二元函数可微的充分条件(最终版)

f x ( , y0) f x( x0 , y0) 2
（ 5）
2 在 x x0 时是无穷小量
将（ 4）（ 5）代入（ 3）有
zwk.baidu.comfx (x0, y0 ) x f y (x0, y0 ) y 2 x 1 y
可以证明 2 x 1 y =o( x2 y2 )
0 |2 x x2
1 y| y2
| 1|+| 2|
二元函数可微的充分条件（最终版）
教材的充分条件是这样的， z f ( x, y) 的偏导数连续，则函数是可微的。条件可弱化为，
z f ( x, y) 偏导数存在， 且其中一个偏导数连续， 另一个偏导数单元连续 （关于求导变元） ，
则函数是可微的。 多元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。
证明： 1）设
| 1|+| 2| 是无穷小量，又两边夹准则，
|2 x x2
1 y| 是无穷小量，所以 y2
2x x2
1 y 是无穷 y2
小量，即 2 x 1 y =o( x2 y2 )
将（ 2）（ 3）代入（ 1）有
z fx (x0, y0 ) x f y (x0, y0 ) y 1 x 2 y
可以证明 1 x
2 y=o(
2
x
2
y)
0 |1 x x2
2 y| y2
| 1|+| 2|
| 1|+| 2| 是无穷小量，又两边夹准则，
|1 x x2
2 y| 是无穷小量，所以 y2
1x x2
fx ( , y) 在 (x0, y0) 连续，有 fx ( , y) f x ( x0 , y0 ) 1
1 在 x x0 , y y0 时是无穷小量。
f y (x0, ) 在 y y0 关于 y 单元连续， 有
f y ( x0 , ) f y ( x0 , y0) 2
（3）
（ 2）
2 在 y y0 时是无穷小量。
z
连续，
z 关于 y 单元连续。
x
y
因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有
z f (x, y) f ( x0, y0 ) f ( x, y) f ( x0 , y) f (x0, y) f ( x0 , y0)
f x ( , y) x f y ( x0 , ) y
（1）
在 y, y0 之间， 在 x, x0 之间。
2 y 是无穷 y2
小量，即 1 x 2 y =o( x2 y2 )
2）设
z
连续，
z 关于 x 单元连续。
y
x
因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有
z f (x, y) f ( x0, y0 ) f ( x, y) f ( x, y0) f (x, y0 ) f ( x0 , y0)
f y (x, ) y fx( , y0) x
（ 3）
在 y, y0 之间， 在 x, x0 之间。
f y (x, ) 在 (x0, y0) 连续，有 f y (x, ) f y ( x0 , y0 ) 1
（ 4）
1 在 x x0 , y y0 时是无穷小量。
fx ( , y0 ) 在 x x0 关于 x 单元连续， 有