居于马线性代数第二章答案.doc
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整理有
故 ，
即所求为 .
29证明： ，设 ，若 ,则有
由矩阵相等的知识知 ，又 时 故只有 。
从而 .即所有与 可交换的矩阵必是对角阵.
31设 ，则 ， ，也就是只有可能 .
按照矩阵乘法的定义，有
时， .
时，
时，
故 是主对角线元素全为0的上三角矩阵.
32记
故乘积仍是主对角元为1的上三角阵.
33
34数学归纳法
选B.
77
则
从而
78由 知
79
故
计算有
81令 ,则
若 Fra Baidu bibliotek逆有 ,
解得 即
84
(1) 设
则 ，易知
而
代入即有
(2) 令
则
.
87以下证明 主对角线之和为0.
只观察 的主对角线元素，有
容易看出 主对角线元素之和为0，但 主对角线元素之和为n，故 .
90
同理
91以上三角矩阵为例，用数学归纳法.
(1)若 则 成立
(2)假设 阶矩阵成立，下证对 阶亦成立.设
其中 是满足上述假设条件的矩阵.下证 主对角线元素全为1.
故 主对角线元素全为1.
93证明： 故 可逆.
设 则 即 解之有
故
94数学归纳法
(1) 时 则
(2)假设 时成立
(3)下证 时成立.
设
解得 故 为下三角矩阵.
95
因为 可交换，从而易知
若 ,又 有 为对称阵.
39
1) 为对称阵。
，当 为偶数时 为对称阵， 为奇数时 为反对称阵.
2)
为反对称阵.
40、
（1）
故 .解得
所以
（2）
故
解之有 故
（3）
故
（4）
故
（5）
（6）
故
41（1）因为 由 故可逆，且
（2） 存在，下面求 ，
故
（3） 存在，下求 ，
42令 则因为 故 存在，从而 用初等行变换求此逆矩阵，有
从而有
58
（1）对 分块，令
对 分块，令 ，则 ，则
（2） ，令
则
,而
故
59证明：
让 按列分块 则 即
从而 均为 的解向量.
设 的所有列向量是 则 故
即
60解：取 即可！
61解： 故 存在，设
有
整理有 解得 .
故
62
（1）
令 则
= 而
故 .
（2）令 则
故 ，而
故 .
（3）
令 ，则
而原式= .
(4)
令 因 ，设
43 (1)
(2)不是， 为零矩阵时即为反例.
45(1)
而 ，故 可逆， 可逆，同时 可逆，且 ，
所以
(2)证明： 即 若 与 同时可逆，则 均不为0，但 故矛盾，从而 与 不同时可逆.
46 整理有
故 均可逆，
所以
47证明：
49
50
故 .
51
从而
52
故
54
解： 故 从而
55
故
从而
56
易知 存在(因为行列式不等于0)，求得
1） 成立
2）若 时成立，则下证 时结论也成立.
所证成立.
35因为 均为对称阵，有
故 所以 为对称阵.
而 故 为对称阵.
36证明：
(1) 所以 是对称矩阵.
所以 是反对称矩阵
(2) 由上面的结论知 是对称矩阵， 是反对称矩阵，从而 是对称矩阵， 是反对称矩阵，故 可表示为对称矩阵和反对称矩阵的和.
37 故 所以 可交换.
8解:设母鸡 只，公鸡 只，小鸡 只.
列方程得
解方程有，
还原为方程组有
从而 ，继续求解 ，得到 .
9设 则
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
23、本题是求一个矩阵n次幂的题目，我们常规的做法，是通过数学归纳法，归纳出它n次幂后的通项公式！
以 为例。
因为
，即
，即
，即
，即
，即
于是我们发现，
1
解得 .
2
解得
3
此含矛盾方程，故原方程无解！
4
取 ，则 ，
解为 ， 为任意常数.
5
分情况讨论：
1)无解 但是 时无解，即 .
2)唯一解 即 ，解得 且 .此时的解为
3)无穷解 解之有 或者 (舍).故 ，所以解为 ,
其中 为任意常数.
6
讨论：
1)唯一解： 解得 此时解为
2)无解：
3)无穷解： 此时解为 为任意常数.
则有
解得 , ,
, 从而
63
64令 设 则
解得 ,故
补充题
67
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
68解：
70
(A) ,但 不能得到 ，如 .
(B) 这里 但是
(C)令 计算知 但是 既不是 也不是 .
(D)正确
(E)正确.
(F)
71 .
故 所以
73 由 整理有 .
从而
74 又因为 且 故
所以 从而 .
76若 有
当n=4k时，
当n=4k+1时，
当n=4k+2时，
当n=4k+3时，
所以它恰好可以写成 。
可以采用相同的方法！
24 (1)
即条件： 可交换.
(2)
即条件： 可交换.
25 (1)
(2)
27设 满足 则
,即
整理有 ， ，从而 ， .
满足要求的矩阵为 ， 为任意常数.
28所求即是与 可交换的二阶矩阵，设此矩阵为 有
故 ，
即所求为 .
29证明： ，设 ，若 ,则有
由矩阵相等的知识知 ，又 时 故只有 。
从而 .即所有与 可交换的矩阵必是对角阵.
31设 ，则 ， ，也就是只有可能 .
按照矩阵乘法的定义，有
时， .
时，
时，
故 是主对角线元素全为0的上三角矩阵.
32记
故乘积仍是主对角元为1的上三角阵.
33
34数学归纳法
选B.
77
则
从而
78由 知
79
故
计算有
81令 ,则
若 Fra Baidu bibliotek逆有 ,
解得 即
84
(1) 设
则 ，易知
而
代入即有
(2) 令
则
.
87以下证明 主对角线之和为0.
只观察 的主对角线元素，有
容易看出 主对角线元素之和为0，但 主对角线元素之和为n，故 .
90
同理
91以上三角矩阵为例，用数学归纳法.
(1)若 则 成立
(2)假设 阶矩阵成立，下证对 阶亦成立.设
其中 是满足上述假设条件的矩阵.下证 主对角线元素全为1.
故 主对角线元素全为1.
93证明： 故 可逆.
设 则 即 解之有
故
94数学归纳法
(1) 时 则
(2)假设 时成立
(3)下证 时成立.
设
解得 故 为下三角矩阵.
95
因为 可交换，从而易知
若 ,又 有 为对称阵.
39
1) 为对称阵。
，当 为偶数时 为对称阵， 为奇数时 为反对称阵.
2)
为反对称阵.
40、
（1）
故 .解得
所以
（2）
故
解之有 故
（3）
故
（4）
故
（5）
（6）
故
41（1）因为 由 故可逆，且
（2） 存在，下面求 ，
故
（3） 存在，下求 ，
42令 则因为 故 存在，从而 用初等行变换求此逆矩阵，有
从而有
58
（1）对 分块，令
对 分块，令 ，则 ，则
（2） ，令
则
,而
故
59证明：
让 按列分块 则 即
从而 均为 的解向量.
设 的所有列向量是 则 故
即
60解：取 即可！
61解： 故 存在，设
有
整理有 解得 .
故
62
（1）
令 则
= 而
故 .
（2）令 则
故 ，而
故 .
（3）
令 ，则
而原式= .
(4)
令 因 ，设
43 (1)
(2)不是， 为零矩阵时即为反例.
45(1)
而 ，故 可逆， 可逆，同时 可逆，且 ，
所以
(2)证明： 即 若 与 同时可逆，则 均不为0，但 故矛盾，从而 与 不同时可逆.
46 整理有
故 均可逆，
所以
47证明：
49
50
故 .
51
从而
52
故
54
解： 故 从而
55
故
从而
56
易知 存在(因为行列式不等于0)，求得
1） 成立
2）若 时成立，则下证 时结论也成立.
所证成立.
35因为 均为对称阵，有
故 所以 为对称阵.
而 故 为对称阵.
36证明：
(1) 所以 是对称矩阵.
所以 是反对称矩阵
(2) 由上面的结论知 是对称矩阵， 是反对称矩阵，从而 是对称矩阵， 是反对称矩阵，故 可表示为对称矩阵和反对称矩阵的和.
37 故 所以 可交换.
8解:设母鸡 只，公鸡 只，小鸡 只.
列方程得
解方程有，
还原为方程组有
从而 ，继续求解 ，得到 .
9设 则
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
23、本题是求一个矩阵n次幂的题目，我们常规的做法，是通过数学归纳法，归纳出它n次幂后的通项公式！
以 为例。
因为
，即
，即
，即
，即
，即
于是我们发现，
1
解得 .
2
解得
3
此含矛盾方程，故原方程无解！
4
取 ，则 ，
解为 ， 为任意常数.
5
分情况讨论：
1)无解 但是 时无解，即 .
2)唯一解 即 ，解得 且 .此时的解为
3)无穷解 解之有 或者 (舍).故 ，所以解为 ,
其中 为任意常数.
6
讨论：
1)唯一解： 解得 此时解为
2)无解：
3)无穷解： 此时解为 为任意常数.
则有
解得 , ,
, 从而
63
64令 设 则
解得 ,故
补充题
67
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
68解：
70
(A) ,但 不能得到 ，如 .
(B) 这里 但是
(C)令 计算知 但是 既不是 也不是 .
(D)正确
(E)正确.
(F)
71 .
故 所以
73 由 整理有 .
从而
74 又因为 且 故
所以 从而 .
76若 有
当n=4k时，
当n=4k+1时，
当n=4k+2时，
当n=4k+3时，
所以它恰好可以写成 。
可以采用相同的方法！
24 (1)
即条件： 可交换.
(2)
即条件： 可交换.
25 (1)
(2)
27设 满足 则
,即
整理有 ， ，从而 ， .
满足要求的矩阵为 ， 为任意常数.
28所求即是与 可交换的二阶矩阵，设此矩阵为 有