数列经典题目(竞赛专题)

5a2 n + 4, 求证, 对于 an 不可能有某一正整数 N , 使 a2N 能被 1998 整除. )
பைடு நூலகம்
31. 已知 x1 = 6, x2 = 4, xn+2 =
x2 n+1 − 4 , 则数列 {xn } 适合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( xn (A) 只有有限项且满足 xn+2 = 2xn+1 − xn ;
n
1, 其中 m, k ∈ N∗ , 证明, 对任意
证明, 这个数列中有无限多个非正项. 16. (英国,1980) 求所有的 a0 ∈ R, 使得由 an+1 = 2n − 3an , n ∈ N∗ 所确定的数列 a0 , a1 , · · · 是递增的. 17. (奥地利,1972; 保加利亚,1978) 证明, 由条件 a1 , a2 ∈ Z,
n→∞
1 √ , √ (n + 1) n + n n + 1
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) , n ∈ N∗ , 2 · 4 · 6 · · · 2n lim an . an−1 √ , 要么为 an−1 , 其中 n ∈ N∗ , 试问 2
4. (美国纽约,1974) 在正数列 a0 , a1 , · · · 中, 每个数 an 要么为 这个数列是否有极限属于区间 (0, 1)? 5. (美国,1980; 南斯拉夫,1981) 对给定的自然数 n 级数的最大数目.
35. 已知数列 {xn } 满足 a1 = 5, 且 an = a1 + a2 + · · · + an−1 (n 36. 数列 a, b, a, b, · · · (a ̸= b) 的通项公式 an = . .
37. 若 a1 = a2 = 1, an = 4an−1 − an−2 , 则 an an−2 − a2 n−1 = 38. 已知 x1 = 4, xn+1 = x2 n , 则数列的通项公式为 xn = 4(xn − 1)
3 20. (苏联,1987) 求所有的 α, 使得数列 cos α, cos 2α, cos 4α, cos 8α, · · · 的每一项都是负数. 21. (评委会, 英国,1982) 数列 a1 , a2 , · · · 满足 a0 = 1, a1 = 1, an+1 = 2an + (a − 1)an−1 , 其中 n ∈ N∗ , 且 a ∈ N∗ 是参数. 设 p0 > 2 是给定的素数, 求满足下述两个条件的 a 的最小值: (1) 如果 p 是素数, 且 p p0 , 则 ap 能被 p 整除; (1) 如果 p 是素数, 且 p > p0 , 则 ap 不能被 p 整除。 22. (英国,1978) 证明, 恰有一整数数列 a1 , a2 , · · · 满足 a1 = 1, a2 > 1, a2 n+1 + 1 = an an+2 , 其中 n ∈ N∗ . 23. (捷克,1970) 对给定的素数 p, 求满足 a0 a0 a0 p + + ··· + + = 1, n ∈ N∗ a1 a2 an an+1 的不同的自然数数列 a1 , a2 , · · · 的个数. 24. (英国,1983) 证明, 对由递推关系式 a1 = a2 = 1, an+2 = an+1 + an , n ∈ N∗ 给出的 (F ibonacci) 数列 a1 , a2 , · · · , 存在唯一的三数组 a, b, c ∈ N∗ , 使得 b < a, c < a 并且对任意 n ∈ N∗ ,a | an − nbcn . 25. 若数列 {xn } 满足 x1 = 1, xn > xn−1 , 且 4xn xn+1 = (xn + xn+1 − 1)2 (n 26. 在数列 {an } 中, 若 a1 = 1, an+1 = 3an − 4, 求 an . 27. 已知 a0 = √ 1 + an−1 2, an = , 求 an . 1 − an−1 1), 求数列的通项.
32. 数列 {an } 中,a1 = 1, 且 an+1 = an + (A) 2550 1 ; 4 (B) 2550;
)
33. 已知数列 {xn } 满足 xn+1 = xn − xn−1 (n (A) x100 = −a, S100 = 2b − a; (C) x100 = −b, S100 = b − a; 34. 在数列 {xn } 中,x1 = 2, x2 = 7, 且当 n (A) 2; (B) 4;
28. 若数列 {xn } 满足 x1 = 1, 且 xn+1 = 求数列的通项. 29. 设 a0 = 1, an+1 = √ 2 + an , 求证 0 < 2 − an 30. 设 a1 = 0, 2an+1 = 3an + √ (2 − √ n 3) . √ 1 (1 + 4xn + 1 + 24xn )(n 16 1)
论正确的是 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (
9. (评委会, 法国,1982) 设数列 {an } 与 {bn } 的每个项都是自然数, 证明, 存在一对下标 p < q , 使得 ap aq 与 bp bq . an − an+1 , 其中 n ∈ N∗ , 证明, 对任意
10. (中国北京,1964) 设正数列 a1 , a2 , · · · , an , · · · 满足 a2 n n ∈ N∗ , 有 an < 1 . n
2 11. (国际数学竞赛, 芬兰,1980) 用下列给定数列 a0 , a1 , · · · , an : a0 = 证明 1− 1 < an < 1. n 1 1 , ak = ak−1 + a2 (k = 1, 2, · · · , n). 2 n k −1
12. (中国,1988) 设 a1 = 1, a2 = 2, 且当 n ∈ N∗ 时, 5an+1 − 3an , an+2 = a −a ,
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .
数列经典题目 (竞赛专题) 1. (南斯拉夫,1978) 已知 an = 求和 a1 + a2 + · · · + a99 . 2. (捷克,1972) 已知 ak = tan k · tan(k − 1), 证明, 存在实数 A 和 B , 使得对每个 n ∈ N∗ , 有 a1 + a2 + · · · + an = A tan n + Bn. 3. (美国纽约,1974) 设 an = 求
S = an+1 + an+2 + · · · + a2n+1 的最大值.(1999 年全国高中数学联赛) 45. 对于任一实数列 {an }, 定义数列 {bn } : bn = an+1 − an , 数列 {cn } : cn = bn+1 − bn . 数列 {cn } 的所 有项均为 1, 且 a19 = a92 = 0, 求 a1 .(1992 年美国数学奥林匹克试题) 46. 由正奇数组成的数列 {an } 定义为:1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 7, · · · , 其中奇数 k 恰好出现 k 次. 已知存在整 [√ ] 数 b, c, d, 使对任意自然数 n 有 an = b n + c + d,[x] 表示不超过 x 的最大整数. 求 b + c + d.(1993 年河北省高中数学竞赛题) 47. 令 p1 , p2 , p3 , · · · 为依递增顺序排列的全体素数, 实数 x0 在 0,1 之间, 对正整数 k , 定义 0, (若xk−1 = 0) xk = { pk } , (若xk−1 ̸= 0) xk−1 其中 {x} = x − [x] 表示 x 的小数部分, 求出所有适合 0 < x0 < 1, 并使数列 x0 , x1 , x2 , · · · 最终成为 0 的 x0 , 并予以证明. 48. 设 {an } 是正实数列, 对所有的 n (1994 年美国数学奥林匹克试题) 1 都有
.
1 3an−1 − 1 39. 已知 a1 = − , an = , 求数列的通项. 3 3 − an−1 40. 已知 a1 = 1, a2 = 2, 4an+2 − 4an+1 + an = 0, 求数列的通项. 41. 已知 a1 = 1, a2 = −1, an + an−1 + 2an−2 = 0, 求证 2n+2 − 7a2 n 为完全平方数. 42. 已知 x0 = 1, xn + 1 xn+1 = 2 cos 113 π , 求使 xk = 1 的最小整数 k . 355
n+1 n
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
(B) 有无限项且满足 xn+2 = 2xn+1 − xn ; (C) 只有有限项且满足 xn+2 ̸= 2xn+1 − xn ; (D) 有无限项且满足 xn+2 ̸= 2xn+1 − xn .
4 √ 1 an + , 则 a99 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 4 (C) 2450 1 ; (D) 2401 . 4
2 a2 + a a2 1 + a2 + a ∈ Z, an+2 = n+1 a1 a2 an
所确定的非零数列 a1 , a2 , · · · 全由整数组成, 其中 a 是某个确定的数. 18. (捷克,1968) 证明, 数列 an = (2 + √ n √ 3) − (2 − 3)n √ 2 3
3, 求从 n 个不同的数中取出三个数构成递增算术
6. (南斯拉夫,1981) 有一数列, 其前四项依次是 1,9,8,1, 而其他的项都是它前面四项之和的个位数, 试问, 在该数列中能否依次连续出现 1,2,3,4? 7. (奥地利 − 波兰,1980) 正整数数列 a1 < a2 < a3 < · · · 满足 a1 = 1, 且当 n ∈ N∗ 时 an+1 < 2n, 证明, 对每个 n ∈ N∗ , 在数列 {an } 中总有两个项 ap 和 aq , 使得 ap − aq = n. 8. (波兰,1979) 给定数 A > 1 与 B > 1 及区间 [1, AB ] 中的数组成的数列 {an }(n ∈ N∗ ). 证明, 存在区 间 [1, A] 中的数组成的数列 {bn }, 使得对任意 m, n ∈ N∗ , 都有 am an B bm . bn
43. 三个数成等差数列, 公差为 11, 若第一个数减少 6, 第二个数减少 1, 第三个数两倍, 则所得结果成等 比数列. 求原来的三个数.(1997 年加拿大数学公共竞赛题)
2 44. 给定正整数 n 和正数 M , 对于满足条件 a2 1 + an+1
M 的所有等差数列 a1 , a2 , a3 , · · · , 试求
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )