典型环节的频率特性
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1 1 G ( j ) j
Im
G
Re
900
0
积分环节的频率响应
频率特性如图所示。由图可知，积分环节的相频特性等于 -900 ， 与角频率ω 无关，表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅 频特性等于 1 ，是ω 的函数， 当ω 由零变到无穷大时，输出幅值则由 无穷大衰减至零。
（3） 用渐近线表示幅频特性，使作图简单方便；
（4） 横轴（ω 轴）用对数分度，扩展了低频段，同时兼顾 了中、高频段，有利于系统的分析与综合。
（一）放大环节（比例环节） 放大环节的频率特性为 G ( j ) K ( K 0)
其幅频特性是
G( j ) K
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
-20
-40
( )
两个图形上下放置（幅
频特性在上，相频特性
在下），且将纵轴对齐， 便于求出同一频率的幅
90o
值和相角的大小，同时
为求取系统相角裕度带
45o
0 -45o -90o 0.01 0.1 1 10 100
来方便。
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）
2 2 2
2
1 是一个标准圆方程，其圆心坐标是 ,0 ，半径为 1 。且
当ω 由 0 时， G ( j ) 由 0 90 ，说明惯性环节的频率特 性在G( j ) 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。
2
2
Im
G
0
0.5
0
450
幅频特性和相频特性分别为
G ( j )
1 (1 T 2 2 ) 2 4 2T 2 2
G ( j ) arctg
G( j ) arctg
2T 1 T 2 2
(0 1 ) T
2T 1 T 2 2
G( j ) 180 arctg
G( j0) K , G( j0) 00
0
振荡环节的频率响应
阻尼比较小时，会产生谐振
谐振峰值 M r (M r 1) 和谐振频率 r ，如何求？
d d G ( j ) 1 T 2 2 d d
2
4 2T 2 2 0
r
1 1 1 2 2 n 1 2 2 (0 ) T 2
K>1，20lgK>0，位于横轴上方； K=1，20lgK=0，与横轴重合； K<1，20lgK<0，位于横轴下方。
放大环节的对数幅频特性如图， 是一条与角频率ω 无关且平行于横
dB
20
L( )
轴的直线，其纵坐标为20lgK。
10
0
1
10
20 log K
100 1000
当有n个放大环节串联时，即
G( j 0) 0
0
（
１ ）
1 ( )
0
1
G( j 0) 1
G( j ) 2 G( j) 1
Im
1 G ( j ) 90 0
1 2 ( ) G
1
G( j) 180
0
Re
二阶微分环节是相位超前环节，最大超
频率特性
G( j ) 2 2 j 2 1
G ( j )
幅频特性和相频特性分别为
1
2
2 2
4 2 2 2
G ( j ) arctg
2 1 2 2 2 G( j ) 180 arctg 2 2 1
一阶比例微分环节，由于实际的物理系统中理想微分环节（即不含比 例项）是不存在的，故用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。 一阶微分环节的频率特性为
G( j ) j 1
幅频特性和相频特性分别为
G( j ) 2 2 1
G( j ) arctg
0 1 1 当 时， G ( j ) 当 时， G( j)
0
0
前相角为180o。
二阶微分环节频率特性图
（七）
不稳定环节
传递函数为 Im 1 G( s) Ts 1 Re 0 0 有一个正实极点，对应的频率特性是 1 G ( j ) jT 1 幅频特性和相频特性 1 G ( j ) 不稳定惯性环节的频率特性 2 2 T 1 与惯性环节比较 T 0 G ( j ) arctg 180 arctgT 1
5-2 典型环节频率特性的绘制
自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分
成几种典型环节。本节介绍典型环节频率特性的绘制方法（极坐标图和
伯德图）。
一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）
以角频率ω 为参变量，根据系统的幅频特性 G( j ) 和相频特性
G( j ) 在复平面 G( j )上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率
特性的极坐标图。它是当角频率ω 从0到无穷变化时，矢量 G( j ) e j 的矢 端在 G( j ) 平面上描绘出的曲线。
（一） 放大环节（比例环节）
放大环节的传递函数为
G( s) K
其对应的频率特性是
其幅频特性和相频特性分别为
G( j ) K
G( j ) K
Im
G( j ) 0
振荡环节的幅值特性曲线如图所示。在 0 r 的范围内，随着ω 的增加， M ( ) 缓慢增大；当 r 时， M ( ) 达到最大值 M r ；当
r 时，输出幅值衰减很快。
惯性环节的串联， 即
当阻尼比 1 时，此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即 G ( j )
2
2
(四） 振荡环节
振荡环节的传递函数是
G ( s)
1 T 2 s 2 2Ts 1
频率特性
G ( j )
1 1 T 2 2 j 2T 1 (1 T 2 2 ) j 2T
幅频特性和相频特性分别为
j
G( j ) 1
滞后环节频率特性图
G( j ) (弧度）＝ 57.3（度）
滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时针旋转的单位圆。
G
Re
滞后环节的传递函数为
Im
二、典型环节频率特性的伯德图
伯德（Bode）图又称对数频率特性曲线，是将幅频特
性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫
对数幅频特性，后者叫对数相频特性。 两个坐标平面横轴（ω 轴）用对数分度，对数幅频特
性的纵轴用线性分度，表示幅值的分贝数
L( ) 20 lg G( j ) (dB)
对数相频特性的纵轴也是线性分度，表示相角的度数
( ) G( j（度） )
L( ) dB
40 20 0 0.01 0.1 1 10 100
1 1 T j jT 1 1 T 2 2 1 T 2 2
1 u ( ) 2 2 1 T T ImG ( j ) v( ) 2 2 1 T
ReG ( j )
1 2 u ( ) v( ) 2 1 1 T 1 2 2 2 2 2 1 T 1 T 2
频率特性如图所示。
放大环节的幅频特性为常数K，
相频特性等于零度，它们都与频率
无关。理想的放大环节能够无失真 和无滞后地复现输入信号。
0
0
.
K
Re
放大环节的频率响应
（二） 积分环节
积分环节的传递函数为
1 G (s) s 其对应的频率特性是
1 G ( j ) j 幅频特性和相频特性分别为
G ( j ) K1 K 2 ...K n
幅值的总分贝数为
20 lg G( j ) 20 lg K1 20 lg K 2 ... 20 lg K n
10
度
900
00 90
0
（）
10
100
1000
放大环节的相频特性是
1800
G( j ) 0
G( j 1 ) T
G( j 0) 00
1 T
1 1 0 0.707 G ( j ) 45 T 2
G( j) 0
G( j) 900
当ω 由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在G( j )平面上是 正实轴下方的半个圆周
证明:
G( j )
率特性曲线如图所示。 振荡环节为相位滞后环节， 最大滞后相角是1800。 当振荡环节传递函数的分子 是常数K时，
0 时， G( j 0) 1 ，
Im
0
r
G
0
1
Re
G ( s)
K T 2 s 2 2Ts 1
n n n n
r
Mr
对应频率特性 G ( j ) 的起点为
Re
1
1/ T
惯性环节的频率响应
惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输 入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，
滞后相角也大，最大滞后相角为90゜ 。
K jT 1 K 其频率特性是圆心为 ,0 ，半径为 K 的实轴下方半个圆周。
当 时， ， G( j 0) 1
2，
G( j 0) 00 1 G ( j ) 450 G( j) 900
频率特性如图所示。是一条过点（1，j0）与实轴垂直相交且位于
实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重1
G
G
0
Re
一阶微分环节的频率响应
（六） 二阶微分环节
将 代入 G( j ) 得到谐振峰值 M r 为 r
M r G ( j r )
1 2 1
2
(0
1 2
)
将 r 代入 G ( j ) 得到谐振相移φ r为
1 2 2 0 r G( j r ) arctg 90 arcsin 1 2
的幅值和相角与频率之间的关系更清晰； （2） 幅值用分贝数表示，将串联环节的幅值相乘变为相 加，简化计算；
G ( j ) G1 ( j )G2 ( j ) Gn ( j ) G ( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j ) L( ) 20 lg G ( j ) 20 lg G1 ( j ) 20 lg G2 ( j ) 20 lg Gn ( j )
2T T 2 2 1
(
1 ) T
当
G( j 0) 0 0 1 1 1 1 当 时， G ( j ) ， G ( j ) 90 0 T T 2 T 当 时， G( j) 0 ， G ( j) 180
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ 有关，不同阻尼比的频
M ( )
G( s)
1 T1 s 1T2 s 1
1
1
Mr
1
T1，T2为一大一小两个不同的时间常 数，小时间常数对应的负实极点离虚 轴较远，对瞬态响应的影响较小。 振荡环节的频率响应
0
r
（五） 一阶微分环节
典型一阶微分环节的传函数为
G ( s) s 1
其中τ 为微分时间常数、1为比例项因子，严格说，上式表示的是
0
1 T
G( j 0) 1
G( j 1 1 ) T 2
G( j 0) 1800
1 G ( j ) 1350 T
G( j) 0
G( j) 900
（八）
滞后环节的传递函数
j
G ( s ) e s
1
其对应的频率特性是
0
1 0
G( j ) e j
G ( j ) arctg 90 0 0
（三）
惯性环节
G(s)
G ( j )
惯性环节的传递函数为
1 Ts 1
1
频率特性
jT 1
1
幅频特性和相频特性分别是
1 T 2 2 G( j ) arctgT
G( j )
0
G( j 0) 1
Im
G
Re
900
0
积分环节的频率响应
频率特性如图所示。由图可知，积分环节的相频特性等于 -900 ， 与角频率ω 无关，表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅 频特性等于 1 ，是ω 的函数， 当ω 由零变到无穷大时，输出幅值则由 无穷大衰减至零。
（3） 用渐近线表示幅频特性，使作图简单方便；
（4） 横轴（ω 轴）用对数分度，扩展了低频段，同时兼顾 了中、高频段，有利于系统的分析与综合。
（一）放大环节（比例环节） 放大环节的频率特性为 G ( j ) K ( K 0)
其幅频特性是
G( j ) K
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
-20
-40
( )
两个图形上下放置（幅
频特性在上，相频特性
在下），且将纵轴对齐， 便于求出同一频率的幅
90o
值和相角的大小，同时
为求取系统相角裕度带
45o
0 -45o -90o 0.01 0.1 1 10 100
来方便。
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）
2 2 2
2
1 是一个标准圆方程，其圆心坐标是 ,0 ，半径为 1 。且
当ω 由 0 时， G ( j ) 由 0 90 ，说明惯性环节的频率特 性在G( j ) 平面上是实轴下方半个圆周，如图所示。
2
2
Im
G
0
0.5
0
450
幅频特性和相频特性分别为
G ( j )
1 (1 T 2 2 ) 2 4 2T 2 2
G ( j ) arctg
G( j ) arctg
2T 1 T 2 2
(0 1 ) T
2T 1 T 2 2
G( j ) 180 arctg
G( j0) K , G( j0) 00
0
振荡环节的频率响应
阻尼比较小时，会产生谐振
谐振峰值 M r (M r 1) 和谐振频率 r ，如何求？
d d G ( j ) 1 T 2 2 d d
2
4 2T 2 2 0
r
1 1 1 2 2 n 1 2 2 (0 ) T 2
K>1，20lgK>0，位于横轴上方； K=1，20lgK=0，与横轴重合； K<1，20lgK<0，位于横轴下方。
放大环节的对数幅频特性如图， 是一条与角频率ω 无关且平行于横
dB
20
L( )
轴的直线，其纵坐标为20lgK。
10
0
1
10
20 log K
100 1000
当有n个放大环节串联时，即
G( j 0) 0
0
（
１ ）
1 ( )
0
1
G( j 0) 1
G( j ) 2 G( j) 1
Im
1 G ( j ) 90 0
1 2 ( ) G
1
G( j) 180
0
Re
二阶微分环节是相位超前环节，最大超
频率特性
G( j ) 2 2 j 2 1
G ( j )
幅频特性和相频特性分别为
1
2
2 2
4 2 2 2
G ( j ) arctg
2 1 2 2 2 G( j ) 180 arctg 2 2 1
一阶比例微分环节，由于实际的物理系统中理想微分环节（即不含比 例项）是不存在的，故用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。 一阶微分环节的频率特性为
G( j ) j 1
幅频特性和相频特性分别为
G( j ) 2 2 1
G( j ) arctg
0 1 1 当 时， G ( j ) 当 时， G( j)
0
0
前相角为180o。
二阶微分环节频率特性图
（七）
不稳定环节
传递函数为 Im 1 G( s) Ts 1 Re 0 0 有一个正实极点，对应的频率特性是 1 G ( j ) jT 1 幅频特性和相频特性 1 G ( j ) 不稳定惯性环节的频率特性 2 2 T 1 与惯性环节比较 T 0 G ( j ) arctg 180 arctgT 1
5-2 典型环节频率特性的绘制
自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分
成几种典型环节。本节介绍典型环节频率特性的绘制方法（极坐标图和
伯德图）。
一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）
以角频率ω 为参变量，根据系统的幅频特性 G( j ) 和相频特性
G( j ) 在复平面 G( j )上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率
特性的极坐标图。它是当角频率ω 从0到无穷变化时，矢量 G( j ) e j 的矢 端在 G( j ) 平面上描绘出的曲线。
（一） 放大环节（比例环节）
放大环节的传递函数为
G( s) K
其对应的频率特性是
其幅频特性和相频特性分别为
G( j ) K
G( j ) K
Im
G( j ) 0
振荡环节的幅值特性曲线如图所示。在 0 r 的范围内，随着ω 的增加， M ( ) 缓慢增大；当 r 时， M ( ) 达到最大值 M r ；当
r 时，输出幅值衰减很快。
惯性环节的串联， 即
当阻尼比 1 时，此时振荡环节可等效成两个不同时间常数的
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即 G ( j )
2
2
(四） 振荡环节
振荡环节的传递函数是
G ( s)
1 T 2 s 2 2Ts 1
频率特性
G ( j )
1 1 T 2 2 j 2T 1 (1 T 2 2 ) j 2T
幅频特性和相频特性分别为
j
G( j ) 1
滞后环节频率特性图
G( j ) (弧度）＝ 57.3（度）
滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时针旋转的单位圆。
G
Re
滞后环节的传递函数为
Im
二、典型环节频率特性的伯德图
伯德（Bode）图又称对数频率特性曲线，是将幅频特
性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫
对数幅频特性，后者叫对数相频特性。 两个坐标平面横轴（ω 轴）用对数分度，对数幅频特
性的纵轴用线性分度，表示幅值的分贝数
L( ) 20 lg G( j ) (dB)
对数相频特性的纵轴也是线性分度，表示相角的度数
( ) G( j（度） )
L( ) dB
40 20 0 0.01 0.1 1 10 100
1 1 T j jT 1 1 T 2 2 1 T 2 2
1 u ( ) 2 2 1 T T ImG ( j ) v( ) 2 2 1 T
ReG ( j )
1 2 u ( ) v( ) 2 1 1 T 1 2 2 2 2 2 1 T 1 T 2
频率特性如图所示。
放大环节的幅频特性为常数K，
相频特性等于零度，它们都与频率
无关。理想的放大环节能够无失真 和无滞后地复现输入信号。
0
0
.
K
Re
放大环节的频率响应
（二） 积分环节
积分环节的传递函数为
1 G (s) s 其对应的频率特性是
1 G ( j ) j 幅频特性和相频特性分别为
G ( j ) K1 K 2 ...K n
幅值的总分贝数为
20 lg G( j ) 20 lg K1 20 lg K 2 ... 20 lg K n
10
度
900
00 90
0
（）
10
100
1000
放大环节的相频特性是
1800
G( j ) 0
G( j 1 ) T
G( j 0) 00
1 T
1 1 0 0.707 G ( j ) 45 T 2
G( j) 0
G( j) 900
当ω 由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在G( j )平面上是 正实轴下方的半个圆周
证明:
G( j )
率特性曲线如图所示。 振荡环节为相位滞后环节， 最大滞后相角是1800。 当振荡环节传递函数的分子 是常数K时，
0 时， G( j 0) 1 ，
Im
0
r
G
0
1
Re
G ( s)
K T 2 s 2 2Ts 1
n n n n
r
Mr
对应频率特性 G ( j ) 的起点为
Re
1
1/ T
惯性环节的频率响应
惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输 入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，
滞后相角也大，最大滞后相角为90゜ 。
K jT 1 K 其频率特性是圆心为 ,0 ，半径为 K 的实轴下方半个圆周。
当 时， ， G( j 0) 1
2，
G( j 0) 00 1 G ( j ) 450 G( j) 900
频率特性如图所示。是一条过点（1，j0）与实轴垂直相交且位于
实轴上方的直线。纯微分环节的频率特性与正虚轴重1
G
G
0
Re
一阶微分环节的频率响应
（六） 二阶微分环节
将 代入 G( j ) 得到谐振峰值 M r 为 r
M r G ( j r )
1 2 1
2
(0
1 2
)
将 r 代入 G ( j ) 得到谐振相移φ r为
1 2 2 0 r G( j r ) arctg 90 arcsin 1 2
的幅值和相角与频率之间的关系更清晰； （2） 幅值用分贝数表示，将串联环节的幅值相乘变为相 加，简化计算；
G ( j ) G1 ( j )G2 ( j ) Gn ( j ) G ( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j ) L( ) 20 lg G ( j ) 20 lg G1 ( j ) 20 lg G2 ( j ) 20 lg Gn ( j )
2T T 2 2 1
(
1 ) T
当
G( j 0) 0 0 1 1 1 1 当 时， G ( j ) ， G ( j ) 90 0 T T 2 T 当 时， G( j) 0 ， G ( j) 180
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ 有关，不同阻尼比的频
M ( )
G( s)
1 T1 s 1T2 s 1
1
1
Mr
1
T1，T2为一大一小两个不同的时间常 数，小时间常数对应的负实极点离虚 轴较远，对瞬态响应的影响较小。 振荡环节的频率响应
0
r
（五） 一阶微分环节
典型一阶微分环节的传函数为
G ( s) s 1
其中τ 为微分时间常数、1为比例项因子，严格说，上式表示的是
0
1 T
G( j 0) 1
G( j 1 1 ) T 2
G( j 0) 1800
1 G ( j ) 1350 T
G( j) 0
G( j) 900
（八）
滞后环节的传递函数
j
G ( s ) e s
1
其对应的频率特性是
0
1 0
G( j ) e j
G ( j ) arctg 90 0 0
（三）
惯性环节
G(s)
G ( j )
惯性环节的传递函数为
1 Ts 1
1
频率特性
jT 1
1
幅频特性和相频特性分别是
1 T 2 2 G( j ) arctgT
G( j )
0
G( j 0) 1