自然对数底e的由来

自然对数底 e 的由来

圆周率n生活中很容易被找到或被发现，一个圆的周长与其直径的比等于圆周率n。可自然对数的底e一直困扰着我们。高中数学中，有以10 为底的对数，即常用对数。教材中曾指出，

如果底数是以e为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然对数的底e=2.71828……是一个无理数。除此之外，我们知道甚少， e 似乎是来自纯数学的一个问题。事实上，对于自然对数的底e是有其生活原型的。在历史上，自然对数的底e与曾一个商人借钱的利息有关。

过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借 1 元，一年后利息是 1 元，即连本带利还 2 元，年利率100%。利息好多

喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是 1.5 元，

一年后还 1.52=2. 25元。半年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次， 4 次，……，365次，……，岂不发

财了?

财主算了算，结算3次，利率为1, 1元钱一年到期的本利

3

3

1 一和是：1 — 2.37037

兀，

3

4

结算4次，1元钱到一年时还 1 1 2.44140 元。

4

财主还想，一年结算1000次，其利息是:

1000

1

1000

这么大的数，年终肯定发财了。可是，财主算了算，一元钱结帐1000次，年终还的金额只有:

1000

1

2.71692

1000

这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道，1丄"的值是随n的增大而增大，但

n

增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次, 和不可能突破一个上限。数学家欧拉把1

e=2.71828…，即自然对数的底。连本带利的总

n

1

-极限记作e, n