球面距离计算公式的推导及举例

球面距离的计算及其计算公式

在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）

如图1，A 、B 为球面上不在同一直径上的两点，O 为圆心，⊙O 为过A 、B 的大圆，⊙O '为过A 、B 的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设α2=∠AOB ，α'='∠2B O A ，球半径为R ，半径为r ．则有AB 大圆弧长R L α2=，

AB 小圆弧长r l α'=2

r

a R

r R l L '=

'=ααα22 （1） 但αα'==sin 2sin 2r R AB ，即ααsin sin '=r R （2）

将（2）代入（1）得α

αααα

ααsin sin sin sin ''

='

⋅'=a l L （3）

∵ r R >，由（2）式知αα>'.由于2

0π

αα<'<<，故只需证明函数()x x x f sin =

在⎪⎭

⎫

⎝⎛2.0π内为单调递减即可. ∴ ()()0tan cos sin cos 2

2<-=-='x

x x x x x x x x f , ∵当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,

0πx 时，有x x >tan ）∴ ()x f 在⎪⎭

⎫

⎝⎛2,0π单调递减, 由（3）式不难得到

1

L

，即l L <. 故大圆劣弧最短。 球面距离公式：设一个球面的半径为R ，球面上有两点()11,βαA 、()22,βαB . 其中1α，2α为点 的经度数，1β、2β为点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，则有

()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-=（弧度）

A 、

B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-==R R L

证明：如图1，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于C O 2上，连结EB 、

AB . 则()2

212

2

12OO OO O O AE -==()2

21sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R 在BE O 2∆中，由余弦定理，得：()21222

22

22

cos 2αα-⋅++=B O E O B O E O BE

()21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O

()()()21212

22

1cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R

()()

]cos cos cos 2cos cos [112122122ααββββ-⋅⋅-+=R

故()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212

2

2

2

ααββββ-⋅--=+=R BE AE AB

又()θθθcos 122sin 42sin 22222

2-==⎪⎭⎫ ⎝

⎛

=R R R AB ，比较上述两式，化简整理得：

()212111sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=，从而可证得关于θ与L 的两个式子.

计算球面距离的三种类型

现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难．下面给出这

类习题解答的示范，以供同学们参考．

1．位于同一纬度线上两点的球面距离

例1 已知A ，B 两地都位于北纬 45，又分别位于东经 30和

60，设地球半径为R ，求A ，B 的球面距离．

分析：要求两点A ，B 的球面距离，过A ，B 作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角AOB ∠的大小（见图1），而要求AOB ∠往往首先要求弦AB 的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．

解：作出直观图（见图2），设O 为球心，1O 为北纬

45圈的圆心，连结OA ，OB ，A O 1

B O 1，AB ．由于地轴⊥NS 平面B AO 1．∴1OAO ∠与1OBO ∠为纬度 45，B AO 1∠为二面角B

OO A --1的平面角．∴

3030601=-=∠B AO （经度差）．

Rt △1OAO 中，R R OAO OA A O 2

2

45cos cos 11=

⋅=∠= ． △AB O 1中，由余弦定理，B AO B O A O B O A O AB 1112

12

12

cos 2∠⋅-+=

22

223230cos 222222222R R R R R -=⋅⋅⋅-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

．

△OAB 中，由余弦定理：4

3222322cos 22

222

22+=--

+=

⋅-+=∠R R

R R OB

OA AB

OB OA AOB ，

∴

21≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为

R R

ππ60

7

21180

=

⋅． 2．位于同一经线上两点的球面距离

例2 求东经 57线上，纬度分别为北纬

68和

38的两地A ，B 的球面距离．（设地球半径为R ）． 解：经过B A 、两地的大圆就是已知经线．

303868=-=∠AOB ，6

18030R

R AB ππ=⋅⋅=

．