7第5章 资产组合计算
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第5章
资产组合计算
资产组合是实务性比较强的内容，通过本章的学习，要求读者掌握协方差与 相关系数之间的相互推导，熟悉资产组合基本理论，学会用 MATLAB 计算投资组 合基本参数， 如均值与方差、 资产组合 VaR， 重点掌握资产组合有效前沿的计算， 能够处理无风险利率以及借贷关系情况下的最优投资组合，会用 MATLAB 规划工 具箱求解投资组合最优化问题。
returns=[0,1,0.12,0.14,0.16,0.2]; variances=[0.02,0.03,0.01,0.05,0.02]; ws=[0.1,0.2,0.3,0.2,0.2]; mean=sum(returns.*ws) variance=sum(variance.*ws.^2)
5.1.4 资产组合 VaR(Value At Risk)
ExpReturn=[0.1,0.2,0.15]; ExpCovariance=[0.0100,-0.0061,0.0042;-0.0061,0.0400,-0.0252;0.0042,-0.0252,0.0225] PortWts=[0.4,0.2,0.4;0.2,0.4,0.2];
[PortRisk,PortReturn]=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts)
Var 总资产 ( t - Z1- t
（5.4）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
具体来讲，计算 Var 的步骤如下。 第 1 步：输入资产权重向量 w、各资产的标准差 sigma、资产之间的相关系数 cov，注意协方差矩阵一定是对称矩阵，需要计算时间长度 t 。 第 2 步：权重向量点乘标准差向量。 第 3 步：计算资产总的标准差 。 第 4 步：对于给定置信度 ，查正态分布表找到 Z1 第 5 步：计算 Varmit 算 Vat， Var 总资产 ( t - Z1- t
1 w11 2 [ w11 , w 2 2 ] 1 w 2 2
其中， w1 , w 2 分别为资产组合权重， 1， 2 为单个资产标准差， 为为这两 种资产之间的相关系数。 一般地，可将式(5.1)用向量与矩阵形式表示，记 w [ w1 , w 2 ,..., w n ] ，表示 各资产的权重， [1 , 2 ,..., n ] 表示各种资产的标准差，资产协方差矩阵记入 cov，则式(5.1)可以改写为如下形式：
在 Command 窗口中执行如下命令：
w=[1/4,3/4];ret=[0.003,0.002];sigma=[0.02,0.01]; corrcoef=[1,0.8;0.8,1];delta=10; pret=delta*dot(w,ret) sig=w.*sigma; tsig=sig*cov*sig'*delta; var=10^7*(pret-2.3263*sqrt(tsig))
PortRisk = 0.0560 0.0550 PortReturn = 0.1400 0.1300
从上述结果可以看到，这两个资产组合的标准差分别为 0.056、0.055，资 产回报分别 0.1400,0.1300 例 5-5 假设资产组合中有 5 种资产， 收益分别为 0.1， 0.12,0.14,0.16,0.2， 方差分别为 0.02,0.03,0.01,0.05,0.02,资产收益率各不相关， 各资产权重分别 为 0.1,0.2,0.3,0.2,0.2,计算该组合的收益率与方差。
5.1.3 资产组合收益率与方差
MATLAB 中计算资产组合回报与方差的函数是 portstats。 调用方式 [PortRisk,PortReturn]=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts) 输入参数 ExpReturn % 期望收益率向量 ExpCovariance % 资产的协方差矩阵 PortWts % 资产权重向量 输出参数 PortRisk % 总资产的标准差 PortReturn % % 总资产的收益 例 5-4 某资产组合中有 3 种资产 A、B、C．组合中各资产的预期收益率分 别为 0.1,0.2,0.15,权重分别为 0．4,0．2,0．4，具体数据见程序
一般被称为“风险价值”或“在险价值” ，指在一定的置信水平下，某一金 融资产(或证券组合）在未来特定的一段时间内的最大可能损失。假定 JP 摩根 公司在 2004 年置信水平为 95％的日 VaR 值为 960 万美元， 具含义指该公司可以 以以 95％的把握保证，2004 年某一特定时点上的金融资产在未来 24 小时内， 由于市场价格变动带来的损失不会越过 960 万美元，或者说，只有 5％的可能损 失超过 960 万美元。与传统风险度量手段不同，VaR 完全是基于统计分析基础上 的的风险度量技术，它的产生足 JP 摩根公司用来计算市场风险的产物。 例 5-6 假设投资者拥有两种资产，资产总价他为 10000 000 元，资产权重 分别为 1／4 与 3／4，这两种资产日波动率的均值分别为 0.003,0.002，标准差 分别为 0.02,0.01，这两种资产之间的相关系数为 0.8，时间为 10 天，给定置 信度为 99％，求该资产 VaR。 首先求总资产方差，公式如下
5.1.2 协方差矩阵与相关系数矩阵间的转换
MATLAB 中的 corr2cov 函数可以把相关系数矩阵转换为协方差矩阵 调用方式 Covariances=corr2cov(STDs,Correlations) 输入参数 STDs %标准差矩阵 Correlations %相关系数矩阵 输出参数 Covariance % 协方差矩阵
10 天 VaR 值为 649 300 元。 实际上 MATLAB 中有专门计算 Var 值的函数，MATLAB 巾的 portrisk 函数可以 计算资产组合 Var 值，注意输入总资产期望收益与标准差，而不是组合中各种 种资产的预期收益率与标准差。 调用方式 ValueAtRisk=portrrisk(PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue) 输入参数 PortReturn %总资产的回报 PortRisk % 总资产的标准差 RiskThreshold % 概率阈值，默认值为 0.05 PortValue % 资产总的价值 输出参数 ValueAtRisk %概率阈值下的单资产 var 值 例 5-7 已知资产年回报率为 0.0029，标准差为 0.0308，资产现在价值为 1 亿， 求 1%水平下资产在险价值。 在 MATLAB 中执行以下命令： PortReturn=0.0029; PortRisk=0.0308; RiskThreshold=0.01; PortValue=1; ValueAtRisk=portvrisk(PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue) 该资产 var 等于 0.0688，即该资产损失 0.0688 亿的可能性为 1％。需注意 的是金融资产一般并不是正态，而是呈现出肥尾特征，其 Var 较正态分布大。
5.1 资产组合基本原理
证券投资组合理论(Portfolio Theory)主要研究如何配置各种不同的金融资 产，实现资产组合的最佳投资配置。1952 年美国学者马克维茨创立了资产组合 理论，该理论在实践中得到广泛运用。
5.1.1 收益率序列与价格序列间的转换
1．将收益率序列转换为价格序列 在处理金融时间序列时， 有时需要把收益率序列转换为价格序列。 在 MATLAB 中将收益率序列转换为价格序列的函数是 ret2tick。 调用方式 [TickSeries,TickTimes]=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,St artTime,Method) 输入参数 RetSeries %收益率序列 StartPrice %(0ptional)起始价格，默认值是 1 RetIntervals %(0ptional)收益率序列的时间间隔，默认值是 l StartTime %(optional)价格开始计算的时间，默认值是 0 Method %(Optionl) 转 换 方 法 。 Method='Simple' 表 示 简 单, p t 1 Pt (1 rt 1 ) ;Method＝'Continous'表示连续法， Pt 1 Pt e rt 1 。 输出参数 TickSeries %价格序列 TickTimes %与价格对应的时间序列 例 5-1 己知资产收益率以及时间间隔如表 5.1 所示 表 5.1 资产收益率及时间 收益率 0.10 0.05 -0.05 时间间隔（天） 182 91 92 起始价格为 10 元，起始时间为 2000 年 12 月 18 日，试求该资产价格时间序 列，收益率采用离散方法。 在 MATLAB 中执行以下命令：
例 5-3 已知资产组合中有 3 个品种，每个品种的资产收益率、标准差和相 关系数如表 5.5 所示。 表 5.5 的相关数据 Returns=[0.1,0.15,0.12]; STDs=[1,0.8,0.18]; Correlations=[1,0.8,0.4;0.8,1,0.3;0.4,0.3,1]; Covariances=corr2cov(STDs,Correlations)
(w.)cov(w, ) ˆ w. ，则有 记号 表示向量转置。如果记 ˆ cov( ˆ ) ˆ t 2
（5.2）
有了资产组合方差，就可以计算出 Var 数值。从正态分布表中可以查到对应于 置信度 99％( 0.01 )的 Z1 2.3263 ，在各种资产都是服从正态分布的假设 下，资产 Var 值为
RetSeries=[0.10,0.05,-0.05]'; RetIntervals=[182,91,92]'; StartPrice=10; StartTime=datenum('18-Dec-2000'); [TickSeries,TickTime]=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime)
datestr(TickTimes) ans = 18-Dec-2000 18-Jun-2001 17-Sep-2001 18-Dec-2001 这样就把收益率时间序列转换为价格时间序列，结果如表 5.2 所示。 表 5.2 资产各时间的价格 时间 18-Dec-2000 18-Jun-2001 17-Sep-2001 18-Dec-2001 价格 10.0000 11.0000 11.5500 10.9725 收益率 0.10 0.05 -0.05 时间间隔 182 91 92 2．将价格序列转换为收益率序列 MATLAB 中将价格序列转换为收益率序列的函数是 tick2ret。 调用方式 [RetSeries,RetIntervals]=tick2ret(TickSeries,TickTimes,Method) 输入参数 TickSeries %价格序列 TimeTimes % 价格序列对应的时间 Method %(Optionl)计算收益率的，Method='Simple'表示算术收 益率;Method＝'Continous'表示连续法，即为对数计算法。 输出参数 RetSeries %收益率序列 RetIntervals %收益率时间间隔 例 5-2 已知股票的价格时间序列如表 5.3 所示。 表 5.3 股票各时间对应的价格 时间 0 6 9 12 价格 100 110 115 110 求出该股票的收益率时日序列。 在 MATLAB 中执行以下命令： TickSeries=[100;110;115;110]; TickTimes=[0;6;9;12]; [RetSeries,RetIntervals]=tick2ret(TickSeries,TickTime)
资产组合计算
资产组合是实务性比较强的内容，通过本章的学习，要求读者掌握协方差与 相关系数之间的相互推导，熟悉资产组合基本理论，学会用 MATLAB 计算投资组 合基本参数， 如均值与方差、 资产组合 VaR， 重点掌握资产组合有效前沿的计算， 能够处理无风险利率以及借贷关系情况下的最优投资组合，会用 MATLAB 规划工 具箱求解投资组合最优化问题。
returns=[0,1,0.12,0.14,0.16,0.2]; variances=[0.02,0.03,0.01,0.05,0.02]; ws=[0.1,0.2,0.3,0.2,0.2]; mean=sum(returns.*ws) variance=sum(variance.*ws.^2)
5.1.4 资产组合 VaR(Value At Risk)
ExpReturn=[0.1,0.2,0.15]; ExpCovariance=[0.0100,-0.0061,0.0042;-0.0061,0.0400,-0.0252;0.0042,-0.0252,0.0225] PortWts=[0.4,0.2,0.4;0.2,0.4,0.2];
[PortRisk,PortReturn]=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts)
Var 总资产 ( t - Z1- t
（5.4）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
具体来讲，计算 Var 的步骤如下。 第 1 步：输入资产权重向量 w、各资产的标准差 sigma、资产之间的相关系数 cov，注意协方差矩阵一定是对称矩阵，需要计算时间长度 t 。 第 2 步：权重向量点乘标准差向量。 第 3 步：计算资产总的标准差 。 第 4 步：对于给定置信度 ，查正态分布表找到 Z1 第 5 步：计算 Varmit 算 Vat， Var 总资产 ( t - Z1- t
1 w11 2 [ w11 , w 2 2 ] 1 w 2 2
其中， w1 , w 2 分别为资产组合权重， 1， 2 为单个资产标准差， 为为这两 种资产之间的相关系数。 一般地，可将式(5.1)用向量与矩阵形式表示，记 w [ w1 , w 2 ,..., w n ] ，表示 各资产的权重， [1 , 2 ,..., n ] 表示各种资产的标准差，资产协方差矩阵记入 cov，则式(5.1)可以改写为如下形式：
在 Command 窗口中执行如下命令：
w=[1/4,3/4];ret=[0.003,0.002];sigma=[0.02,0.01]; corrcoef=[1,0.8;0.8,1];delta=10; pret=delta*dot(w,ret) sig=w.*sigma; tsig=sig*cov*sig'*delta; var=10^7*(pret-2.3263*sqrt(tsig))
PortRisk = 0.0560 0.0550 PortReturn = 0.1400 0.1300
从上述结果可以看到，这两个资产组合的标准差分别为 0.056、0.055，资 产回报分别 0.1400,0.1300 例 5-5 假设资产组合中有 5 种资产， 收益分别为 0.1， 0.12,0.14,0.16,0.2， 方差分别为 0.02,0.03,0.01,0.05,0.02,资产收益率各不相关， 各资产权重分别 为 0.1,0.2,0.3,0.2,0.2,计算该组合的收益率与方差。
5.1.3 资产组合收益率与方差
MATLAB 中计算资产组合回报与方差的函数是 portstats。 调用方式 [PortRisk,PortReturn]=portstats(ExpReturn,ExpCovariance,PortWts) 输入参数 ExpReturn % 期望收益率向量 ExpCovariance % 资产的协方差矩阵 PortWts % 资产权重向量 输出参数 PortRisk % 总资产的标准差 PortReturn % % 总资产的收益 例 5-4 某资产组合中有 3 种资产 A、B、C．组合中各资产的预期收益率分 别为 0.1,0.2,0.15,权重分别为 0．4,0．2,0．4，具体数据见程序
一般被称为“风险价值”或“在险价值” ，指在一定的置信水平下，某一金 融资产(或证券组合）在未来特定的一段时间内的最大可能损失。假定 JP 摩根 公司在 2004 年置信水平为 95％的日 VaR 值为 960 万美元， 具含义指该公司可以 以以 95％的把握保证，2004 年某一特定时点上的金融资产在未来 24 小时内， 由于市场价格变动带来的损失不会越过 960 万美元，或者说，只有 5％的可能损 失超过 960 万美元。与传统风险度量手段不同，VaR 完全是基于统计分析基础上 的的风险度量技术，它的产生足 JP 摩根公司用来计算市场风险的产物。 例 5-6 假设投资者拥有两种资产，资产总价他为 10000 000 元，资产权重 分别为 1／4 与 3／4，这两种资产日波动率的均值分别为 0.003,0.002，标准差 分别为 0.02,0.01，这两种资产之间的相关系数为 0.8，时间为 10 天，给定置 信度为 99％，求该资产 VaR。 首先求总资产方差，公式如下
5.1.2 协方差矩阵与相关系数矩阵间的转换
MATLAB 中的 corr2cov 函数可以把相关系数矩阵转换为协方差矩阵 调用方式 Covariances=corr2cov(STDs,Correlations) 输入参数 STDs %标准差矩阵 Correlations %相关系数矩阵 输出参数 Covariance % 协方差矩阵
10 天 VaR 值为 649 300 元。 实际上 MATLAB 中有专门计算 Var 值的函数，MATLAB 巾的 portrisk 函数可以 计算资产组合 Var 值，注意输入总资产期望收益与标准差，而不是组合中各种 种资产的预期收益率与标准差。 调用方式 ValueAtRisk=portrrisk(PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue) 输入参数 PortReturn %总资产的回报 PortRisk % 总资产的标准差 RiskThreshold % 概率阈值，默认值为 0.05 PortValue % 资产总的价值 输出参数 ValueAtRisk %概率阈值下的单资产 var 值 例 5-7 已知资产年回报率为 0.0029，标准差为 0.0308，资产现在价值为 1 亿， 求 1%水平下资产在险价值。 在 MATLAB 中执行以下命令： PortReturn=0.0029; PortRisk=0.0308; RiskThreshold=0.01; PortValue=1; ValueAtRisk=portvrisk(PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue) 该资产 var 等于 0.0688，即该资产损失 0.0688 亿的可能性为 1％。需注意 的是金融资产一般并不是正态，而是呈现出肥尾特征，其 Var 较正态分布大。
5.1 资产组合基本原理
证券投资组合理论(Portfolio Theory)主要研究如何配置各种不同的金融资 产，实现资产组合的最佳投资配置。1952 年美国学者马克维茨创立了资产组合 理论，该理论在实践中得到广泛运用。
5.1.1 收益率序列与价格序列间的转换
1．将收益率序列转换为价格序列 在处理金融时间序列时， 有时需要把收益率序列转换为价格序列。 在 MATLAB 中将收益率序列转换为价格序列的函数是 ret2tick。 调用方式 [TickSeries,TickTimes]=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,St artTime,Method) 输入参数 RetSeries %收益率序列 StartPrice %(0ptional)起始价格，默认值是 1 RetIntervals %(0ptional)收益率序列的时间间隔，默认值是 l StartTime %(optional)价格开始计算的时间，默认值是 0 Method %(Optionl) 转 换 方 法 。 Method='Simple' 表 示 简 单, p t 1 Pt (1 rt 1 ) ;Method＝'Continous'表示连续法， Pt 1 Pt e rt 1 。 输出参数 TickSeries %价格序列 TickTimes %与价格对应的时间序列 例 5-1 己知资产收益率以及时间间隔如表 5.1 所示 表 5.1 资产收益率及时间 收益率 0.10 0.05 -0.05 时间间隔（天） 182 91 92 起始价格为 10 元，起始时间为 2000 年 12 月 18 日，试求该资产价格时间序 列，收益率采用离散方法。 在 MATLAB 中执行以下命令：
例 5-3 已知资产组合中有 3 个品种，每个品种的资产收益率、标准差和相 关系数如表 5.5 所示。 表 5.5 的相关数据 Returns=[0.1,0.15,0.12]; STDs=[1,0.8,0.18]; Correlations=[1,0.8,0.4;0.8,1,0.3;0.4,0.3,1]; Covariances=corr2cov(STDs,Correlations)
(w.)cov(w, ) ˆ w. ，则有 记号 表示向量转置。如果记 ˆ cov( ˆ ) ˆ t 2
（5.2）
有了资产组合方差，就可以计算出 Var 数值。从正态分布表中可以查到对应于 置信度 99％( 0.01 )的 Z1 2.3263 ，在各种资产都是服从正态分布的假设 下，资产 Var 值为
RetSeries=[0.10,0.05,-0.05]'; RetIntervals=[182,91,92]'; StartPrice=10; StartTime=datenum('18-Dec-2000'); [TickSeries,TickTime]=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime)
datestr(TickTimes) ans = 18-Dec-2000 18-Jun-2001 17-Sep-2001 18-Dec-2001 这样就把收益率时间序列转换为价格时间序列，结果如表 5.2 所示。 表 5.2 资产各时间的价格 时间 18-Dec-2000 18-Jun-2001 17-Sep-2001 18-Dec-2001 价格 10.0000 11.0000 11.5500 10.9725 收益率 0.10 0.05 -0.05 时间间隔 182 91 92 2．将价格序列转换为收益率序列 MATLAB 中将价格序列转换为收益率序列的函数是 tick2ret。 调用方式 [RetSeries,RetIntervals]=tick2ret(TickSeries,TickTimes,Method) 输入参数 TickSeries %价格序列 TimeTimes % 价格序列对应的时间 Method %(Optionl)计算收益率的，Method='Simple'表示算术收 益率;Method＝'Continous'表示连续法，即为对数计算法。 输出参数 RetSeries %收益率序列 RetIntervals %收益率时间间隔 例 5-2 已知股票的价格时间序列如表 5.3 所示。 表 5.3 股票各时间对应的价格 时间 0 6 9 12 价格 100 110 115 110 求出该股票的收益率时日序列。 在 MATLAB 中执行以下命令： TickSeries=[100;110;115;110]; TickTimes=[0;6;9;12]; [RetSeries,RetIntervals]=tick2ret(TickSeries,TickTime)