CH3 插值法与最小二乘法―31～33 插值法PPT课件

证2 反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 令：Q n(x)P n(x)L n(x),显然, Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn，产生矛盾。
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
选用的插值函数不同，近似的效率也不同。
1-2 代数插值多项式的存在唯一性 定理：满足条件 P n(xi)yi (的i n0 次,1 ,代 数,n 插)值多项式
是唯一的. P n (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
证明思路：
插值多项式是唯一的
关于多项式系数的线性方程组有唯一解
The wife said: "No, they're TEN!" "But I have counted them: 0, 1, 2, ..."
Ha ha ha ...
3. 插值类型
插值函数P(x) 的选择不同，就产生不同类型的插值： 若P(x)为有理函数, 就称为有理函数插值； 若P(x)为三角多项式, 就称为三角多项式插值； 若P(x)为代数多项式, 就称为代数多项式插值,简称插 值多项式。
不能直接用计算机计算,例如 等x ,；ln x
—— 表达式复杂，很难算！
2）函数没有明显的函数表达式，而只是一些离散点或曲线，分析计 算起来很麻烦。 —— 没有表达式，不能算！
直观想法——用一个便于计算的函数来近似 这个函数。
Hale Waihona Puke Baidu
插值法和数据拟合的最小二乘法是这样的两种基本方法，二者的
相同点：都是从未知函数的一组数据出发，按照某种规则构造简单 易算的函数去近似它。
选取n+1个线性无关的代数多项式：
0(x) ,1(x) ,,n(x)
如果由它们的线性组合表示次数不超过n 的代数多项式
P n ( x ) a 0 0 ( x ) a 1 1 ( x ) a n n ( x )
满足插值条件：P n(x i)y i(i 0 ,1 ,2 , ,n ), 则称这组多项式为 代数插值基函数。
证1 因为 Pn (满x)足: P n(xi)yi,所(i以0 ,1 , ,n )
P n ( x i) a 0 a 1 x i a 2 x i 2 a n x i n y i (i0,1, ,n)
即多项式 Pn (的x) 系数 a0,a1,满a2,足 线,a性n 方程组：
a 0 a 1 x 0 a 2 x 0 2 a n x 0 n y 0 a 0 a 1 x 1 a 2 x 1 2 a n x 1 n y 1 a 0 a 1 x n a 2 x n 2 a n x n n y n
系数行列式为n+1阶Vandermond 行列式：
1
x0
x02
x
n 0
V
1
x1
x12
x1n
n
i1
i1
(xi xj)0
j0
1
xn
x
2 n
xnn
所以方程组有唯一解,即存在唯一一组数 a0,a1,，..使.a,n满足插
值条件
P(xi)的yi (i的代0,1数, 插,n值) 多f项(x式) 存在且唯一。
第三章 插值法与 最小二乘法
3.1—3.3
2010年3月
本章主要内容
插值法 Lagrange插值 插值误差 分段插值法 Newton插值 Hermit插值 数据拟合 最小二乘法
引言
科学研究和其它许多实际问题都和函数有关。常常会出现函数不便
于处理和计算的情形：
1）函数虽然有明确的解析表达式，但表达式形式复杂，很难计算或
n
例如 P(x)Ln(x)g(x) (xxi) 也是一个插值 i0
多项式，其中 g(x)可以是任意多项式。
Q：如何得到求这些系数？
已知插值函数的形式后，可以利用插值条件求得。
1-3 插值基函数与Lagrange插值
1、插值基函数
所有次数小于等于n的多项式构成n+1维线性空间的基底是不唯一 的,即 n 次代数多项式的形式不唯一。
插值的位置 x为插值点；
包含插值节点的区间 [a, b] 为插值区间。
The mathematician S. had to move to a new place. His wife didn't trust him very much, so when they stood down on the street with all their things, she asked him to watch their ten trunks, while she got a taxi. Some minutes later she returned. Said the husband: "I thought you said there were ten trunks, but I've only counted to nine!"
不同点：前者要求近似函数和原函数在固定节点处的函数值相等； 后者是在同一函数类中, 求与未知函数“距离”最近的函数，不要求两 函数在节点处的值相等。规则不同，产生的方法也不同
插值和拟合示意图
(x0, y0)
(x1, y1)
拟合 插值
(x3, y3)
(x2, y2)
(xn, yn)
§1 插值法
1-1 插值问题 1. 插值问题
对插值函数的要求：能够在计算机上直接计算。
常用插值函数：代数多项式和有理分式。
2. 插值法
按条件 P (xi)yi (i求函0 ,1 数, ,n )的近似表达f 式(x) 的方 法称为插P (值x )法.
其中， f (x) 为被插值函数；
函数 P( x为) 函数 f的( x插) 值函数； P (xi)yi (i0 ,1 , ,n )为插值条件； 点 xi (i0,1,2, ,n)为插值节点；
设通过试验或测量，获得函数f(x)区间[a,b]上一组互异 点{xi}上的函数值{yi}(i=0,1,…,n),为了计算f(x)在[a,b]上其 他点处的函数值,或为了确定这一组数据反映的变量之间的 函数关系，可以寻求一个简单函数P(x)，使
P(xi) = yi (i=0,1,…,n) 用P(x)近似代替f(x)。称这样的问题为插值问题。