函数之复合函数之求最值值域
- 3 - 函数之 复合函数之 求最值、值域 1．函数y =(log x )2 －log x 2 ＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 ． 2.函数y=)x log 1(log 2221+的定义域为 ，值域为 . 3.求函数y ＝5 2x ＋2x 5 1＋4（x ≥－32）值域． 4.函数的值域为 A. B. C. D. 5.求下列函数的定义域与值域.(1)y ＝2 3 1 -x ; (2)y ＝4x +2x+1 +1. 6.已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1 -9x 的最大值和最小值 7.设 ，求函数 的最大值和最小值． 8.已知函数 （ 且 ） （1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范围． 9. 已知9x -10·3x +9≤0，求函数y=（ 41）x-1-4·（2 1）x +2的最大值和最小值 10.函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 11.若函数0322≤--x x ，求函数x x y 4222 ?-=+的最大值和最小值。 12.已知[]3,2x ∈-，求11 ()142 x x f x = -+的最小值与最大值。 13.若函数3234+?-=x x y 的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围。 本类题的特征是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是：__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 答案 1. 2.( 22，1)∪［-1，-22］，［0，+∞］ 3.解析：设t ＝x 5 1 ，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3． 4 14 1()() 2log 31x f x =+()0,+∞)0,+∞??()1,+∞)1,+∞??84 25 ≤≤y
高一必修一数学函数的定义域值域专题训练打印版
高一必修一数学函数的定义域值域专题训练打 印版
函数定义域、值域专题教案与练 习 一、函数的定义域 1．函数定义域的求解方法 求函数的定义域主要是通过解不等式（组）或方程来获得．一般地，我们约定：如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合． （1）若)(x f 是整式，则定义域为全体实数． （2）若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数．?? （3）若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数． （4）若)(x f 为对数式，则定义域为真数大于零的全体实数。 （5）若)(x f 为复合函数，则定义域由复合的各基本的定义域所组成的不等式组确定．如：)(x f 的定义域为],[b a ，则复合函数)]([x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出． （5）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定． 2．求函数定义域的常见问题： （1）若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解； （2）由)(x f y =的定义域，求复合函数)]([x g f 的问题，实际上是已知中间变量)(x g u =的值域，求自变量x 的取值范围问题； （3）对含有字母参数的函数，求其定义域时注意对字母参数的一切允许值分类讨论； （4）若是实际问题除应考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． 二、求函数的值域常用方法 （1）观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数值域求解； （2）单调性法：利用函数的单调性求解 （3）换元法：通过对函数解析式进行适当换元，可以将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。 三、初等函数：指数函数、对数函数、幂函数的定义域、值域 1.指数函数：)1,0()(≠>=a a a x f x ，定义域：R x ∈；值域：),0()(+∞∈x f ； 2.对数函数：)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，定义域：),0(+∞∈x ；值域：R x f ∈)( 3.幂函数：α x x f =)(（)R ∈α，其定义域、值域随α的取值而不同，但在),0(+∞∈x 都有意义。
函数的值域与最值
函数的值域与最值 一、基础知识回顾 1. 已知{}{} 12|,log |2+====x y y B x y x A ，则() ∞+= ?，1B A 2.下列函数的值域为()+∞,0的有 4 个 （1）1212+-=x x y （2）21 -=x y （3）x y ?? ? ??=21（4）x y 2log 2=（5）x x y sin 1sin +=（6）x y tan = 3.求函数212++-=x x y ）（值域为?? ? ???230， 11222++-+=x x x x y ）（的值域为?? ? ???135-， 4.已知：)0)(3sin()(>+ =w wx x f π 在]2,0[上恰有一个最大值1和最小值-1，则w 的取值范围是?? ? ???12 13127π π， 5.已知：x,y 为实数，022 2 =-+x y x ，则2 2 2x y s +=的值域为 [0,4] 6.关于x 的方程02 7 2cos 21cos 4=-+- m x x 有实数解，则m 的取值范围是 [0,8] 7.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,直线x=m 与f(x),g(x)的图象分别交于 M ，N 两点，则MN 长度的最大值为2 8.函数x y 2 1log =的定义域为[a,b],值域为[0，2]，则b-a 的最小值是 4 3 9.若函数()10,4log ≠>?? ? ??-+ =a a x a x y a 且的值域为R ，则a 的范围是()(]4110，，Y 10.在△ABC 中，若2B=A+C,则y=cosA+cosC 的值域为?? ? ??121， 二．例题精讲 例1.求下列函数的值域 2sin 11+= x y ）（ 2sin 1sin )2(+-=x x y )80sin()20sin()3(ο ο+++=x x y ?? ????131， [-2,0] [] 33-， )32lg()4(2--=x x y x y sin lg 2)5(= 3sin 2sin )6(2--=x x y R (0,1] {0} )1)(cos 1(sin )7(++=x x y [)()3,11,01 2 2)8(2?∈-+-= x x x x y 且 ?? ????+22230， (][)+∞-∞-,22,Y
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π <（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O
函数的最值与值域知识梳理
函数的最值与值域 【考纲要求】 1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、函数最值的定义 1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值． 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正． 如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值． 2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法 1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0?≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值． 3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4.不等式法：利用均值不等式求最值． 5.利用函数的性质求函数的最值 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7.利用导数求函数的最值。 要点诠释： (1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题: ()f x A >在区间D 上恒成立?函数min ()()f x A x D >∈ 函数的最值与值域 函数的值域 函数的最大值 函数的最小值
必修一函数定义域值域和单调性奇偶性练习题
高一数学函数练习题 一、 求函数的定义域 1、 求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)1 11y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，， 则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311 x y x -= + ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 225941x x y x +=-＋
⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y =⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式系 1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是
高中函数值域的12种解法(含练习题)
高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝） 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}） 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊） 当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可
必修一值域定义域练习题
1、设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示： 其中能表示为M 到N 的函数关系的有。 2、求下列函数的定义域： )(x f =1+x ＋ x -21 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f( ); (3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a). 3、已知函数)(x f =3x 2－5x ＋2，求)3(f ，)2(-f ，)1(+a f 。 4、下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数？ （1）2)(x y =；（2）33x y =；（3）2x y = x 1)31()31 -++x f x
5.给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分别求出f(x)的解析式. 变式训练1：（1）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）； （2）已知f （x ）满足2f （x ）+f （ ）=3x ，求f （x ）. 6 求下列函数的值域： （1）y= (2)y=x-; (3)y=. 变式训练2：求下列函数的值域： （1）y= ; (2)y=|x|. 7．若函数f （x ）=x 2 -x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值. .8.判断函数f(x)=在定义域上的单调性. 需要答案回复 x x x 1;122+--x x x x x 21-1e 1e +-x x 521+-x x 21x -2112-x
人教版数学高一-学案2 函数值域和最值(一)
学案2 函数值域和最值（一） 一、课前准备： 【自主梳理】 1、在函数y =f (x )中，与自变量x 的值对应的值，叫做 ，函数值的集合叫做 2、确定函数的值域的原则： （1）当函数用y =f (x )表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。 (2）当函数y =f (x )用图象给出给出时，函数的值域是指图象在轴上的投影所覆盖的实数y 的值. （3）当函数y =f (x )用解析式给出时，函数的值域是由函数的 和 确定. （4）当函数由实际问题给出时，函数的由问题的 确定. 3、基本初等函数的值域。 （1） b kx y += )0(≠k 的值域为 （2） y =a 2 x +bx +c ()0≠a 的值域为 （3） (0)k y k x =≠的值域为 （4） y = x a )1,0(≠>a a 的值域为 （5） x y a log =)1,0(≠>a a 的值域为 （6） x y x y x y tan ,cos ,sin ===的值域分别为 4、求值域的方法： 配方法 换元法 分离常数法 单调性 数形结合法 判别式法 （不等式 法 求导法后续讲） 5、函数的最值： 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有 M x f ≥)( (2)存在I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数M 是函数的 值. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有 M x f ≤)( (2)存在 I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数是M 函数的 值. 【自我检测】 1、函数x y 1= ()32<<-x 的值域为_________ . 2、函数[]3,2,2-∈=x x y 的值域为_________. 3、已知函数{0,log 0,23)(>≤=x x x x x f ，则=))9 1((f f _________.
必修一 函数的定义域及值域
个性化学科优化学案 辅导科目 数学 就读年级 学生 教师 徐亚 课 题 函数的概念 授课时间 2015年11月28 备课时间 2015年11月25日 教 学 目 标 1、理解函数的概念，明确确定函数的三个要素，会用区间表示函数的定义域和值域；掌握求函数定义域的基本原则。 2、了解函数的三种表示方法，并能选择合适的方法表示函数。 重、难 考 点 求函数的值域问题时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系是确定函数的依据。 教学容 鹰击长空—基础不丢 1．定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集 合B 中 确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合的一个 ，记作： 2．函数的三要素 、 、 3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法； 4. 同一函数： 相同，值域 ，对应法则 . 1．区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a人教版必修一求函数值域的几种常见方法
人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x
高中数学-三角函数图像及性质与值域及最值
高中数学总复习-三角函数 第5课 三角函数的图像和性质(一) 【考点导读】 1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦 函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质； 2 2 2. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像； 3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】 动的最小正周期T _____L_；初相 —- 2. 三角方程2sin(_ - x)=1的解集为 4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x ______ - ____ 个单位. 【范例解析】 例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx). (I) 用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度 为一个周期； 2’ 2 (H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而 1. 已知简谐运动 f(x) 2sin (3X )( 2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运 3.函数 y Asin( x )( 0, 尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为 y 4si n( x ) 8 4 的图象向右平移
分析：化为Asin( x )形式.得到?
列表，取点，描图: x 335 88888 y11逅1 1 V21 故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是: (U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x ) 4 4 1 的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不 4 2 变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标 4 4 伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将 4 y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到 4 y 1 - 2 sin(2x -)的图像. 1 解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得 2 到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到 8 解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x 2(sin 2x cos — 4 cos2xs in ) 4 2sin(2x 4 ).
数学必修一定义域值域知识点总结
数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1，已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域. 例1，已知f(x)的定义域为(-1，1)，求f(2x-1)的定义域. 略解：由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0，1) 2，已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域. 例2，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域。 解：已知0<1，设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3，已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域.
例3，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x-1)的定义域。 略解：如例2，先求出f(x)的定义域为(-1，1)，然后如例1有-1<1，即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0，2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据： ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4，已知f(x)=1/x+√(x+1)，求f(x)的定义域。 略解：x≠0且x+1≧0， ∴f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，+∞) 注意：答案一般用区间表示。 例5，已知f(x)=lg(-x2+x+2)，求f(x)的定义域。 略解：由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1，2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6，某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律： 又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数;
高中一年级数学_指数函数_函数的值域与最值(教(学)案)
授课类型 T-指数函数 C-函数的值域与最值 T-指数函数 教学目的 1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质 2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。 3、掌握函数值域与最值的解法 教学内容 1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的函数表达式是：2x y =. 2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 12米，再从中间剪一次剩下1 4 米，若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数表达式是：12x y ?? = ??? . 问题：这两个函数有何特点? 同步讲解 一、指数函数的概念 一般地，函数x y a =()01a a >≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 注意：为何规定0a >，且1a ≠? 你知道么？
图象 性质 ①定义域：R ②值域：（0,+∞） ③过点（0,1）,即x =0时y =1 ④在R 上是增函数,当x ＜0时,0＜y ＜1; 当x ＞0时,y ＞1 ④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1; 当x ＞0时,0＜y ＜1 利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小. （1）3 2和 1.7 2； （2）23 0.6 - 和34 0.6 - . 【分析与解答】（1）因为指数2x y =函数在(),-∞+∞上是增函数，又3 1.7>，所以3 1.72 2>. （2）因为指数函数0.6x y =在(),-∞+∞上是减函数，又2334 ->-，所以23 3 40.60.6-->. 求下列函数的定义域与值域。 （1）1 4 2 x y -= （2）23x y -?? = ? ?? （3）1 42 1x x y +=++ 【分析与解答】根据指数函数的定义域为R ，逐个分析。 【解】（1）由404x x -≠?≠ 所以定义域为}{ ,4x x R x ∈≠且 1 41 0214 x x -≠∴≠-Q 所以值域为{} 0,1y y y >≠ （2）定义域为R 。 2331322x x x y --≥?????? ∴==≥= ? ? ??? ?? ?? Q 故值域为{} 1y y ≥
高一人教版必修一数学函数定义域、值域、解析式题型
高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 （1 ）1 y = （2 ）y = （2）（3） 若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 （一）已知函数()f x 的定义域，求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，求函数2(2)f x 的定义域。 （二）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域。 （三）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5)，求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
（一） 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+，求()f x 的解析式。 （二） 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 （三） 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈，关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =，求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 。 （四） 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈，均有()(2)0f x f x ++=，当11x -≤≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式。 （五） 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=，求()f x （六） 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-
