数学建模题目

1.某班准备从5名游泳队员中选4人组成接力队，参加学校的4×100m混合泳接力比赛，5名队员4种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队？

如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1′15"2；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到57"5，组成接力队的方案是否应该调整？

名队员4种泳姿的百米平均成绩

解：设x（1-甲；2-乙；3-丙；4-丁）（1-蝶泳；2-仰泳；3-蛙泳；4-自由泳）

（1）目标函数：MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14+… …+67.4x51+71

x52+83.8x53+62.4x54

约束条件：x11+x12+x13+x14<=1；

… …

x41+x42+x43+x44<=1；

x11+x21+x31+x41+x51=1；

… …

x14+x24+x34+x44+x54=1;

lingo程序：

结果：

组队方案为，x14（甲-自由泳），x21（乙-蝶泳），x32（丙-仰泳），x43（丁-蛙泳）。

（2）若丁的蛙泳成绩为1′15"2；戊自由泳成绩为57"5，

方案改变为：x21（乙-蝶泳），x32（丙-仰泳），x43（丁-蛙泳），x54（戊-自由泳）。

2.某工厂用A1，A2两台机床加工B1，B2，B3三种不同零件，已知在一个生产周期内A1只能工作80机时，A2只能工作100机时。一个生产周期内加工B1为70件，B2为50件，B3为20件。两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下所示

加工每个零件时间表（单位:机时/个）

加工每个零件成本表(单位：元/个)

问怎样安排两台车床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？

解：设A1加工的B1,B2,B3数为X1,Y1,Z1, A2加工的B1,B2,B3数为X2,Y2,Z2, 则目标函数：MIN=2X1+3Y1+5Z1+3X2+3Y2+6Z2,

约束条件：X1+2Y1+3Z1<=80;

X2+Y2+3Z2<=100;

X1+X2>=70;

Y1+Y2>=50;

Z1+Z2>=20；

Lingo程序：

结果：

所以，成本最低的方案为：

最低成本408。

3.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资?

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作?

（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变?若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变?

解：（1）设投资证劵A,B,C,D,E分别为a,b,c,d,e万元;为获得最大收益

目标函数：MAX=0.043a+0.027b+0.025c+0.022d+0.045e

约束条件：a+b+c+d+e=1000；

b+c+d>=400;

2a+2b+c+d+5e<=1.4(a+b+c+d+e)；

9a+15b+4c+3d+2e<=5(a+b+c+d+e)；

编写lingo程序如下：

结果如下：

1000万元的投资方案为：218.2万元买A证劵，736.4万元买C证劵，45.5万元买E证劵，不买B，D证劵。

（2）借贷100万元的利息为100*2.75%=2.75万元；根据（1）所求的结果，1000万元将获得29.84万元的收益，那么100万元将获得2.984万元的收益，所以可以借贷。

将（1）中的约束条件中的第一式改为a+b+c+d+e=1100；

那么，1100万元将获得（32.82-2.75）=30.07万元的收益。

（3）

4.某医院负责人每日至少需要下表数量的护士。

每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时，医院领导为满足每班所需要的护士

数，最少需要用多少护士？

解：设1,2,3,4,5,6各班次护士向病房报到人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6。

目标函数：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;

约束条件：x1>=60;

x1+x2>=70;

x2+x3>=60;

x3+x4>=50;

x4+x5>=20;

x5+x6>=30;

编写lingo程序如下：

结果：

所以，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要用150名护士。

5．某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y 表示，距离单位：km ）和居住的人数R 如表下表所示，现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？

解：设服务中心的位置（px ，py ）；

6.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。每季度的生产费用为()2

bx ax x f +=(元)，其中x 是该季生产的发动机台数，若交货后

有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c 元。已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始无存货，设a=50，b=0.2，c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同有使总费用最低？讨论a 、b 、c 、变化对计划的影响，并作出合理的解释。

解：设三个季度生产的发动机数分别为x,y,z 。

目标函数：MIN=50x+0.2x 2+50y+0.2y 2+4（x-40）+50z+0.2z 2+4（x+y-100）； 约束条件：x+y+z=180； 40<=x<=100;

60-（x-40）<=y<=100; 80-(x+y-100)<=z<=100;

7.广告费用与效应。某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见下表。

彩漆与预期销售量

为了尽快收回资金并获得较多的盈利，装饰材料公司打算做广告。投入一定的公告费用后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。例如，投入40000元的广告费，销售增长因子为1.95，即销售将是预期量的1.95倍。根据经验，广告费与销售增长因子的关系见下表。

广告与销售增长因子

居民点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

X 0 8.20 0.50 5.70 0.77 2.87 4.43 2.58 0.72 9.76 3.19 5.55

Y 0 0.50 4.90 5.00 6.49 8.76 3.26 9.32 9.96 3.16 7.20 7.88

R 600 1000 800 1400 1200 700 600 800 1000 1200 1000 1100