椭圆与双曲线的光学原理在数学中的应用

椭圆与双曲线的光学原理在数学中的应用

山东 肖成荣

在高中数学新课标教材选修2-1第二章圆锥曲线与方程后面有一节阅读材料圆锥曲线的光学性质，它的应用会被许多考生所忽视，在此本人对椭圆和双曲线的一个简单数学应用做以介绍，供大家参考。

一、椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点处发出的光线照射到椭圆上，经反射后都

通过另一个焦点

例1 已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点是12,F F .M 是椭圆上的一个动点,过焦点1F 向经过

M 做的椭圆的切线作垂线,垂足为P ,则点P 的轨迹方程为 。

分析：根据椭圆的光学性质可以判断，过点M 做的椭圆的切线PT 是M 点处反射基线，即得出1

2FMP F MT ∠=∠.因此本题有时“过点M 做的椭圆的切线”改为“1F MN ∠的外角平分线”是一致的。

解：因为直线MP 平分1F MN ∠,又1MP F N ⊥,所以得到1MF MN =. 依据椭圆定义122MF MF a +=，22F N a ∴= ①

因为O 是线段12F F 的中点，P 是线段1F N 的中点，在12F F N ∆中，212

OP F N =②

有①②得OP a = 即点P 到原点的距离等于常数a ，所以点P 的轨迹方程为

222x y a +=. 答案：222x y a +=

二、双曲线的光学性质 从双曲线的一个焦点处发出的光线照射到双曲线上，经反射

后会使光线散开，如同光线是从另一个焦点发出来一样。

例2 已知双曲线122

22=-b

y a x ()0,0a b >>的焦点是12,F F .M 是双曲线上的一个动点,过焦点1F 向经过

M 做的双曲线的切线作垂线,垂足为P ,则点P 的轨迹方程为 。

分析：根据双曲线的光学性质可以判断，过点M 做的双曲线的切线PT 是M 点处反射基线，即得出1

2FMP F MP ∠=∠.因此本题有时“过点M 做的双曲线的切线”改为“1F MN ∠的角平分线”是一致的。

解：因为直线MP 平分1F MN ∠,又1MP F N ⊥,所以得到1MF MN =. 依据双曲线定义122MF MF a -=，22F N a ∴= ①

因为O 是线段12F F 的中点，P 是线段1F N 的中点，在12F F N ∆中，212

OP F N =② 有①②得OP a = 即点P 到原点的距离等于常数a ，所以点P 的轨迹方程为

222x y a +=. 答案：222x y a +=

通过以上两不同曲线的同一类型题目的分析可以得出，几何法在处理解析几何问题中

还是起着非常重要的作用，把问题通过几何量的关系和曲线的定义结合，显得非常巧妙并且简洁。