14.1 小波分析的基本原理

k k k k
式中: sJ ,k f (t )ΦJ ,k (t )dt , d j ,k f (t )Ψ j ,k (t )dt ,
j=1,2,…,J，J为最大尺度。
f(t)还可表达为： f (t ) SJ DJ DJ 1 ... Dj ... D1 式中:
构成函数空间L2(R)的标准正交基。
五、小波分解
通过小波分解，将时域信号分解到不同的
频带上。根据范数为1的规则，在一个给定的小
波族如Symmlet里有两种类型的小波：
j t 2 k j/2 2 Φ( ) j 2
父小波： Φ(t )dt 1 , Φ j ,k

(14.1.24)
母小波： Ψ (t )dt 0 , Ψ j ,k 2
E(Ψ ) / a (Ψ ) / a ]。
其时-频窗面积为： 2 a ( ) [2(Ψ ) / a ] 4( )(Ψ )
（二）小波变换的局部化能力
从频率域的角度来看，小波变换已经没有象
Fourier 变换那样的“频率点”的概念，取
而代之的则是本质意义上的“频带”的概念； 从时间域来看，小波变换所反映的也不再是 某个准确的“时间点”处的变化，而是体现 了原信号在某个“时间段”内的变化情况。
二进离散数值 ak 2 k 的特例。
对 于 函 数 f( t) ， 其 二 进 离 散 小 波 变 换 记 为 W fk (b) ，定义如下：
W fk(b) W f ( 2 k ,b) f(t) ψ( 2k ,b)(t)dt
R
(14.1.17) 其小波变换的反演公式是
f (t )
* ( ) ( ) /
k
k ( 2 )

2
显然，重构小波一般是不唯一的，但重构小 波一定是二进小波。
(二)正交小波和小波级数
设小波为 ψ(t) ，如果函数族
k k 2 k , j (t ) 2 (2 t j ) : (k , j ) Z Z (14.1.21)
为由小波母函数Ψ (x)生成的依赖于参数 ( a, b) 的连续小波函数，简称为小波。其中， a 称为 伸缩尺度参数，b称为平移尺度参数。
几个比较典型的小波：
sin( 2t ) sin(t ) Ψ (t ) （1） Shannon小波： t
（2） Gaussan 小波： G( x) e
四、离散小波变换
（一）二进小波和二进小ຫໍສະໝຸດ Baidu变换
如果小波函数ψ(x)满足稳定性条件
A
j
j ( 2 )

2
B
则称ψ(x)为二进小波，对于任意的整数k，记
k
(2 k ,b )(t ) 2 (2 (t b ))

2
k
(t ) 的尺度参数a取 显然，它是连续小波 （ (a,b )
第14章
小波分析方法
小波分析的基本原理 小波分析的应用实例
小波分析，是在 Fourier 分析基础上发展 起来的一种新的时频局部化分析方法。 小波分析为现代地理学研究提供了一种新 的方法手段，对于一些多尺度、多层次、 多分辨率问题，运用小波分析方法进行研 究，往往能够得到令人满意的结果。
称为Kronecker函数。
这时，对任何函数或信号 f(t) ，有如下的 小波级数展开
f (t )
k j
A


k, j
k , j (t )
(14.1.22)
其中，系数 Ak , j 由公式
Ak , j ( f , k , j ) f (t ) k , j (t )dt
C *
R
( )
2

d
（ 14.1.4 ）
或者
Ψ(ω)dω 0
R
（14.1.5）
( x) 被称为母小波或小波母函数。 通常，
对于任意的实数对( a, b)，其中，参数 a 必
须为非零实数，称如下形式的函数
a ,b ( X )
1
xb ( ) a a
（ 14.1.6 ）
W f (a, b) f ( x ) （( a ,b ) ( x )dx
R
1 a
2

R
xb f ( x ) ( )dx a
(14.1.7)
小波方差：
W f (a ) W f (a, b) db
R
Wf (a, b)为小波系数。 W f (a)为小波方差， 式中，
W f (a) 为纵坐标，作小波方差图， 若以 a 为横坐标、
SJ sJ ,kΦJ ,k (t )
k
D j d j ,kΨ j ,k (t ), j 1,2,...,J
k
这样，信号f(t)的多分辨分解为：
S J 1 S J DJ
其中，SJ对应于最粗的尺度。
更一般地，有： S j 1 S j D j
{S J , S J 1 ,...,S1}是函数f(t)精细水平递增的多分辨
小波变换作为信号变换和信号分析的工具在变换
过程中是没有信息损失的,保证了小波分析在变换域对
信号进行分析的有效性。
3．吸收公式与吸收逆变换公式
当吸收条件


0
( ) ( ) d d 0
2
2
( 14.1.12 )
成立时，可得到如下吸收Parseval恒等式
第1 节
小波分析的基本原理
小波与小波函数
小波变换及其性质
小波变换的时-频特性与局部化能力
离散小波变换 小波分解
一、小波与小波函数
记 L2(R) 是定义在整个实数轴R上满足条件



f ( x) dx
2
（ 14.1.1 ）
的全体可测函数 f ( x) 及其相应的函数运算和内积 所组成的集合。那么，小波就是函数空间L2(R) 中 满足下述条件的一个函数或者信号 ( x) ：
构成空间 L2(R) 的标准正交基，即满足下述条件的基：
( k , j , l ,n ) k , j (t ) l ,n (t )dt (k l ) ( j n)
R
则称ψ(t)是正交小波，其中符号δ(m)的定义是
1 m 0 (m) 0 m 0
j/2
t2 k Ψ( ) j 2
j
(14.1.25)
任何函数 f(t), 都可以表示为如下形式的二 进展开式：
f (t ) sJ ,kΦJ ,k (t ) d J,kΨ J,k(t) d J 1,kΨ J 1,k (t ) ... d1,kΨ1,k (t )
1 da C f ( x ) g ( x )dx W f ( a, b)W g (a, b)db 2 0 a 2
(14.1.13 )
也可以得到相应的吸收逆变换公式
2 f ( x) C


0
da W (a, b) (t )db 2 f ( a , b ) a
2．小波反演公式
在 L2(R) 中，小波变换有如下反演公式
1 f ( x) C
公式
dadb RR* W f (a, b) ( a,b) ( x) a 2 （14.1.10）
如果函数 f(x) 在点t t0 连续，则有如下定点反演
1 f ( x0 ) C
dadb RR Wf (a, b) (a,b) (t0 ) a2 (14.1.11)
都满足窗口函数的要求。
中心和窗宽分别为 E( ( a,b) ) b aE( ) 和 ( ( a,b) ) | a | ( ) ，以
及 E(Ψ( a,b) ) E(Ψ ) / a 和 (Ψ( a,b) ) (Ψ ) / a 。
b aE( ) a ( ) ]， 连续小波 a,b (t ) 的时窗：[b aE( ) a ( ) ，
频窗为：[E(Ψ ) / a (Ψ ) / a ， E(Ψ ) / a (Ψ ) / a ]。 小波函数 a,b (t )的时-频窗，是一个可变的矩形：
[ b aE( ) a ( ) , b aE( ) a ( ) ]×[ E(Ψ ) / a (Ψ ) / a ,
逼近序列，相应的多分辨分解为：
{S J , DJ , DJ 1 ,...,D j ,...,D1}
j 2 尺度 2 是分辨率 的倒数。
。
j
k
2 W
k R

k f
(b) t( 2k ,b ) (t )db
（14.1.18）
* 其中，函数 (t ) 满足
k
k * k ( 2 ) ( 2 ) 1

(14.1.19)
称为二进小波ψ(t)的重构小波。 需要说明的是，重构小波总是存在的， 譬如，可取：
2 设 g (t ) L ( R) g(t)，而且 g 2 0 ，当
tg(t ) dt 时，则称g(t)是一个窗口函数。
2

容易验证，对任意的参数（a,b），小波函数
及其傅立叶变换
t b ( a ,b ) (t ) a ( ) a
1 2

1 t b it a ib Ψ ( a ,b ) ( ) Ψ( )e dt e Ψ (a ) a a a
（ 14.1.14 ）
对于空间 L2(R) 中的任何函数或者信号 f(x) ， 它所包含的信息完全被由 a>0 所决定的半个变 换域上的小波变换 {Wf (a, b) : a 0, b R} 所记忆。 这是Fourier变换不具备的。
三、小波变换的时-频特性与局部化能力
（一）小波变换的时-频特性
R
(14.1.23)
给出，称为小波系数。
一个最简单的正交小波，即 Haar 小波， 其定义为
1 h(t ) 1 0
这时，函数族
0 t 21 21 t 1 t [0,1)
j j 2 h j , k (t ) 2 h(2 t k ) : ( j , k ) Z Z
则它反映了能量随尺度a变化的分布情况。
小波变换的基本性质： 1. Parseval 恒等式
C
R
dadb f ( x ) g ( x )dx 2 W f (a, b)W g (a, b) 2 R a
(14.1.9)
小波变换和 Fourier 变换一样，在变换 域保持信号的内积不变。
t2 2
（3）
Morlet小波： ( x) e e
icx
t 2
2
H ( x) (1 t 2 )e （4） Mexican 帽子小波：
t 2
2
图14.1.1 以Mexican 帽子小波为母小波的小波 在选择不同的a与b的值的波形变化
二、小波变换及其性质
对于任意函数或者信号f(x)，其小波变换为：