 经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC,BD 是正方形ABCD 的对角线.证明:ABCD-A'B'C'D'是正方体,AA'⊥平面ABCD ,AA'BD ⊥又BD AC ⊥,AA'AC=A ⋂，∴BD ⊥平面ACC'A',又BD ⊂平面A'BD ,平面A'BD ⊥平面ACC'A'.师:请看下一道例题.【意义学习】通过教师对证明过程进行规范、完整的板书,引导学生注意证明过程的规范性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例2 如图,AB 是O 的直径,PA 垂直于O 所在的平面,C 是圆周上不同于,A B 的任意一点.求证:平面PAC ⊥平面PBC .【师生活动】教师引导学生分析解题思路,鼓励学生交流、讨论,并请学生做板演,教师对学生的解答过程做评价,随后教师给出规范性解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证明两个平面垂直,根据两个平面垂直的判定定理,只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面,而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中,由题意可知BC AC ⊥,,BC PA AC PA A ⊥⋂=,从而BC ⊥平面PAC ,进而平面PAC ⊥平面PBC .证明:∵PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面,ABC PA BC ∴⊥.∵点C 是圆周上不同于,A B 的任意一点,AB 是O 的直径,∴90BCA ∠=︒,即BC AC ⊥. 又∵,PA AC A PA ⋂=⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC BC ∴⊥平面PAC .又∵BC ⊂平面,PBC ∴平面PAC ⊥平面PBC .【深度学习】通过教师引导学生分析解题思路,使学生掌握判断面面垂直有两种方法:一种是定义法(证二面角的平面角是直角),一种是判定定理法(证一个平面过另个平面的一条垂线),深化学生对两种方法的掌握能力【说明论证能力】通过例题巩固所学知识,使学生能够熟练应用知识解决说明论证的问题【教师总结】从本节的讨论可以看到,由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直;由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直,这进一步揭示了直线平面之间的位置关系可以相互转化.师:通过这节课的学习,同学们都学到了哪些知识?【师生活动】教师引导学生归纳总结、完善本节课所学知识.【整体学习】引导学生学习直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系,进一步体会空间中直线与平面的位置关系之间的相互转化,培养学生对转化与化归数学思想方法的理解,发展学生的逻辑推理学科核心素养【课堂小结】平面与平面垂直1.判定平面与平面垂直的方法有哪些?判定平面与平面垂直的方法体现了什么数学思想?2.平面与平面垂直的判定定理是什么?能够解决哪些问题?3.如何实现空间垂直关系的相互转化?请指出下面图中空间垂直关系转化的依据.【设计意图】通过理解和掌握面面垂直的判定和性质,能够证明面面垂直和线面垂直,培养学生的推测解释、说明论证能力,提升逻辑推理核心素养【课后作业】教材P235练习3、4题教学评价垂直关系的相互转化:线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论探求所需的关系,从而架起条件与结论的桥梁.空间平行、垂直关系之间的转化:【设计意图】引导学生对线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质探究分析,帮助学生体会知识的生成、发展、完善的过程.通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推理解释、说明论证、猜想探究等)分析问题、解决问题,从而达到直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养目标要求【以学定教】根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的知识点和定理,依据生活实例和模型,采取不同探究式教学法,让学生逐步掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的知识教学反思本节的知识(直线与直线的垂直关系、直线与平面的垂直关系、平面与平面的垂直关系)与学生学习的生活联系密切,教师一方面引导学生从生活实际出发,把知识与周围的事物联系起来;另一方面,教师引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程,注重探索空间图形位置关系的判定与性质的过程本节课教师特别注重数学中的文字语言与符号语言的相互转化,将空间问题向平面问题转化,有效地体现了转化与化归的数学思想.在判定定理的教学中,遵循了“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程,学生通过观察分析、自主探究,在教师的引导下,进行适当推理而归纳出判定定理关于判定和性质定理的应用,教师没有简单直接讲解,而是由学生先行自主探究,教师适时点拨,以增强学生自主学习的意识,再通过实物投影,来规范学生的解答过程,提高学生数学表达能力.【以学论教】对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果使学生通过观察分析、自主探究学习和掌握空间线面的垂直关系。

求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案

§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

高中数学教学课例《直线、平面垂直的判定及其性质》课程思政核心素养教学设计及总结反思

么？”的思考，并通过分析旗杆与它在地面上的摄影的
位置关系引出了直线和平面垂直的概念。
知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的
平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概
念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的
教学目标应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上
培养学生的观察、分析、解决问题能力。
（一）创设情景，揭示课题
问题 1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题 2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直
线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共
同的特征？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出
问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们
常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应
如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个
小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一
点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图 2.3-3），
通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角
教学过程交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？
如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该
如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知生观察其状，然后引导
学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面
角的概念及记法表示（如下表所示）
高中数学教学课例《直线、平面垂直的判定及其性质》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《直线、平面垂直的判定及其性质》

直线与平面所成的角教学设计

【课题】9.3 直线与平面所成的角【教学目标】知识目标：理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面所成的角的概念【教学难点】直线与平面所成的角的求解【教学设计】斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(40分钟)【教学过程】过程行为行为意图图9−33*动脑思考探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足. 画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34提问指导思考解答领会知识*创设情境兴趣导入将一根木棍P A 直立在地面α上，用细绳依次度量点P 与地面上的点A 、B 、C 、D 的距离（图9−35），发现P A 最短．质疑引导分析思考启发学生思考*动脑思考探索新知如图9−35所示，PA α⊥，线段P A 叫做垂线段，垂足A 叫做点P 在平面α内的射影．直线PB 与平面α相交但不垂直，则称直线PB 与平面α斜交，直线PB 叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜讲解说明思考图9−35过程行为行为意图足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．引领分析理解带领学生分析*创设情境兴趣导入如图9−36所示，科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度呢？图9−36质疑思考带领学生分析*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在质疑思考带领学生过程行为行为意图平面α内，已知底边长BC =16，腰长AB =17，又知点A 到平面α的垂线段AD =10．求（1）等腰∆ABC 的高AE 的长；（2）斜线AE 和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB 是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE 的长；AED ∠是AE 和平面α所成的角，三角形ADE 是直角三角形，求出AED ∠的正弦值即可求出斜线AE 和平面α所成的角．解 (1) 在等腰∆ABC 中，AE BC ⊥，故由BC =16可得BE =8.在Rt ∆AEB 中，∠AEB =90°，因此 222217815AE AB BE =-=-=.（2）联结DE .因为AD 是平面α的垂线，AE 是α的斜线，所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===，所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？分析*运用知识强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析 *归纳小结强化思提问巡视思考求解及时了解图9−38过程行为行为意图本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？指导学生知识掌握情况 *自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？自我测评 1、判断：（1）若直线和平面相交，则直线与平面所成的角小于等于90度。

角的认识教学设计方案(精选7篇)

角的认识教学设计方案(精选7篇)角的认识教学设计方案精选篇1教学目标：1、结合生活实际，经历从现实生活中发现角、感知认识角的过程。

认识常见的各种角，知道角各部分的名称，学会画角。

2、经历观察、比较、操作等数学活动，培养学生的观察能力、动手操作能力、分析能力和抽象能力。

进一步建立空间观念，丰富学生的形象思维。

3、通过生活情境的创设，感受生活的密切联系，使学生获得成功的体验，建立自信心。

教学重点：能正确辨认角,知道角的各部分名称。

教学难点：能画出角，初步感知角的大小与开口大小有关，与边长无关。

教学、具准备：1、教具准备：多媒体课件，圆形纸、直尺。

2、学具准备：三角板、圆形纸、练习簿等。

教学过程：一、激趣导入1、猜图形游戏师：同学们，咱们今天先来玩猜图形的游戏怎么样？听好了：老师的信封里装了一些我们学过的平面图形，请你根据露出来的部分，猜出它是什么图形，明白了吗？师出示信封，露出图形的一角，生猜（信封里装有正方形，三角形）。

质疑：为什么没有人猜圆形？（设计意图：）2、折角活动建立表象（要不要视频？）师：（出示圆形）圆形没有角,那你能用圆形折出一个角吗？光说不练可不行，课前，老师给大家准备了一张圆形纸，请你用它来折一折，看能不能折出角，开始吧！生动手活动，师巡视。

二、初步感知1、初步感知师：折好了吗？没折好的同学来跟老师一起折。

现在来摸一摸你折出的角，你有什么感觉？引导：（1）尖尖的，扎手，这是角的顶点（2）从尖尖的点出发，往这，是一条直直的线，往另一个方向，也是一条直直的线，这两条线和顶点就围成了一个角。

3、揭示课题（书写）这就是今天我们要学习的角。

白板板书课题：角的认识三、探究体验1、认识角的各部分名称（1）找角师：角不仅存在于平面图形中，在生活中，角的身影也随处可见。

出示主题图这是一幅美丽的校园图，请仔细观察，你能找到角吗？和你的同桌一起，看谁找得最多！（2）汇报角（插入flash、聚光灯、放大镜）师：找到了吗？你都找到了哪些角？谁还有补充？（引导学生说出什么组成了角，或者是用手比划一下）（3）认识顶点和边（笔、动画、手动添加文字）师：大家的眼睛可真厉害！老师啊，把大家找到的包含角的物体其中的三个展示出来（课件出示）你能说说这3个角分别在哪吗？师：掌声送给这位同学！为了方便观察，我将这些实物隐去，这3个角有什么共同点呢？（若生已经说出角的顶点和两条边就让他上台用笔标出顶点和边）学生汇报，师出示顶点、和两条边。

教学设计4：3.2.3直线与平面的夹角

3.2.3直线与平面的夹角教学目标1．知识与技能掌握直线和平面所成的角．能够求直线和平面所成的角．2．过程与方法通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力．3．情感态度与价值观培养学生辩证的看待事物，体会事物在一定条件下可以相互转化．教学重点：直线和平面所成的角．教学难点：求直线和平面所成的角．教学过程问题导入如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为90°．如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0°．平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？我们先研究如何计算平面的斜线与该平面内任一条直线的夹角.如图所示，已知OA 是平面α的斜线段，O 是斜足，线段AB 垂直于α，B 为垂足，则直线OB 是斜线OA 在平面α内的正射影．设OM 是α内通过点O 的任一条直线，OA 与OB 所成的角为θ1，OB 与OM 所成的角为θ2，OA 与OM 所成的角为θ，下面我们用向量的运算来研究 θ1，θ2之间的关系.在直线OM 上取单位向量m ，则BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ，即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0. 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BA⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·m = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m + BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ，因此OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ，即|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos θ =|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |· cos θ 2， 2cos cos OB OA θθ= 又因为 1cos OBOA θ= ，所以cos θ= cos θ1 cos θ2在上述公式中，因0≤cos θ2≤1，所以cos θ≤cos θ1.因为θ1和θ都是锐角，所以θ1≤θ.由此我们得到斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）.如图，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在平面α内的射影A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且直线AB 与平面α夹角为θ，易证| A`B`⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos θ.引例 ∠BAC 在平面α内，过该角的顶点A 引平面α的斜线AP ，且使∠P AB= ∠P AC ，求证斜线AP 在平面α内的射影平分∠BAC 及其对顶角（如图）.证明：如图，设点P 在α内的射影为点M ，则AM 为AP 在平面α内的射影.沿射影AB ，AC 的方向分别取单位向量i ，j ，则由PM ⊥平面α，得MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥i ， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥j ，而MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·i =0， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·j =0，因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·i =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·i ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·j =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·j ，即|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠P AB=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | cos ∠BAM ,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠P AC=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | cos ∠CAM . 比较以上两式，因为cos ∠P AB=cos ∠P AC ，所以cos ∠BAM=cos ∠CAM.因此∠BAM=∠CAM.即直线AM 平分∠BAC 及其对顶角.课堂检测1．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为 ( )A. 13B. 223C. 22D. 23 【答案】A2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 【答案】A【解析】设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12. ∴θ＝30°.3．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．以上均错【答案】B4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为( )A. 24B. 23C. 63D. 32 【答案】 C【解析】建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B →＝(0,1，－1)，A 1D →＝(－1,0，－1)．∴AC 1→·A 1B →＝1－1＝0，AC 1→·A 1D →＝1－1＝0.∴AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为63.课堂小结1．线面角可以利用定义在直角三角形中解决．2．线面角的向量求法：设直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与平面所成的角为θ, 则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n ||a|·|n |.。

直线与平面所成的角教学设计

的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．斜线忆定义．
基础上记
上一点与斜足之间的线段叫做斜线段．
忆．并一定掌
如图，AB 是平面的斜线，B 是斜足，AB
重点强调斜线握线面角的
是斜线段．
的射影是过垂足和形成，达到能
新
A
斜足的直线．
够利用线面
教师可在此处垂中的线面学生练习辨别垂线，角，再利用解
教师必须在
师生合作共同每一步后注
完成．并体现立体几明所用定理，
何中书写强调的作、给学生以明
证、求的完整表达过确的思维指
程。
导．
新课
1．平面的斜线的定义．
小
2．理解直线与平面所成的角的概念，并
结会求直线与平面所成的角．
教材 P131 练习 A 组第 3 题．
作
教材 P131 练习 B 组第 1 题（选做）．
业
学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师了解学生对本节课的掌握情况．
教师引导梳理．
1
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
1．直线与平面垂直的定义、判定定理和
直线与平面的
本节内
性质定理．
位置关系有哪些？容是建立在
2．直线与平面的位置关系．
师：空间直线与线面垂直的
平面垂直属于哪一基础之上的，
种情况？
所以学生必
导入
生：一条直线和须对线面垂
直线与平面所成的角
三台县芦溪中学罗伟
【教学目标】
1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．

02 教学设计_直线与平面的夹角(第1课时)(2)

1.2.3 直线与平面的夹角(1)本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节主要学习直线与平面的夹角。

学生在学习了异面直线所成角的概念，对空间角的问题有了一定的经验，线面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开。

为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台。

1.教学重点：利用空间向量求直线与平面所成的角问题.2.教学难点：线面角的概念多媒体一、情境导学日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象，例如如图1所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面呈一定角度；如图2所示，地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面呈一定角度，那么怎样来刻画直线与平面所成的角呢？二、探究新知问题1：如图所示，设l是平面α的一条斜线，m是平面α内的任意一条直线. 能否将m与l所成的角定义为直线l与平面α所成的角？如果不能，该怎样规定直线l与平面α所成的角？1.直线与平面所成的角1.判断(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角. ()(2)若直线与平面相交,则该直线与平面所成角的范围为0,π2 . ()答案:(1)×(2)×2.直线与平面的夹角的取值范围是什么?斜线与平面的夹角的取值范围是什么?],斜线与平面的夹提示:直线与平面的夹角的取值范围是[0,π2).角的取值范围是(0,π2问题2：如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M ⊥OM记∠OAA′=θ1，∠A′OM=θ2, ∠A OM =θ（1）从直观上判断θ1与θ2的大小关系；（2）说明AM⊥OM是否成立，探究θ1，θ2，θ三者之间的等量关系2.最小角定理(1)线线角、线面角的关系式如图,设OA是平面α的一条斜线段,O为斜足,B为A在平面α内的射影,OM是平面α内的一条射线.θ是OA与OM所成的角,θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角.则有cos θ=cos θ1cos θ2.(2)最小角定理平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.3. 已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与P A,PB所成角均为135°,则PC与平面α所成角的余弦值是()A.-√63B.√63C.√33D.-√33解析:设PC与平面α所成的角为θ,由最小角定理知cos 45°=cos θcos 30°,∴cos θ=√63.答案:B4.将公式cos θ=cos θ1cos θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立?提示:不成立.只有在特定的条件下能相等.也只能是数值上的相等,不具有等式的一般性结论.问题3：如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与<v,n >的关系3.用空间向量求直线与平面的夹角如果v 是直线l 的一个方向向量,n 是平面α的一个法向量,设直线l 与平面α所成角的大小为θ,则有 (1)θ=π2-<v ,n >,θ=<v ,n >-π2;(2)cos θ=sin <v ,n >,sin θ=|cos <v ,n >|.5.判断：直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角.( ) 答案:×例1 已知ABCD −A ′B ′C ′D ′是正方体，求B ′D ′与平面A ′BCD ′所成角的大小。

《直线与平面所成的角》教学设计

直线与平面所成的耳英语（修订版）第一册■ ■ ■（一）情景创设，兴趣导入（约3分钟）教师：播放视频学生：观看视频通过观看微课视频，回顾电焊专业课上对焊炬焊丝倾角的要求。

m * j 烁常恼會与牌ci暉庫帆乂漏mv_ J ：.剣 *矢厚札|*!|国筈3那伞与弊些的蓟宣在电焊专业操作中，焊炬与焊件，焊丝之间需要保持一定的角度。

不同的焊件厚度，焊炬倾角也是不同的。

现有一块厚度约为8mm的焊件，手持焊件位置距离前端应为40cm,那么手应离地面的高度为多少？（二）实践交流，探究新知（约18分钟）探究一：直专业任务导入既能迅速集中注意力又能唤起探究的欲望。

教师：展示图片学生：思考播放视频任务引入线与平面所成的角定义1•生活实例从生活实际出发，能极大地激发学习数学的兴趣，让课堂更加的灵活多样。

学生：观察，回忆教师：启发，引导kku-iilir 几何画板动态演示（识角）定义：直线丨与它在平面a内的射影丨’的夹角，叫做直线丨与平面a所成的角探究二：直线与平面所成的角的取值范围1.动手演示：一支笔所在的直线与桌面所在的平面可能有几个交点（公共点）？总结：直线与平面有哪几种位置关系?归纳角的定义。

通学生：观察通过几何画板的动态演示，深刻理解直线与平面所成的教师：几何画板演示直线与平面所成的角。

过多媒体教学的使用，突出了重点。

规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角。

直线与平面所成的角的取值范围是[0,n].想一想：（小组讨论）如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？（不一定！）（三）学以致用，提升能力（约20分钟）1.小试身手练一练：找到正方体中的线面夹角学生：动手教师：总结直线与平面的三种位置关系。

通过理解直线与平面所成的角的范围，更深刻的理解直线与平面所成的角的定义。

角的取值范围:进一步理解强化线面夹角概量一量：正确的握笔姿势笔杆和桌面成60-70度角，握笔高度约3厘米, 能清楚书写视野，处于放松的姿势和角度。

初中数学初一数学上册《直线与角》教案、教学设计

7.评价反馈，激励进步：注重过程性评价，及时发现学生的闪光点，鼓励学生克服困难，不断提高自己的数学素养。
8.课后作业，巩固提高：布置适量、有针对性的课后作业，帮助学生巩固所学知识，提高解题技能。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，针对不同学生的学习需求，提供个性化的指导。同时，教师要善于运用启发式教学，引导学生主动思考、探索和发现，使学生在掌握知识的同时，提高解决问题的能力。通过本章节的学习，让学生真正体会到数学的魅力，激发他们学习数学的内在动力。
1.学生对直线与角的基本概念掌握程度，以及对相关性质的理解和应用能力。
2.学生在几何作图方面的熟练程度，以及在实际操作中遇到的问题和困难。
3.学生在数学语言表达和逻辑思维方面的能力，以及在学习过程中可能出现的误区。
4.学生的学习兴趣和动机，以及在学习过程中表现出的情感态度和价值观。
三、教学重难点和教学设想
4.小组合作，交流共享：组织学生进行小组讨论，分享各自在探究过程中发现的问题和解决问题的方法，提高学生的合作能力和沟通能力。
5.精讲精练，突破难点：针对教学难点，采用精讲精练的方式，帮助学生理解和掌握直线与角的性质，提高解题能力。
6.拓展延伸，提高能力：设计具有拓展性的问题和练习，让学生在解决问题的过程中，进一步提高几何直观和空间想象力。
4.教学过程中，注重启发式教学，引导学生自主探究、发现规律，提高学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习积极性，使其形成主动学习的态度。
2.培养学生严谨、细致的学习习惯，使其在数学学习中养成良好的思维品质。
3.引导学生体验数学在生活中的应用，认识到数学的价值，增强学生的数学意识。
教学设想：