大学电磁学测试题

电磁学模块测试题

说明：共6题，选做5题（也可以都做，但总成绩按照100分计，成绩最低的题被舍去），每题20分，共100分

1、如图所示，一环形薄片由细绳悬吊着，环的半径为R ，内半径为

2

R

，并有电量Q 均匀分布在环面上，细绳长3R ，也有电量Q 均匀分布在绳上，试求圆环中心O 处的电场强度 （圆环中心在细绳延长线上）．

解

圆环上的电荷对圆环中心O 点对称分布，因此它在O 点的场强为零，合场强就是细绳上的电荷在O 点产生的场强．选细绳顶端为坐标原点，竖直向下为x 轴．在x 处取一电荷元R Qdx dx dq ==λ（5分），它在O 点的场强为

2

020)

4(12)4(4x R R Qdx

x R dq dE -=-=

πεπε （5分） 整个细绳上的电荷在在O 点产生的场强为

2

030

2016)4(12R Q

x R dx R Q

E R

πεπε=

-=

⎰ （10分） 方向竖直向下．此即所求．

2、如图所示，有三个点电荷1Q 、2Q 、3Q 沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，

且1Q ＝3Q ＝Q 。求在固定1Q 、3Q 的情况下，将2Q 从点O 移到无穷远处外力所作的功。

解 由题意1Q 所受合力为零，即

0)2(442

031

202

1

=+d Q Q d Q Q πεπε 解得

Q Q Q 4

1

4132-=-

= （5分） 将2Q 从点O 移到无穷远处外力所作的功，等于电荷2Q 在点O 的电势能．由电势叠加原理，1Q 和3Q 在点

O 产生的电势为

d

Q d

Q d

Q U O 003014244πεπεπε=

+

=

（10分）

因此，外力所作的功为

d

Q d Q Q U Q W O

02

02824πεπε=

== （5分） 3、如图所示，三个平行导体板A 、B 和C 的面积均为S ，其中A 板带电Q ，B 、C 板不带电，A 、B 间相

距为1d ，A 、C 间相距为2d ．求： (1) 各导体板上的电荷分布和导体板间的电势差；(2) 将B 、C 两导体板分别接地，再求导体板上的电荷分布和导体板间的电势差．

解

（1）把三个平行导体板看成无限大板，设导体板上的电荷分布如图所示．因A 板带电Q ，而B 、C 板不带电，则有

0=+=+=+CR CL BR BL AR AL q q q q Q q q 因静电平衡导体板内各点电场为零，由高斯定理可得两板相对面上的电荷密度大小相同，符号相反，即

CL

AR AL BR q q q q -=-= （5分）

再由B 板内电场为零可得0=----CR CL BR BL q q Q q q ，即

CR BL q q =

联立求解上面五个方程，得导体板上的电荷分布为

Q

q q Q q q q q CL

BR CR AR AL BL 2

12

1-======

导体板间的电势差为

2

01

022d S

Q

U d S Q U AC BA εε=

-= （5分）

（2）将B 、C 两导体板分别接地，电势差0=BC U ，有

00

2010=-==d S

q d S q q q CL BR

CR BL εε 此外仍有

1d

2d

AR

CL AL BR AR AL q q q q Q q q -=-==+ （5分）

解上面方程得

Q

d d d q q Q

d d d q q AR CL AL BR 2

11

212

+-=-=+-=-=

2

12102

1210d d d d S Q U d d d d S Q U AC BA +=

+-=εε （5分）

4、如图所示，一长直导线通有电流130A I =，矩形回路通有电流220A I =。试计算作用在回路上的合

力。已知 1.0cm,8.0cm,0.12m d b l ===。

解：长直导线在空间中激发的磁场的磁感强度为

01

2I B r

μπ=

（4分） （说明：若没有该式，但能够在下面的计算中体现则不扣分）

矩形回路的上、下两段导线所受安培力1F 和2F 的矢量和为零。 （2分） 左、右两段所受安培力3F 和4F 分别为：

d

l

I I B I F πμμ22103203=

= （2分） )

(22104203b d l

I I B I F +=

=πμμ （2分）

（说明：若没有上两个式子，但在后边的计算过程中能够体现，则不扣分） 则回路所受总的安培力等于左、右两段所受安培力3F 和4F 的矢量和，它的大小为

012012

3472

01222

322()

41030200.128.0102()2 1.010(1.08.0)101.2810N

I I l I I l

F F F d d b I I lb d d b μμππμπππ-----=-=

-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯==+⨯⨯⨯+⨯=⨯ （5分）

（说明：结果如果不带单位扣1分）

方向水平向左。 （5分）

5、有一同轴电缆，其尺寸如图所示．两导体中的电流均为I ，但电流的流向相同，导体的磁性可以不考虑．试

计算以下各区域的磁感应强度：（1）1R r <；(2) 21R r R <<；（3）32R r R <<；（4）3R r >．

解：同轴电缆导体内的电流均匀分布，其磁场轴对称分布．取半径为r 的同心圆为积分路径，

⎰=⋅rB l B π2d ，利用安培环路定理⎰∑=⋅I l B 0d μ

，即得各区域的磁感应强度． （2分）

（说明：没有指出使用的是安培环路定理的扣1分，安培环路定理可由公式体现） （1）1R r < 22

1

12r R I

rB ππμπ=

2

1012R rI

B πμ=

（5分） （2）21R r R << I rB 022μπ=

r

I

B πμ202=

（5分） （3）32R r R << 22

23022

32()2+()r R rB I I R R ππμπ⎛⎫

-= ⎪-⎝⎭

222

032322

32(+2)

2()

I R r R B r R R μπ-=- （5分） （4）3R r > 0)(204=-=I I rB μπ 04=B （3分）