非线性光学与光孤子简介

雄中學報第九期

95年7月1日

非線性光學與光孤子簡介

(nonlinear optics & soliton)

盧政良*

目 錄

一、非線性光學簡介

二、光孤子(soliton)簡介

一、非線性光學簡介

光學在物理學的發展中已有相當長久的歷史，然而直到最近，科學家仍是認為光介質是線性的（linear optical media），而對於光介質為線性的假設可得到相當廣泛的結論：

■光學性質，如：折射率與吸收係數(absorption coefficient)，與光的強度無關。■疊加原理(The principle of superposition)，古典光學的基礎法則。

■光通過介質後其頻率不會改變

■光與光不會有相互作用(interact)；兩道光在同一介質中時不會相互作用。即光不能用來控制光。

1960年代雷射(laser)的發明，使我們有能力觀測高強度的光在介質中的行為。許多實驗使我門看清楚光在介質中的行為事實上卻是非線性的(nonlinear behavior)，可由以下的觀測為例：

■介質的折射率以及介質中的光速必然地與光的強度有關。

■疊加原理的失敗(violated)。

■當光通過非線性介質時可能改變其頻率（如：由紅光變藍光!!）

■光可以用來控制另一道光；光子是會交互作用的。

非線性光學領域展現了許多迷人的現象。

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然而線性或非線性是指光通過介質時的性質，而不是光本身的性質。非線性的行為是不可能在真空中發生的。光與光的相互作用是憑藉著其介質而發生的。光改變了介質的性質，而介質又改變了另一道光或甚至改變了原來的那道光。

我們知道介電介質中一電磁波(光波)的進行可以完全表示為極化強度(polarization density) P (r,t) 與電場強度(electric-field vector) E(r,t) 之關係式。一般將P(r,t) 與 E(r,t)視為系統的輸出與輸入。而P(r,t) 與 E(r,t)之間的數學關係決定了此系統(介質)的特性。若數學關係為非線性，則此物體即稱為非線性介質。

非線性光學介質

線性介質的特徵是其極化強度與電場強度間的線性關係，E P χε0=，其中0ε為真空中的介電常數，而χ則為介質中的磁化率。非線性介質的特徵即為P 與E 的非線性關係 (

非線性的發生可能是由於微觀或巨觀的原因。極化強度Np P =是由個別的偶極距

p 與數量密度(number density )N 相乘，而偶極距p 是感應其電場而來的。所以非線性行為就可能是p 或N 造成的。

當E 很小的時候，p 與E 的關係是線性，而當E 的大小與原子間電場(一般而言約105~108 V/m )則會變成非線性之關係。這一點可由簡單的勞侖茲模型解釋，原子的偶極距ex p −=，x 是其電荷在電場中受力-eE 而產生的位移。此式符合虎克定律時，恢復力會正比於其位移，故P 正比於E ，所以介質是線性的。然而當電場E 太大的時候，恢復力會變成電場E 的非線性函數，則介質必然是非線性的。

另一個光介質的非線性反應可能的原因則是光場是與數量密度(number (a)線性介質 (b)非線性介質

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density )N 有關。例如一雷射介質之佔有能階原子的數目與吸收即放出光有關即和光本身的強度有關的。

非線性波動方程式

光在非線性介質中的傳播是由波動方程式(Wave equation)所控制的，而波動方程式則是由任意同質介電介質的馬克士威方程式(Maxwell’s equation)推出，

22022202

1t P t E c E ∂∂=∂∂−∇μ 我門可以將P 寫成較方便的形式，包含線性部分與非線性部分，

NL P E P +=χε0

⋅⋅⋅++=3)3(242E dE P NL χ

利用χ+=12n ，2/1000)(1εμ=c ，以及n c c /0=的關係，可以將上式寫成

S t E c E −=∂∂−∇22221 2

20t P S NL ∂∂−=μ 非線性介質的波動方程式

將220t

P S NL ∂∂−=μ的部份看成一光源在折射率n 的線性介質中的行為是很有用的。因為NL P (以及S)是E 的非線性函數，所以S t

E c E −=∂∂−∇22221 是E 的非線性偏微分方程式。這是非線性光學相當基本的方程式。

光學克爾效應(Optical Kerr Effect)

光學克爾效應是相當熟為人知的非線性光學性質，在克爾效應材料中，介質折射率的改變是正比於入射光強度，其折射率I n n n b 2+=，其中b n 是背景折射率，I 是入射光的強度，而2n 大小通常則隨著介質的不同而有所差異。但由於2n 通常很小，所以早期光學介質的折射率視為是定值，也由於雷射的發明，提供了極大的光強度，才得以觀察出此非線性的效應。

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自聚焦(self-Focusing)

另一種相當有趣的效應則是自聚焦的現象。當一道強烈的光束通過一光學克爾效應介質時，由於介質折射率會隨光的強度正比改變，故光束的中心強度較強會有較高的折射率，而外圍的光則會向折射率高的部份偏折，導致中心強度越高，而外圍光束又更像中心聚集，所以我們稱為這個現象就是非線性光學的自聚焦效應。

self-focusing

二、光孤子(soliton)簡介

導 論

在1834年，一個蘇格蘭的科學家John S.Russell發現了一種”完整平滑且輪廓清晰的水波”進行時”形式不會改變且速度不減”在又窄又淺的水道中傳播。而在這水波的前後的水面是平靜的而不是波濤滾滾。Russell把這個現象記在筆記本中並稱之為”Solitary elevation”。過了五十年之後，Cortege和de Vireos發現當這種”孤立波(solitary wave)”發生時，其振幅必定相當的大，這表示說這巨大的振幅造成介質(水)發生這種不尋常的行為。也就是說，介質的這種行為是非線性的。同樣的，”solitary wave”也可在不同的波散介質 (dispersive medium)中如電漿或固體觀察到，其中不同頻率的波在這些介質中通常以不同速度前進。這種”solitary wave”看