函数与方程综合问题例题讲解

第五讲函数与方程综合

A 组

一、选择题

1．（2018全国卷Ⅰ）已知函数⎩⎨⎧>≤=,

0,ln ,

0,)(x x x e x f x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围

是（ ） A ．[1,0)-

B ．[0,)+∞

C ．[1,)-+∞

D ．[1,)+∞

【答案】C

【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根， 函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象， 如图所示，

x

y

–1–2123

–1

–2

1

23O

由图可知，1≤-a ，解得1-≥a ，故选C ．

2.已知实数a ，b 满足23a

=，32b

=，则函数()x

f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）

A. ()21--，

B.()1,0-

C.()0,1

D.()1,2 【解析】

23a =，32b =，∴1a >，01b <<，又

()x f x a x b =+-，∴()1

110f b a

-=

--<，()010f b =->，从而由零点存在定理可知()f x 在区间()1,0-上存在零点．故选B.

3.已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是

A ．），（210

B ．），（121

C ．），（21

D ．），（∞+2

【答案】B

【解析】如图所示，方程

()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可

知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选

1

12

k <<．

4.设函数1

()ln 3

f x x x =

-，则函数()f x ( ） A ．在区间1(,1)e ，(1,)e 内均有零点 B ．在区间1(,1)e ，(1,)e 内均无零点

C ．在区间1(,1)e

内有零点，在(1,)e 内无零点 D ．在区间1(,1)e

内无零点，在((1,)e 内有零点 【解析】1()ln 3f x x x =

-的定义域为(0,)+∞，'11

()3f x x

=-，故()f x 在(0,3)上递减，又 1

()0,(1)0,()0f f f e e

>><，故选D. 5. 已知函数()f x 满足：()()1f

x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，

函数()()k kx x f x g --=有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．⎥⎦

⎤ ⎝⎛21,0 C ．⎥⎦

⎤ ⎝⎛4

1,0 D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦

【解析】由(1)()()f x f x f x +=-⇒的周期为2，又()f x 是偶函数，且[]0,1x ∈时，()2

f x x =，故可示意()

f x 在[1,3]-上图象，()()k kx x f x

g --=有4个零点转化为函数()f x 与(1)y k x =+在x ∈[1,3]-上有4个交点，由图象知1

(0,]4

k ∈，故选C.

6.已知方程923310x x

k -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ） A.2[,1]3 B. 12(,]33 C.2[,)3

+∞ D.[1, ＋∞)

【解析】设3x

t =，原题转化为函数2

()231g t t t k =-+-在(0,)t ∈+∞上有两个零点（可以相同），则

44(31)0

20310

k k --≥⎧⎪

>⎨⎪->⎩

解得12(,]33k ∈，故选B.

7.（2016高考新课标2卷理）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1

x y x

+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则

1

()m

i

i

i x y =+=∑（ ）

A. 0

B. m

C. 2m

D. 4m 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数11

1x y x x

+=

=+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B.（客观上函数()y f x =与1

x y x

+=

有共同的对称中心(0,1)，所以它们的所有交点 关于(0,1)对称 二、填空题

8．（2018年全国卷Ⅲ）函数()cos(3)6

f x x π

=+在[0,]π的零点个数为________．

【答案】3

【解析】由题意知，cos(3)06

x π

+

=，所以362x k π

π

π+

=

+，k ∈Z ，所以9

3

k x π

π

=

+

，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=

；当2k =时，79

x π

=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．

10．若函数f (x )=

21x --x-m 无零点,则实数m 的取值范围是 .

【解析】原题转化为函数y =1的平行线系y x m =+没有公共点的问题，