Hilbert空间-矢量空间-线性算符
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一化的矢量.
15
Schwartz 不等式 对于任意矢量和， || || ||.
三角不等式 对于任意矢量 和 ，有 || | || |.
16
§1.1.3 基 矢
1、线性无关
定义 矢量空间中有限个(n个)矢量的集合(i):
n
若 i i 0 只有当全部复数 i 都为零时才成立 i 1
可记： =
4
2、数乘
集合内每一矢量可以与数(实数或复数)相乘，得 出集合内另一矢量。
对于任意的数 和，数乘须满足下述条件:
( ) ( ) 1
第一分配律 第二分配律 结合律
5
3、内积 在空间中可以定义某种规则，使按一定次序任
§1.4 矢量空间的直和与直积
1 直和空间; 2 直积空间
2
§1.1 矢 量 空 间
§1.1.1 定义
矢量空间：一组称为矢量的元素 的
集合，当其满足下述加法和数乘运算时，称为 矢量空间； 希尔伯特空间：具有加法、数乘及内积三种运 算的矢量空间，称为Hilbert空间。
3
1、加法
(ii)数乘中的数为实数，以 数乘的结果是方向 不变，长度乘以；
(iii)标积是两矢量的点乘积。
这是一个实数域上的内积空间。
12
例3、取数学对象为一组有序的复数, 譬如三个
数, 可以将其写为一个列矩阵:
a1 a a2
a3
(i)加法, (ii)数乘和(iii)标积
数, 并等于单一空间中 的内积( )即
|= ( ) = c
并且规定, 内积的运算满足以下四个条件：
*;
, ; a a ,a a ;
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
1 定义; 2 厄米、幺正、投影算符; 3 本征值和本征矢量; 4 厄米算符完备组
§1.3 表象理论
1 矢量和算符的矩阵表示; 2 表象变换; 3 连续本征值情 况; 4 坐标表象; 5 动量表象
间的矢量相对应, 与单一空间中 对应的矢量, 在这里 都是右矢| ,|, | . 这些右矢的加法等运算与单一空间
相同.
左矢空间: 对于右矢空间中每一个右矢|, 在左矢空间中
有一相应的左矢 |, 与零右矢|O对应的左矢是零左矢O|.
28
内积 规定一个左矢|与一个右矢| 的内积|是一个复
n 维空间的一组基矢12,n正交归一性质可
以表示为:
(i j) = ij, i, j = 1,2,,n
20
Schmidt 正交化方法 一个矢量空间只要知道他的一个完全集, 就 可利用所谓的 Schmidt 正交化方法 找到一 组基矢.
21
一个关于基矢的重要定理
完全性定理：如果{j}(j = 1, 2,…,n)是矢量空间中
好’ 的复函数 f(x) 的全体, 而且都是平方可积的.
所谓‘行为较好’是指满足一定数学要求, 如单值性、连续性 及导数存在等.
规定加法和数乘都是代数中的相应运算;
规定两个函数f(x)和g(x)的内积为:
( f (x), g(x)) b f *(x)g(x)dx a
这样的函数全体构成一个内积空间, 平方可积之意是:
8
一些有关矢量空间的简单性质：
1在矢量空间中, 零矢量是唯一的； 2每一个矢量的逆元是唯一的；
3 O 4 5 6如果 ，那么 ，或者 7 8 9
7
具有加法,数乘和内积三种运算的空间称为内积空间; 完全的内积空间称为 Hilbert 空间.
这里, 所谓的‘完全’意味着空间中任何收敛的序列
, , , 的 极限也必须在该空间中, 而收敛是 指: N, 使得当 m, n > N 时, (mn, mn) < , 对 .
3).
,
n
,
j
j
,
对空间中一切矢量和
j 1
成立。
24
3 4 易证；
3).
,
n
,
j
j
,
对空间中一切矢量和
j 1
成立。
4). 2 n j , 2 对空间中一切矢量成立。 j 1
25
42:
构造矢量 i i , i
如果能够做到这一点，这个矢量空间称为有限维 的，否则称为无限维的.
定理: 在有限维空间内各种不同的完全集中所包含
的矢量的数目是相同的.
19
2、基 矢
一个矢量空间中可以有多组完全集. 正交归一的完全集, 是指完全集中每个矢量都是归 一化的, 而又两两相互正交. 这样的完全集称为该 空间的一组 基矢.
i i , i 2 4 j , i i , i 2
j
j , i j , i i , 2
j
j , i ji i , 2
j
0
i i , i
4. 子空间中任一矢量同其补空间中的任一矢量都是正交的.
5. 一个子空间同其补空间有且仅有一个共同元, 即零矢量.
6. 设空间 R 的维数是n, 它的一个子空间S 的维数是s,
则可以证明 S 的补空间的维数必是 (ns) .
27
附: 右矢和左矢
Dirac 首先引进了右矢和左矢的符号. 设现有一矢量空间, 在其中定义了矢量的加法、数乘和内积 运算, 我们称此空间为单一空间. 参照这个空间建立以下两个空间： 右矢空间: 其构造同单一空间相同, 每一个矢量都与单一空
的定义分别为:
a1 b1 a b a2 b2 ;
a3 b3
a1 a a2
a3
a, b a1*b1 a2*b2 a3*b3
这是一个复数域上标积空间.
13
例4、数学对象为在a x b区间定义的实变量 x 的‘行为较
9
பைடு நூலகம்
几个矢量空间的例子
例1、取数学对象(或元素)为所有正负有理数和零, 规定 (i)加法即为算术中的加法;
(ii)数乘中的数也限于有理数,数乘即是算术中的乘法;
(iii)内积为两个因子的算术乘积.
这是一个在有理数域上的矢量空间. 因为有理数相加和 相乘所得仍然为有理数,这个空间是封闭的,即所得结果 仍在此空间之中.
则这 n 个矢量(i) 是线性无关的;
只要有一组不全为零的复数(i)存在, 使得上式成立,
则这一组矢量为线性相关的.
注：对于无穷个矢量的集合, 线性无关的定义为: 在无穷个矢量的集合中, 若任意有限的子集合都是线性无关的, 则整个集合就是线性无关的.
17
完全集
一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性无关
(1) 对集合中任一对矢量和, 存在集合中另一矢量
, 称为与 的和矢量, 使得下面的等式成立：
+=+
(交换律)
( + ) + = + ( + ) (结合律)
(2)集合中存在零矢量O, 使得对于任意矢量 : +O=
(3) 对于集合中每一矢量，有一逆矢量 存在, 满足 +=O
即(2)式
26
§1.1.4 子 空 间
1. 定义: 一个矢量空间R, 若其中一个矢量集合 S 在原空间 的运算定义下又构成一个矢量空间, 则S 称为 R 的子空间.
2. 当子空间的维数与原空间相等时, 子空间即为原空间.
3. 空间 R 中所有与子空间 S 中矢量正交的矢量全体, 也构成 一个子矢量空间, 称之为子空间 S 的补空间.
32
若 在单一空间中有一组基矢{}, 则在右矢空间和
左矢空间中各有一套相应的基矢, 它们分别是 基右
矢{} 和 基左矢{}. 有:
i) ; ii) ; iii) .
取的两个矢量和 ，总有一个数c与之相对应，并 记为: = c
在实数域上的矢量空间，所得内积是实数； 在复数域上的矢量空间，所得内积是复数；
内积于因子次序有关，并须满足下述条件：
6
对任意成立; 若 = , 则必有 = O. 矢量的模定义为 1/2
30
定理1、若三个右矢, , 满足 + = , 则在左矢空间中与三者相应的, , 也 必满足 + = .
证明: 取任意左矢与上述右矢表达式作内积, 然
后两边取复共轭, 得 + = , 故而 (+) = 0, 因为是任意右矢.
b
f *(x) f (x)dx
a
该空间称为函数空间, 不同的函数是空间中的矢量.
14
§1.1.2 正交性 和 模
如果两个矢量 和 的内积为零, 即(, ) = 0,
我们说这两个矢量正交.
前面已经提到, 矢量 的模方定义为(, ), 记 (, ) ||. 模方的正平方根||称为模，模为1的矢量称为归
10
值得注意的是在这个空间中,有的序列的极限超出 这一空间之外.
例如序列：
sn
n k 0
1 k!
该序列中每一项都在所论空间之中, 但是当 n 的极限是 e = 2.7182818…, 为无理数，不在该空 间中.
11
例2、三维位形空间中的矢量全体 规定 (i)加法服从平行四边形法则；
故得证.
31
定理2、若二右矢, 满足 = a, 则 = a*.
证明:
取任意左矢与上述右矢表达式两边作内积： = a，取此式两边的复共轭 = a*，即(a*) = 0 由于是任意右矢，故括号内为零矢量，得证.
0, for any .
若 0 则必有 O
29
几个基本关系式
设 = 0, 对任意左矢 成立, 则 = O ; 设 = 0, 对任意右矢 成立, 则 = O; 若 = , 对任意右矢 成立, 则 = .
的一组n个正交归一的矢量，则下面的四个命题是 互相等价的：
1). {j} 是空间的一组基，即空间是n 维的。
n
2). j , j 对空间中一切矢量成立。
j 1
3).
,
n
,
j
j
,
对空间中一切矢量和
j 1
成立。
4). 2 n j , 2 对空间中一切矢量成立。
的矢量集合i，这个空间中的每个矢量都能表为
完全集中矢量的线性叠加，即每个矢量都能写成
iii
的形式，其中i 是一组复数。
18
如何构成完全集? 如果一个空间中有一个线性无关的矢量集
12,n，但还不是完全集，这时可以把不 能表为其线性叠加的一个矢量命名为n+1 ，加入
该矢量集. 以此类推，直至该集成为完全集为止.
j 1
22
证明步骤：1 2 3 4 2 1 2 易证；
1). {j} 是空间的一组基，即空间是n 维的。
n
2). j , j 对空间中一切矢量成立。 j 1
2 1 根据定义即得；
23
2 3 易证；
n
2). j , j 对空间中一切矢量成立。 j 1
15
Schwartz 不等式 对于任意矢量和， || || ||.
三角不等式 对于任意矢量 和 ，有 || | || |.
16
§1.1.3 基 矢
1、线性无关
定义 矢量空间中有限个(n个)矢量的集合(i):
n
若 i i 0 只有当全部复数 i 都为零时才成立 i 1
可记： =
4
2、数乘
集合内每一矢量可以与数(实数或复数)相乘，得 出集合内另一矢量。
对于任意的数 和，数乘须满足下述条件:
( ) ( ) 1
第一分配律 第二分配律 结合律
5
3、内积 在空间中可以定义某种规则，使按一定次序任
§1.4 矢量空间的直和与直积
1 直和空间; 2 直积空间
2
§1.1 矢 量 空 间
§1.1.1 定义
矢量空间：一组称为矢量的元素 的
集合，当其满足下述加法和数乘运算时，称为 矢量空间； 希尔伯特空间：具有加法、数乘及内积三种运 算的矢量空间，称为Hilbert空间。
3
1、加法
(ii)数乘中的数为实数，以 数乘的结果是方向 不变，长度乘以；
(iii)标积是两矢量的点乘积。
这是一个实数域上的内积空间。
12
例3、取数学对象为一组有序的复数, 譬如三个
数, 可以将其写为一个列矩阵:
a1 a a2
a3
(i)加法, (ii)数乘和(iii)标积
数, 并等于单一空间中 的内积( )即
|= ( ) = c
并且规定, 内积的运算满足以下四个条件：
*;
, ; a a ,a a ;
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
1 定义; 2 厄米、幺正、投影算符; 3 本征值和本征矢量; 4 厄米算符完备组
§1.3 表象理论
1 矢量和算符的矩阵表示; 2 表象变换; 3 连续本征值情 况; 4 坐标表象; 5 动量表象
间的矢量相对应, 与单一空间中 对应的矢量, 在这里 都是右矢| ,|, | . 这些右矢的加法等运算与单一空间
相同.
左矢空间: 对于右矢空间中每一个右矢|, 在左矢空间中
有一相应的左矢 |, 与零右矢|O对应的左矢是零左矢O|.
28
内积 规定一个左矢|与一个右矢| 的内积|是一个复
n 维空间的一组基矢12,n正交归一性质可
以表示为:
(i j) = ij, i, j = 1,2,,n
20
Schmidt 正交化方法 一个矢量空间只要知道他的一个完全集, 就 可利用所谓的 Schmidt 正交化方法 找到一 组基矢.
21
一个关于基矢的重要定理
完全性定理：如果{j}(j = 1, 2,…,n)是矢量空间中
好’ 的复函数 f(x) 的全体, 而且都是平方可积的.
所谓‘行为较好’是指满足一定数学要求, 如单值性、连续性 及导数存在等.
规定加法和数乘都是代数中的相应运算;
规定两个函数f(x)和g(x)的内积为:
( f (x), g(x)) b f *(x)g(x)dx a
这样的函数全体构成一个内积空间, 平方可积之意是:
8
一些有关矢量空间的简单性质：
1在矢量空间中, 零矢量是唯一的； 2每一个矢量的逆元是唯一的；
3 O 4 5 6如果 ，那么 ，或者 7 8 9
7
具有加法,数乘和内积三种运算的空间称为内积空间; 完全的内积空间称为 Hilbert 空间.
这里, 所谓的‘完全’意味着空间中任何收敛的序列
, , , 的 极限也必须在该空间中, 而收敛是 指: N, 使得当 m, n > N 时, (mn, mn) < , 对 .
3).
,
n
,
j
j
,
对空间中一切矢量和
j 1
成立。
24
3 4 易证；
3).
,
n
,
j
j
,
对空间中一切矢量和
j 1
成立。
4). 2 n j , 2 对空间中一切矢量成立。 j 1
25
42:
构造矢量 i i , i
如果能够做到这一点，这个矢量空间称为有限维 的，否则称为无限维的.
定理: 在有限维空间内各种不同的完全集中所包含
的矢量的数目是相同的.
19
2、基 矢
一个矢量空间中可以有多组完全集. 正交归一的完全集, 是指完全集中每个矢量都是归 一化的, 而又两两相互正交. 这样的完全集称为该 空间的一组 基矢.
i i , i 2 4 j , i i , i 2
j
j , i j , i i , 2
j
j , i ji i , 2
j
0
i i , i
4. 子空间中任一矢量同其补空间中的任一矢量都是正交的.
5. 一个子空间同其补空间有且仅有一个共同元, 即零矢量.
6. 设空间 R 的维数是n, 它的一个子空间S 的维数是s,
则可以证明 S 的补空间的维数必是 (ns) .
27
附: 右矢和左矢
Dirac 首先引进了右矢和左矢的符号. 设现有一矢量空间, 在其中定义了矢量的加法、数乘和内积 运算, 我们称此空间为单一空间. 参照这个空间建立以下两个空间： 右矢空间: 其构造同单一空间相同, 每一个矢量都与单一空
的定义分别为:
a1 b1 a b a2 b2 ;
a3 b3
a1 a a2
a3
a, b a1*b1 a2*b2 a3*b3
这是一个复数域上标积空间.
13
例4、数学对象为在a x b区间定义的实变量 x 的‘行为较
9
பைடு நூலகம்
几个矢量空间的例子
例1、取数学对象(或元素)为所有正负有理数和零, 规定 (i)加法即为算术中的加法;
(ii)数乘中的数也限于有理数,数乘即是算术中的乘法;
(iii)内积为两个因子的算术乘积.
这是一个在有理数域上的矢量空间. 因为有理数相加和 相乘所得仍然为有理数,这个空间是封闭的,即所得结果 仍在此空间之中.
则这 n 个矢量(i) 是线性无关的;
只要有一组不全为零的复数(i)存在, 使得上式成立,
则这一组矢量为线性相关的.
注：对于无穷个矢量的集合, 线性无关的定义为: 在无穷个矢量的集合中, 若任意有限的子集合都是线性无关的, 则整个集合就是线性无关的.
17
完全集
一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性无关
(1) 对集合中任一对矢量和, 存在集合中另一矢量
, 称为与 的和矢量, 使得下面的等式成立：
+=+
(交换律)
( + ) + = + ( + ) (结合律)
(2)集合中存在零矢量O, 使得对于任意矢量 : +O=
(3) 对于集合中每一矢量，有一逆矢量 存在, 满足 +=O
即(2)式
26
§1.1.4 子 空 间
1. 定义: 一个矢量空间R, 若其中一个矢量集合 S 在原空间 的运算定义下又构成一个矢量空间, 则S 称为 R 的子空间.
2. 当子空间的维数与原空间相等时, 子空间即为原空间.
3. 空间 R 中所有与子空间 S 中矢量正交的矢量全体, 也构成 一个子矢量空间, 称之为子空间 S 的补空间.
32
若 在单一空间中有一组基矢{}, 则在右矢空间和
左矢空间中各有一套相应的基矢, 它们分别是 基右
矢{} 和 基左矢{}. 有:
i) ; ii) ; iii) .
取的两个矢量和 ，总有一个数c与之相对应，并 记为: = c
在实数域上的矢量空间，所得内积是实数； 在复数域上的矢量空间，所得内积是复数；
内积于因子次序有关，并须满足下述条件：
6
对任意成立; 若 = , 则必有 = O. 矢量的模定义为 1/2
30
定理1、若三个右矢, , 满足 + = , 则在左矢空间中与三者相应的, , 也 必满足 + = .
证明: 取任意左矢与上述右矢表达式作内积, 然
后两边取复共轭, 得 + = , 故而 (+) = 0, 因为是任意右矢.
b
f *(x) f (x)dx
a
该空间称为函数空间, 不同的函数是空间中的矢量.
14
§1.1.2 正交性 和 模
如果两个矢量 和 的内积为零, 即(, ) = 0,
我们说这两个矢量正交.
前面已经提到, 矢量 的模方定义为(, ), 记 (, ) ||. 模方的正平方根||称为模，模为1的矢量称为归
10
值得注意的是在这个空间中,有的序列的极限超出 这一空间之外.
例如序列：
sn
n k 0
1 k!
该序列中每一项都在所论空间之中, 但是当 n 的极限是 e = 2.7182818…, 为无理数，不在该空 间中.
11
例2、三维位形空间中的矢量全体 规定 (i)加法服从平行四边形法则；
故得证.
31
定理2、若二右矢, 满足 = a, 则 = a*.
证明:
取任意左矢与上述右矢表达式两边作内积： = a，取此式两边的复共轭 = a*，即(a*) = 0 由于是任意右矢，故括号内为零矢量，得证.
0, for any .
若 0 则必有 O
29
几个基本关系式
设 = 0, 对任意左矢 成立, 则 = O ; 设 = 0, 对任意右矢 成立, 则 = O; 若 = , 对任意右矢 成立, 则 = .
的一组n个正交归一的矢量，则下面的四个命题是 互相等价的：
1). {j} 是空间的一组基，即空间是n 维的。
n
2). j , j 对空间中一切矢量成立。
j 1
3).
,
n
,
j
j
,
对空间中一切矢量和
j 1
成立。
4). 2 n j , 2 对空间中一切矢量成立。
的矢量集合i，这个空间中的每个矢量都能表为
完全集中矢量的线性叠加，即每个矢量都能写成
iii
的形式，其中i 是一组复数。
18
如何构成完全集? 如果一个空间中有一个线性无关的矢量集
12,n，但还不是完全集，这时可以把不 能表为其线性叠加的一个矢量命名为n+1 ，加入
该矢量集. 以此类推，直至该集成为完全集为止.
j 1
22
证明步骤：1 2 3 4 2 1 2 易证；
1). {j} 是空间的一组基，即空间是n 维的。
n
2). j , j 对空间中一切矢量成立。 j 1
2 1 根据定义即得；
23
2 3 易证；
n
2). j , j 对空间中一切矢量成立。 j 1