对两个重要极限的重要性的认识

e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→x

x

x

对两个重要极限的重要性的认识

摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。

关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用

1.绪论

两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目

前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。

《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和 时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。 它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。

2.两个重要极限的证明

两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法,

在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。

2.1第一个重要极限：1sin lim

0=→x

x

x

证明：作单位圆，如图1：

图1

设x 为圆心角AOB ∠，并设2

0π

<

即：x x x tan 2

1

21sin 21<<，即 x x x tan sin <<，

1sin cos cos 1sin 1<<⇒<<

⇒x

x x x x x （因为2

0π

<

当x 改变符号时，x x

x sin ,cos 及1的值均不变，故对满足2

0π<

有1sin cos <

x

x 。 又因为2

1421)2(sin 21)cos 1(1cos 2

22

x x x x x -=⋅->-=--=，

所以 1cos lim 1cos 2

10

2

=⇒<<-→x x x x

而1sin lim

1

1lim cos lim 00

=⇒==→→→x

x

x x x x ，证毕。

2.2第二个重要极限：e x

x x =+∞→)1

1(lim

先考虑x 取正整数时的情形：n n n

)1

1(lim +∞→

对于0>>a b ，有不等式：

n n n b n a

b a b )1(1

1+<--++， 即：)()1(11a b b n a b n n n -+<-++， 即：])1[(1nb a n b a n n -+>+ （i ）现令n

b n a 11,111+=++

=，显然0>>a b ，因为

1)1(11)1(=+-++=-+n n nb a n 将其代入，所以n n n n )1

1()111(1+>++

+，所以})11{(n n +为单调数列，记作{n x }。

（ii ）又令1=a ，2

1

)21(1)1(,211=+-+=-+⇒+=n n nb a n n b

所以n n n

n )21

1(221)211(1+>⇒⋅

+> n n 2)211(4+>⇒， 即对4,2<∀n x n ， 又对4)2

21

1()1211(2212<++<++

∀++n n n n 所以{n n

)1

1(+}是有界的。

由单调有界定理知 n x n

)1

1(lim +∞→存在，并使用e 来表示，

即 590457182818284.2)1

1(lim ==+∞→e n n x

3.两个重要极限在微分学中的重要性

在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类： ○

1幂函数y x α=(R α∈), ○

2指数函数(0,1)x y a a a =>≠， ○

3对数函数log a y x =(0,1a a >≠)， ○

4三角函数y=sin x, y=cos x ，y=tan x, y=cot x, ○

5反三角函数y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx 。 由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念——

导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f (x )在点x 处的导数 ，就是

计算极限

（3.1）

当这一极限存在时，其值就是 。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限3.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限3.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。

关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幂函数，第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数。对于第一类函

x x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim 0)('

x f )('x f e

x

x x =+∞→)1

1(lim 0sin lim 1x x

x →=