2021届新课改高三数学复习：空间向量的概念(学生版)

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第44讲空间向量的概念和空间位置关系1、课程标准

1、空间向量的线性运算

2、共线、共面向量定理的应用

3、空间向量数量积的应用

4、利用空间向量证明平行或垂直

2、基础知识回顾

1．空间向量及其有关概念

概念语言描述

共线向量(平行

向量)

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量

共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb

共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b

空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c.

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且

OP

―→

OA

―→

OB

―→

OC

―→

x＋y＋z＝1

2．数量积及坐标运算

(1)两个空间向量的数量积：①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)；③设

a ＝(x ，y ，z )，则|a |2＝a 2，|a |＝.

x 2＋y 2＋z 2(2)空间向量的坐标运算：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)

向量和

a ＋

b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)向量差

a －

b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积

a ·

b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线

a ∥

b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)垂直a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0

夹角公式

cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3

a 21＋a 2＋a 23

b 21＋b 2＋b 233、自主热身、归纳总结

1、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )

A. 共线

B. 共面

C. 不共面

D. 无法确定

2、已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于(

)A. B. －2 C. 0 D. 或－2

3

2323、在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )

A . 垂直

B . 平行

C . 异面

D . 相交但不垂直

4、如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，设＝a ，＝b ，＝c ，则

AB ―→ AD ―→ AA 1―→ 向量可用a ，b ，c 表示为________．

C 1M ―→

5、如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．

6、O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且＝＋＋t ，若P ，A ，B ，C 四点共

OP ―→ 34OA ―→ 18OB ―→ OC ―→ 面，则实数t ＝________.

4、例题选讲

考点一 空间向量的线性运算

例1　(1) 向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是________．(填序号)

①a ∥b ，a ∥c; ②a ∥b ，a ⊥c ； ③a ∥c ，a ⊥b .

(2) 已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P 的坐标是(x ，0，y)，若