MATLAB实现主成分分析

§10.利用Matlab 编程实现主成分分析

1.概述

Matlab 语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是最有活力的软件。它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。Matlab 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

1.1主成分分析计算步骤

① 计算相关系数矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=pp p p p p r r r r r r r r r R 212222111211 （1）

在（3.5.3）式中，r ij （i ，j=1，2，…，p ）为原变量的xi 与xj 之间的相关系数，其计算公式为

∑∑∑===----=

n k n k j kj i ki n k j kj i ki ij x x x x x x x x r 11221)()())(( （2）

因为R 是实对称矩阵（即r ij =r ji ），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。

② 计算特征值与特征向量

首先解特征方程0=-R I λ，通常用雅可比法（Jacobi ）求出特征值),,2,1(p i i =λ，并使其按大小顺序排列，即

0,21≥≥≥≥p λλλ ；然后分别求出对应于特征值i λ的特征向量),,2,1(p i e i =。这里要求i

e =1，即112=∑=p j ij e ，其中ij e 表示向量i e 的第j 个分量。

③ 计算主成分贡献率及累计贡献率

主成分i z 的贡献率为

),,2,1(1p i p k k

i

=∑=λ

λ 累计贡献率为

),,2,1(11p i p k k i k k =∑∑==λ

λ

一般取累计贡献率达85—95%的特征值m λλλ,,,21 所对应的第一、第二，…，第m （m ≤p ）个主成分。

④ 计算主成分载荷

其计算公式为

),,2,1,(),(p j i e x z p l ij i j i ij ===λ （3）

得到各主成分的载荷以后，还可以按照（3.5.2）式进一步计算，得到各主成分的得分

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m m z z z z z z z z z Z 212222111211 （4）

2.程序结构及函数作用

在软件Matlab 中实现主成分分析可以采取两种方式实现：一是通过编程来实现；二是直接调用Matlab 种自带程序实现。下面主要主要介绍利用Matlab 的矩阵计算功能编程实现主成分分析。

2.1程序结构

2.2函数作用

Cwstd.m——用总和标准化法标准化矩阵

Cwfac.m——计算相关系数矩阵；计算特征值和特征向量；对主成分进行排序；计算各特征值贡献率；挑选主成分（累计贡献率大于85%），输出主成分个数；计算主成分载荷

Cwscore.m——计算各主成分得分、综合得分并排序

Cwprint.m——读入数据文件；调用以上三个函数并输出结果

3.源程序

3.1 cwstd.m

%cwstd.m,用总和标准化法标准化矩阵

function std=cwstd(vector)

cwsum=sum(vector,1); %对列求和

[a,b]=size(vector); %矩阵大小,a为行数,b为列数

for i=1:a

for j=1:b

std(i,j)= vector(i,j)/cwsum(j);

end

end

3.2 cwfac.m

%cwfac.m

function result=cwfac(vector);

fprintf('相关系数矩阵:\n')

std=CORRCOEF(vector) %计算相关系数矩阵

fprintf('特征向量(vec)及特征值(val)：\n')

[vec,val]=eig(std) %求特征值(val)及特征向量(vec)

newval=diag(val) ;

[y,i]=sort(newval) ; %对特征根进行排序，y为排序结果，i为索引fprintf('特征根排序：\n')

for z=1:length(y)

newy(z)=y(length(y)+1-z);

end

fprintf('%g\n',newy)

rate=y/sum(y);

fprintf('\n贡献率：\n')

newrate=newy/sum(newy)

for k=length(y):-1:1

sumrate=sumrate+rate(k);

newi(length(y)+1-k)=i(k);

if sumrate>0.85 break;

end

end %记下累积贡献率大85%的特征值的序号放入newi中fprintf('主成分数：%g\n\n',length(newi));

fprintf('主成分载荷：\n')

for p=1:length(newi)

for q=1:length(y)

result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p));

end

end %计算载荷

disp(result)

3.3 cwscore.m

%cwscore.m,计算得分

function score=cwscore(vector1,vector2);

sco=vector1*vector2;

csum=sum(sco,2);

[newcsum,i]=sort(-1*csum);

[newi,j]=sort(i);

fprintf('计算得分：\n')

score=[sco,csum,j]

%得分矩阵：sco为各主成分得分；csum为综合得分；j为排序结果

3.4 cwprint.m

%cwprint.m

function print=cwprint(filename,a,b);