数值分析第6章积分

0
1 , 2
1
c 1(1) =
0
2
tdt =
1 2
4 , 6
当n=2等分时：
(2) c0 =
1 1 (2) 1 ( t 1)( t 2) dt = , c = 1 4蝌 6 2 0
2
2
t (t - 2)dt =
0
(2) c2
1 1 = ò t (t - 1)dt = , 4 0 6
柯特斯系数见P141： 表6.1
f ( x) = Ln ( x) + Rn ( x)
所以
b
b
b
f ( x)dx ? 蝌
a n b j a
Ln ( x)dx
a n
å
j= 0
n
l j ( x) f ( x j )dx (6.3)
j= 0
=
邋[ò l ( x)dx] f ( x ) =
j j= 0 a
Aj f ( x j )
其中
b
Aj =
由定理6.1知,公式(6.7)至少具有n次代数精度, 由于节点等距,还可以进一步得到:
定理6.2 当等分数n为偶数时,牛顿-柯特斯公 式 (6.7)至少具有n+1次代数精度.
证:由定理6.1知,公式(6.7)至少具有n次代数 精度.下证当n为偶数时,(6.7)对f (x)=xn+1精确 成立.即Rn[ f ]=0. 由于
(6)
(h)(
b- a
4
)7
a ＃h
b
(6.14)
由此知柯特斯公式具有五次代数精度.
例4 P144: 分别用梯形、辛卜生、柯特斯公式计算
ò
1
0.5
xdx
解：1、 利用梯形公式

1
0.5
1 0.5 xdx ( 0.5 1) 0.4267767 2
b
b- a b+ a 3 d = a+ ,c = , e = a + (b - a ) 4 2 4
ò f (x )dx
a
» (6.13)
b- a
90
[7f (a ) + 32f (d ) + 12f (c ) + 32f (e ) + 7f (b )] @C
其误差为
R 4 [f ] = 8 f 945
n 2 n 2
n n n n )( z + - 1) L ( z + 1) z ( z - 1)L ( z - + 1)( z - )dz 2 2 2 2
n = h n+ 2 ò z ( z 2 - 1)( z 2 - 2) L ( z 2 - ( ) 2 )dz = 0 2 n
2
证毕 奇函数
下面讨论如何计算柯特斯系数，根据计算公式
的代数精度至少为n次. 则分别取 f (x)= l0 (x), l1 (x),L ,ln (x)
注意到它们都是n次多项式,所以求积公式 精确成立，
于是有
b
ò l j ( x)dx
a
只有此项 不为0
= A0l j ( x0 ) + L + Aj l j ( x j ) + L + Anl j ( xn )
3 3
1
2 % 1 4 1 4 2 I ( x ) = ò x dx = , I=() +( ) = 5 9 3 3 - 1
4 4
1
由此可见原求积公式的代数精度为3次. 求积公式的代数精度越高, 此求积公式就越好.
6.1.2 插值型求积公式
当f (x)以表格的形式给出时,插值多项式 Ln(x) 是 f (x) 的一种近似表达:
邋Aj f ( x j )
j= 0
n
n
(b - a )
j= 0
c (jn ) f j
(6.7)
称牛顿-柯特斯求积公式 求积截断误差为:
b
Rn [ f ] =
n+ 2
ò
a n
f ( n+ 1) (x ) wn+ 1 ( x)dx (n + 1)! (6.8)
h ( n + 1) = f (x )t (t - 1) L (t - n)dt ò (n + 1)! 0 x Î (a,b), 并依赖于x
称Cotes系数
其中
c
(n) j
(- 1) = t (t - 1) L (t - j + 1)(t - j - 1) L (t - n)dt ò j !(n - j )!n 0
n- j
n
称为柯特斯(Cotes)系数，它与区间[a,b]无关， 只与等分份数n有关. 此时插值型求积公式为
b
ò
a
f ( x)dx ?
1 1
1
1
A1 =
l1 ( x)dx = 蝌
- 1 - 1
x- 0 dx = 0 1- 0
1
得插值型求积公式
ò f ( x)dx ?
- 1
2 f (0)
0 f (1)
截断误差为:
1
R1[ f ] =
1
ò R ( x)dx
1 - 1
1 = ò fⅱ (x )( x - 0)( x - 1)dx 2 - 1
于是
Aj =
n- j n ¢ wn ( x ) = ( 1) j !( n j )! h , +1 j
(- 1) h t (t - 1) L (t - j + 1)(t - j - 1) L (t - n)dt ò j !(n - j )! 0
n- j n
n- j
n
(- 1) = (b - a) t (t - 1) L (t - j + 1)(t - j - 1) L (t - n)dt ò j !(n - j )!n 0 = (b - a)c (jn ) j=0,1,L ,n
顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式. 下面推导N-C求积公式的求积系数公式.
根据求积系数计算公式(6.4)有
1 Aj = 蝌 l j ( x)dx = w¢ (x j ) a
b b a
wn+ 1 ( x) dx x- xj
令积分变换 x=a + t h, 则
wn+ 1 ( x) = h n+ 1t (t - 1) L (t - n),
（1）梯形公式 当n=1时 其误差为
b
ò f (x )dx
a
?
b- a
2
[f (a )
f (b )] @T
a ＃h b
(6.9)
(b - a)3 R1[ f ] = fⅱ (h ) 12
(6.10)
由此知梯形公式具有一次代数精度. (2) 辛卜生公式 (抛物线公式) 当n=2时,节点 c = a + b
= Aj j = 0,1,L , n
1, l j ( xi ) 0, i j i j
复习
所以求积公式(6.1)为插值型的. 作业: P166: 1, 2(1), 3, 4 (上机: P151: 例6.7)
6.2 牛顿-柯特斯求积公式
6.2.1 牛顿-柯特斯求积公式 将积分区间n等份, 被积函数用拉格朗日插值 多项式来近似.由此得到的求积公式称为牛
ò f ( x)dx » å
a
n
f ( x j )h j
j= 1
一般地,称
b
ò f (x )dx
a
»
å j
n
=0
A j f (x j )
(6.1)
为数值求积公式,其中x0,x1,…,xn称为求积节 点,A0,A1,…,An称为求积系数.求积系数只与 区间及区间内节点有关,与被积函数无关. 称下式为公式(6.1)的截断误差或余项.
n- j ( 1) c (jn ) = t (t - 1) L (t - j + 1)(t - j - 1) L (t - n)dt ò j !(n - j )!n 0 n
知,柯特斯系数只与n有关.因此只要确定了n,就可 求出Cotes系数，并制作成表。
当n=1等分时： 1
(1) c0 = -
(t - 1)dt = 蝌
( n + 1)
当 f (x)为次数不超过n的多项式时, Rn [f ] º 0 从而 f (n + 1) (x ) º 0
即(6.1)精确成立,进而(6.1)的代数精度至少 为 n 次. 再证充分性 设 b
ò
a
f ( x)dx »
å
n
Aj f ( x j )
j= 0
= A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 ) + L + An f ( xn )
6.1 代数精度与插值型求积公式 6.1.1 代数精度 定积分的定义: 其中:
b l®0
ò f ( x)dx = lim å
a
n
f (x j ) h j
j= 1
h j = x j - x j- 1 , l =max{h j} , x j
[ x j- 1 , x j ].
我们有如下的近似计算公式.
b
第六章
数值积分
计算定积分,理论上可以用牛顿莱布尼兹公 式.而实际上问题并不是那么简单.例如:
1 1 - x
2
e 蝌
0
dx,
0
sin x dx x
由于被积函数的原函数不能用初等函数表示,所以 不能用牛顿莱布尼兹公式来计算其定积分.再例如: 若被积函数是用表格形式给出的.那么根本就不具 备使用牛顿莱布尼兹公式的条件.
其中 与 x 有关, 且 (a,b). 例2：验证下列求积公式是插值型求积公式
1
ò
解 而
f ( x)dx ? f (
1 3
)+ f (
1 3
)
- 1
Q x0 = 1 0
1 1 , x1 = , A0 = A1 = 1 3 3
1
l ( x)dx = 蝌
- 1 1 - 1 1 1
x - x1 dx = 1 = A0 x0 - x1 x - x0 dx = 1 = A1 x1 - x0
- 1 1
1 1 % I ( x) = ò xdx = 0, I=+ =0 3 3 - 1 2 % 1 2 1 2 2 I ( x ) = ò x dx = , I=() +( ) = 3 3 3 3 - 1
2 2 1
1 3 1 3 % I ( x ) = ò x dx = 0, I=() +( ) =0 3 3 - 1
例1:求下列求积公式的代数精度
1
ò
解:记
f ( x)dx ? f (
1
1 3
)+ f (
1 3
)
- 1
I( f ) =
ò
分别取 f (x)=1,
1
- 1
1 1 % f ( x)dx, I ( f ) = f ()+ f ( ) 3 3
x,
x2,
x3,
x4,
得
I (1) =
% 1 dx = 2, I=1+1=2 ò
òl
a
j
( x) dx
(j=0,1,2, L ,n)
(6.4)
若求积公式(6.1)中的求积系数具有(6.4)的形 来自百度文库,则称(6.1)为插值型求积公式.
插值型求积公式(6.3)的截断误差为
b b
Rn [ f ] =
R ( x)dx = 蝌
n a a
f ( n+ 1) (x ) wn+ 1 ( x)dx (6.5) (n + 1)!
f ( x) = x n+ 1
所以
n 2
f ( n+ 1) ( x) = (n + 1)!
n
由(6.8)得 Rn [f ] = h n + 2 ò t (t - 1) L (t - n )dt
0
由于n为偶数,所以
n 2
为整数,令
n t = z+ 2
则有
Rn [ f ] = h n+ 2 ò ( z +
相加都为 1哟
6.2.2 几个低阶求积公式
牛顿-柯特斯求积公式实际上是通过用n+1个 节点的值来求得被积函数的n次插值多项式, 而实际计算时一般不采用高次(n>7)插值.所 以高阶N-C求积公式也不宜采用.常用的是 低阶N-C求积公式,
n=1,2,4等分时的求积公式,对应地称作梯形求 积公式、辛卜生求积公式、柯特斯求积公式.
b- a ò f ( x)dx ? 6 [ f ( a) 4 f ( c) + f ( b)] @ S (6.11) a (b - a)5 (4) f (h ) a ＃h b (6.12) 其误差为 R2 [ f ] = 2880
b
2
由此知辛卜生公式具有三次代数精度.
(3) 柯特斯公式 当n=4时,节点
l ( x)dx = 蝌
- 1 - 1
所以题设的求积公式是插值型求积公式。
1
例3:给定求积节点x0=0, x1=1,试推出积分ò f (x )dx
的插值型求积公式,并写出其截断误差.
- 1
解: 设
1
ò f (x )dx
- 1
? A0f (0)
A1f (1)
要使其为插值型,则
x- 1 A0 = 蝌 l0 ( x)dx = dx = 2 0- 1 - 1 - 1
b
R n [f ] =
ò f (x )dx - å j
a
n
=0
Aj f (x j )
余项
直接考察截断误差的大小比较困难
定义6.1 如果求积公式(6.1)对任何次数不高于m 次的多项式都能精确成立,而对某个m +1次多项 式不精确成立,则称求积公式(6.1)具有m次代数精 度. 若分别取 f (x) = 1, x, x2, …, xm 时, 求积公式(6.1)精确成立, 取 f (x) = xm+1 时, 式(6.1)不精确成立, 那么求积公式(6.1)具有m次代数精度.
其中(-1,1).
b
ò f (x )dx
a
»
å j
n
=0
A j f (x j )
(6.1)
定理6.1 求积公式(6.1)为插值型求积公式的 充要条件是它的代数精度至少为n次. 证:先证必要性 设(6.1)是插值型的,则
b
R n [f ] =
ò
a
f
(x ) wn + 1 (x )dx (n + 1)!