投资组合有效边界计算

6最优投资组合选择最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。

然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。

虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。

这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。

下面分别讨论。

一、 一个无风险资产和一个风险资产的组合当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为：其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。

这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式： (因为122222122)1(2)1(σσσσw w w w P-+-+=,2112122,0σσρσσ===0)其中σ为风险资产的标准差。

根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：P ff P r r E r r E σσ-+=)()( 3-1当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。

在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。

随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。

具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。

如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。

风险资产r 与无风险资产f r 将配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时10<<w 。

风险资产r 的右侧的部分意味着投资者以无风险收益率借入部分资金，然后将其全部财富和借入的资金一起投资到风险资产中。

此时1>w 。

由于我们没有考虑卖空风险资产的问题，所以不存在0<w 的情况。

资本配置线的斜率等于资产组合每增加一单位标准差所增加的期望收益，即每单位额外风险的额外收益。

因此我们有时也将这一斜率称为报酬与波动性比率。

在资本配置线的推导中，我们假设投资者能以无风险收益率借入资金。

然而，在实际的资本市场中，投资者在银行的存贷利率是不同的。

一般来说，存款利率要低于贷款利率。

因此如果把存款利率视为无风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险资产收益率。

在这种情况下，资本配置线就变为一条折线。

我们可以假设无风险资产收益率为f r ，投资者向银行贷款的利率为'f r 。

在这种情况下，若投资者需要借入资金投资到风险资产时，资本配置线的斜率就应该等于σ/])(['fr r E -，该斜率小于σ/])([f r r E -。

此时，在期望-收益差平面上，资本配置线就变成了如下的形状。

其中资本配置线在风险资产右侧的斜率要低于其左侧部分。

二、 两个风险资产的组合当市场中的资产是两个风险资产时，比如一只股票和一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w ，我们可以将该资产组合的收益写为：此时资产组合的期望收益和标准差分别为： 其中12ρ为股票和债券收益率的相关系数。

此时，根据期望的表达式，我们可以求出投资权重为：将其代入到标准差方程，可以得到该资产组合期望收益和标准差之间的关系式：c r E b r E a P P P +⨯-⨯=)()(22σ 3-2其中22121122221))()((2r E r E a --+=σσρσσ当市场中存在两个风险资产的情况下，3-2描述了资产组合所有可能的期望收益和标准差的组合，当12ρ取不同的值时，上述关系是在期望收益-标准差平面中的形状也有所不同，我们对此分三种情况进行讨论。

（1）12ρ=1在这种情况下，两个资产的收益率是完全相关的，这时，标准差变为： 在不考虑卖空或借贷的情况下，即10<<w ，标准差可写为 结合期望收益式子，可以求出当两个风险资产完全正相关时，上式是资产组合期望收益和标准差的关系。

该式子在期望收益-标准差平面上是一条通过1点和2点的线段。

（2）12ρ=-1在这种情况下，两个资产的收益率是完全负相关的，这时，标准差变为： 该方程对应着再结合期望收益的表达式，可以求得资产组合期望收益和标准差之间的关系如下：上式对应着两条斜率相反的折线，折线的一部分通过1点和E1点；另一部分则通过2点和E1点，其中E1点的坐标为（0，211221)()(σσσσ++r E r E ），为112-=ρ时资产组合可行集内的最小方差点。

见图3-3在完全正相关时，一种证券收益率高，另一种证券的收益率也高。

这样，在做卖空时，可以从多头（购入方）位置中获益，而从空头（销售方）位置中受损，但得利于多投资的证券。

当两种证券的收益率都低时，可以从多头中受损，而从空头中获益，投资较多的证券收益与卖空证券收益将相互抵消，投资组合的总体收益将较稳定。

在完全负相关时，一种证券收益率高，另一种证券的收益率总是相对要低。

如果卖空高收益证券，而做多低收益证券，则投资组合的两部分都遭受损失。

另一方面，如果做多高收益证券，卖空低收益证券，则两部分都获利。

因此，在完全负相关时，投资组合的风险较高，其结果要么是“盛宴”，要么是“饥荒”。

我们总结如表6-1所示。

表6-1两证券收益率完全相关时投资组合有卖空（3）1112<<-ρ此时3-2在期望收益-标准差平面对应着两条双曲线。

考虑到经济意义，我们只保留双曲线在第一象限的部分。

这条双曲线的顶点E2是1112<<-ρ时资产组合可行集内的最小方差点。

从图中可看出，E 12和E 22，期望收益随方差的增大而降低，这部分的资产组合是无效的。

投资者只选择1 E 1和1E 22上的点。

三、 一个无风险资产两个风险资产的组合前面分别考察了一个无风险资产和一个风险资产构成的资产组合以及两个风险资产构成的资产组合。

在此基础上，我们将这两种情况进行融合，进而引入第三种资产组合一个无风险资产和二个风险资产构成的资产组合。

下面我们考察这种情况下投资组合可行集的状态。

我们首先假设两个风险资产的投资权重分别为1w 和2w ，这样一来，无风险资产的投资组合权重就是21 w 1--w 。

由于我们可以将两个风险资产视为一个风险资产组合，因此三个资产构成的投资组合可行集就等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集。

但与前面不同，随着1w 和2w 变化，风险资产组合的期望收益和方差并不是确定的值，而是不断变化的。

在图3-3中的收益-方差平面中，风险资产组合的位置不再是3-1中确定的一点，而是图3-3中的某一点。

给定1w 和2w 的某一比例k ，在期望收益-方差平面中就对应着一个风险资产组合。

该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置线，如图3-4。

这条资本配置线就是市场中存在三个资产时的投资组合可行集。

随着我们改变投资比例k ，风险资产组合的位置就会发生变化，资本配置线也相应产生变化。

从图3-4可以看出，两个风险资产组成的效率边界上的任何一点与无风险资产的连线都能构成一条资本配置线。

然而，比较图3-4中的两条资本配置线CAL 0和CAL 1可以发现，对于任一标准差，资本配置线CAL 0上资产组合的期望收益率都比CAL 1上的高。

换句话说，相对于CAL 0上的资产组合，CAL 1上的资产组合是无效率的。

事实上，我们可以很容易地发现，在所有的资本配置线中，斜率最高的资本配置线在相同标准差水平下拥有最大的期望收益率。

从几何角度讲，这条资本配置线就是通过无风险资产并与风险资产组合的有效边界相切的一条线，我们称这条资本配置线为最优资本配置线。

相应地，切点组合P 0被称为最优风险资产组合。

因此，当市场中有一个无风险资产和两个风险资产的时候，有效地投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产组合，且斜率达到最大的资本配置线。

3.1投资组合最小方差集合与有效边界一般地，我们现假定由n 个风险资产（比如证券）构成的投资组合，由于权重不同而有无穷多个投资组合，所有这些证券组合构成一个可行集（feasible set ）。

投资者不需要评估可行集中的所有投资组合，只分析任意给定风险水平有最大的预期回报或任意给定预期回报有最小风险的投资组合，满足这两个条件的投资组合集合叫做投资组合的有效边界(集合)[efficient frontier(set)]。

给定一个证券投资组合X ，它的预期收益率)(X r E 和标准差)(X r σ确定了一个点对))(,((X X r r E σ，当这个证券组合的权重发生变化时，我们得到一条曲线我们将其称为组合线。

组合线上的每一点，表示一个权数不同的证券组合。

因此组合线告诉我们的预期收益率与风险怎样随着证券组合权重的变化而变化。

在上一章里，我们给出了单个证券或证券组合的预期收益率和投资组合风险的度量。

上面我们又分析了在给定证券的条件下，如何决定其证券投资组合。

然而当投资者用一定资本进行证券投资时，他追求的投资目标是高收益低风险，那么如何在众多的证券中建立起一个高收益低风险的证券组合呢？下面我们讨论这个问题。

给定一组不同的单个证券，我们可以用它们构造不同的证券组合，这样，每个证券或证券组合我们称为一个投资机会，全部投资机会的集合，称为机会集合。

对机会集合中的每一个元素X ，我们用它的预期收益率)(X r E 和风险)(2X r σ来描述它的实绩，因此每一个机会X 都对应了数组（)(X r E ，)(X r σ）或（)(X r E ，)(2X r σ），这样机会集合可以用预期收益率-标准差（方差）二维空间的一个集合表示。

对于一个聪明理智的投资者来说，如果给定风险水平或者说标准差，他喜欢预期收益率高的投资机会；如果给定预期收益率水平，他喜欢风险低的投资机会。

于是我们定义如下的最小方差集合：机会集合中的一个证券投资组合，如果具有没有其他的证券组合在与之相同的预期收益率水平下能达到更小的风险（标准差）的性质，则我们称它为最小方差证券组合。

最小方差证券组合的全体，我们称为最小方差集合。

显然，最小方差集合是机会集合的子集，是由证券组合的组合线上具有最小风险的证券组合的包络线组成。

由于投资者所面临的投资条件不同，受到的投资约束不同，最小方差集合的形状也不同，因此最小方差集合的确定依赖于不同的约束条件。