第八章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

[方法与技巧]

1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．

2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．

3．圆的弦长的常用求法

(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2；

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：

|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].

[失误与防范]

1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．

2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．

[高考中与圆交汇问题的求解]

一、与圆有关的最值问题

典例1 (1)(2020·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为

(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

(2)(2020·北京)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

解析 (1)由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝

(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，

y )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，

∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.

(2)根据题意，画出示意图，如图所示，

则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .

因为∠APB ＝90°，连接OP ，

易知|OP |＝12

|AB |＝m . 要求m 的最大值，

即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．

因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.

答案 (1)B (2)B

二、直线与圆的综合问题

典例2 (1)(2020·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( )

A ．2

B ．4 2

C ．6

D ．210

(2)(2020·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )

A.45π

B.34

π C ．(6－25)π D.54

π 解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，

∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)．

∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36.

∴|AB |＝6.

(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．

设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，

则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，

∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.

又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45

， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(

25)2＝45π. 答案 (1)C (2)A

温馨提醒 (1)与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．

(2)直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．

题型一 直线与圆的位置关系

例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

(2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是________．

(3)已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ

＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．

答案 (1)B (2)⎝⎛⎭⎫－833，－3∪⎝

⎛⎭⎫2，833 (3)相切 解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1

的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2

<1. 所以直线与圆相交．

(2)把圆的方程化为标准方程得

⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝16－3k 2

4， 所以16－3k 2

4

>0， 解得－833

. 由题意知点(1,2)应在已知圆的外部，

把点代入圆的方程得1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0，

即(k －2)(k ＋3)>0，

解得k >2或k <－3，

则实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－833，－3∪⎝

⎛⎭⎫2，833. (3)由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝

|－ab |(a ＋b )2＋1

，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝⎛⎭

⎫－1tan θ2＋1，化简后得d ＝1，故直线与圆相切．

思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d 与r 的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.

(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；