留数在定积分计算上的应用.ppt

)
,
I
2
π
i
1 p2 2ip2
1 p4
2ip2
(1
p2)
2π 1
p2 p2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2
计算 I
dx ,
0 1 cos 2x
0 1的值.
解：令 2x , d 2dx; x :0 , :0 2
z2 z2
1
dz
1 z4
I |z|1
2
1
2
p
z
z 1
p2
iz
|z|1 2iz2 (1 pz)(z p) dz |z|1 f (z)dz
2
z2 z2
1
1
{
2
1 2 p
z z1 p2
iz
2
z4 1
1
z4 1
1
2iz2 z pz2 p p2z 2iz2 z(1 pz) p(1 pz)
z
| 足够大时)
R(z)d z | R(z) | d s M π R M π 0
CR
CR
R2
R
R
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
因此
R(x)d x 2 πi
Res[R(z), zk ].
如果R( x)为偶函数,
R(x)d x 1
2.
形如 R(x)d x的积分
当被积函数 R(x)是 x 的有理函
数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)
在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.
不失一般性, 设
R(z)
zn zm
a1zn1 b1zm1
为一已约分式.
y
CR
an , m n 2 bm
z2
z3 z1
R
CR
Res[R(z), zk ]
此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.
|
R(z)
|
|
z
1 |mn
|1 a1z1 |1 b1z1
an zn | bm zm |
|
1 z |mn
1 1
| |
a1 z 1 b1 z 1
an zn | bm zm |
|
1 z |mn
M
M | z |2
(当 |
z
2
2iz 2
1 z4 (1 pz)(z
p)
lim
z0
(z
pz 2
p p2 z)4z3 (1 z4 )(1 2i(z pz2 p p2 z)2
2
pz
p2
)
1 p2 2ip2
,
Res[
f
(z),
p]
lim
z p
(z
p)
2iz 2
1 z4 (1 pz)(z
p)
1 p4 2ip2 (1 p2
z4 1
1
}
2iz2 (z p)(1 pz)
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个
在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.
Res[
f
( z ), 0]
lim
z0
d dz
2i
2iz
2
i
2z
0
2
1 0
1
i
从而积分化为沿正向单位圆周的积分
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2 0
R(cos ,sin )d
R |z|1
z2 1 ,
2z
z2 1
2iz
dz iz
|z|1
f
(z)d
z
其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上
1
2
cos 2 p cos
p2
d
(0 p 1)
的值.
解: 由于 0<p<1 , 被积函数的分母在 0 2p 内不为零,因而积分是有意义的.
由于cos 2 1 (ei2 ei2 ) z2 z2 ,因此
2
2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
§5.3 留数在定积分计算上的应用
留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中
应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是涉及闭
路积分的，要应用于定积分，必须先将定积分变为闭路积分
中的一部分。
如图，对于实积分
b
a
f
( x)dx，变量x定义
l2
在闭区间[a,b](线段 l1)，此区间应是回路
l l1 l2 的一部分。实积分要变为闭路积分，
则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路
的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一
部分：
a
0 l1
b
b
l
f
( z )dz
f
(x)dx l2
f (z)dz
a
复变函数与积分变换
R O
Rx
取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径 的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平
面内的极点zk都包在这积分路线内.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
R
R(x)d x R(z)dz 2 πi
2
2
0
1
5 3sin 2
d
令z ei 2
z
dz
i z 1 (3z i)2 (z 3i)2
被积函数在z 1内只有一个二阶极点：z i 3
2
iRes[
f
( z ),
i] 3
2
i
2 i
5 256
5 64
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
分母不为零, 根据留数定理有
n
f (z) d z 2π i Res[ f (z), zk ]
|z|1
k 1
其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆|z|=1内的f(z)
的孤立奇点.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例1
计算I
2 0
Complex Analysis and Integral Transform
1.形如 2π R(cos ,sin )d，其中R(cos ,sin ) 0
为sin和cos的有理函数，令z ei ,则dz iei d ,
sin 1 (ei ei ) z2 1, cos 1 (ei ei ) z2 1 .
R(x)d x πi
I 1 2
2 d 0 1 cos
1 2
z

1 1
dz / iz
z z1
1 i
z
1
z2
dz 2z
2
I 1 i i 12 12
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例3 计算
1
d
0
5 3sin
2 2
解： 令
2