弹性力学报告

第二步，计算各杆单元的整体刚度矩阵：
k e T T k eT 。
其中
cos sin 0 T 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 ； 0 0 1
图 2 只在竖向均布荷载作用下结构弯矩图
7 -38798.80 (4) 8 -38798.80
(3) -80000.00 5 14133.56 (2) -160000.00 4 7632.71 (1) -240000.00 1 (9) (8)
-80000.00 (5)
14133.56 6
-160000.00 (6)
1 引言
土木工程是一门古老的学科。在早期，土木工程是通过工程实践，总结成功 的经验，尤其是吸取失败的教训发展起来的。从 17 世纪开始，以伽利略和牛顿 为先导的近代力学同土木工程实践结合起来，逐渐形成材料力学、结构力学、弹 性力学、岩体力学，作为土木工程的基础理论的学科。 然而，土木工程的一些客观情况过于复杂，难以对其进行直接的理论分析。 在很多情况下，土木工程的发展依靠的是工程实践。根据实践得到的结果，对实 际问题进行适当地简化，抽象出更具有普遍性的力学模型，进而形成土木工程的 各项理论，反过来指导工程实践。 所以，土木工程的理论大多只是对实际情况的近似表达，它与事实是有一定 差距的。不同理论之间，由于所做的前提假设不同，也存在一定的差别。为了提 高建筑物的可靠度与更好得满足工程要求， 分析各种理论之间的差别是很有必要 的。 本文分别用结构力学与弹性力学的方法求解框架结构， 分析它们计算结果的 不同，给出两种力学理论的区别，并提出在不同要求下对这两种理论的选择与使 用的一些建议。
浅析结构力学与弹性力学对于框架 结构计算结果的差异
学校： 班级： 成员：
南京工业大学 土木 1202 孙意斌 史可伟 郭光林 2014.12.23
指导老师： 时间：
摘
要
本文分别用结构力学方法与弹性力学方法计算平面二层单跨框架结构的内 力，并比较两种方法求得结果，总结出它们之间存在一定的差异。对不同跨数与 层数框架结构的误差进行对比，得出层数与跨数对框架相对误差的影响很小。对 两种方法求解得到的单跨三层平面框架的位移结果进行误差分析， 得出横向荷载 将增大线位移误差而减小角位移误差。 关键词：结构力学；弹性力学；框架结构；相对误差
-116228.87 8 -116228.87 ( 5) -146165.80
58742.48 6 -87423.33 -155312.87 ( 6)
(2) -45777.43 21394.23 -26480.43 19297.00 4
(9) 64008.39
84490.51 3 -70822.36 (7)
-3729.29 4 -210457.26 -144149.19 (1)
(9)
-3729.29 3
-269542.74 (7)
1
-210457.26
2
图 5 竖向与横向荷载共同作用下结构轴力图 从以上结果中看出，不论梁还是柱子都承受着较大的弯矩，尤其是顶层，由 于约束少，柱子顶端的弯矩值甚至高于梁的固端弯矩。在实际框架结构设计时， 要求充分考虑柱的偏心受压，并适当增加顶层连接的强度，以保证顶层结构的稳 定。在横向荷载的作用下，荷载作用一侧的弯矩有所减少，但无荷载作用的一侧 弯矩值大幅度提高，顶端连接处的弯矩高达 116.2kN*m。 值得注意的是，有横向荷载作用下，基础的弯矩值升高了 3 至 4 倍。所以， 横向荷载对地基的破坏作用极大，应给予充分的重视。另外荷载作用一侧与无荷 载作用一侧受力情况差别很大，所以为了提高材料的利用效率，应考虑当地的风
F e k e e FPe ；
第七步，根据杆端内力绘制内力图。 只在竖向均布荷载作用下，结构的内力图如下：
-94609.74 -94609.747 (4) 65390.26 -103878.27 ( 3)
-94609.74
8 -94609.74 -103878.27 ( 5)
-43292.83 5
10 11
16 18
136.7 164.4
3.2 框架模型的结构力学解答 在结构力学中，超静定结构的计算方法主要有力法与位移法，而对于多层钢 架的分析， 由于超静定结构次数较多， 用力法求解较为繁琐， 故一般采用位移法。 随着电子计算机技术的发展，由位移法衍生出的矩阵位移法得到了广泛应用，成
为结构力学求解方法中的主流。 采用矩阵位移法计算上述钢架模型： 第一步，将杆件离散化，列出各杆件的单元刚度矩阵：
(1)
-79649.43 1
116008.64 2
图 4 竖向与横向荷载共同作用下结构弯矩图
-74745.73 7 -43742.84 (4) 8 -43742.84
(3)
-85254.27 (5)
5 -144149.19 764.38 -74745.73 (2)
(8)
764.38 6
-175850.81 (6)
EA l 0 0 ke EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l ；
3 两种力学理论对框架结构模型的求解与误差分析
3.1 框架结构模型的建立 框架结构基本是由梁和柱以刚接或铰接连接而成，构成承重体系的结构。凭 借其空间分割灵活、自重轻、耗材少等优势，框架结构已成为目前建筑中采用最 广泛的结构。在结构分析上，由于主要承载构件为杆状构件，适用于结构力学的 理论体系，设计简单且已规范化，是广大设计人员所青睐的结构形式。 这里采用单跨三层平面框架结构作为基本框架结构模型。 结构跨间距为 8m， 层高 4m。每层作用有 20kN/m 的均布荷载，模拟楼面荷载，一侧的柱上作用有 6kN/m 的均布荷载，模拟风荷载。具体模型如下图所示：
60585.44
(8) 56121.73
60585.44 6 -43292.83 ( 6) -100588.85
( 2) -100588.85
-45220.73 4 55368.12 (1)
(9) 59411.15
55368.12 3 -45220.73 (7)
1
22909.36
22909.36 2
学、结构稳定理论、结构断裂、疲劳理论和杆系结构理论、薄壁结构理论和整体 结构理论等。其中，结构静力学是结构力学其他分支学科的基础，它主要研究工 程结构在静载荷作用下的弹塑性变形和应力状态，以及结构优化问题。 2.2 弹性力学简介 弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应 力、应变和位移，从而解决结构中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹 性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。 材料力学基本上只研究杆状构 件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆 件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹性力学的发展初期是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主 要成就是 R.胡克于 1678 年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称 为胡克定律。之后柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力 和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性 和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。19 世纪中 叶法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文， 为弹性力学的正确性提供了 有力的证据。在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了 各种关于能量的原理。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计 算方法，如著名的瑞利——里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推动 了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和平衡 规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结 论等，都可以从三大基本规律推导出来。求解一个弹性力学问题，就是设法确定 弹性体中各点的位移、应变和应力共 15 个函数。从理论上讲，只有 15 个函数全 部确定后，问题才算解决。但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的 几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。所以常常用实验和数学 相结合的方法，就可求解。 2.3 结构力学与弹性力学理论差异 两种力学理论都是以牛顿力学为基础推导出来的， 所以它们都符合力学的基 本原理，如惯性原理、平衡原理等。对实际问题不同方面的简化和不同的使用对 象，是造成两种理论之间差别的根本原因。 材料力学有三个基本假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设。将研 究对象被看作均匀、连续且具有各向同性的线性弹性物体。结构力学沿用材料力 学的假设。从研究对象上看，结构力学主要研究由杆状材料组成的各种结构（如 桁架、刚架等）形式的受力与变形。 弹性力学的前提是基于弹性变形的五个基本假定，即：连续性、完全弹性、 均匀性、各项同性以及位移和形变是微小的。弹性力学的研究对象除了杆件外， 还研究平面体、空间体等，它的研究对象更加广泛。 由于弹性力学解中严格考虑了静力学，几何学，物理学等条件，在弹性小变 形的问题中能得到较为精确的解答。而结构力学中在许多方面做了近似处理，平 衡条件和边界条件也不是严格满足。对于细长杆状构件组成的结构，结构力学解 答是足够精确的，而对于其他结构，结构力学解答存在较大的误差，必须用弹性 力学求解。
表 2 H 型钢截面参数表
型号 （高度×宽度） 400 ×300 500 ×300 H ×B 390 ×300 488 ×300 截面尺寸(mm) t
1
截面特性参数 截面面积 r 24 28 cm
2
理论重量 kg/m 107 129
惯性矩 cm Ix 38900 71400
4
t
2
Iy 7ຫໍສະໝຸດ Baidu10 8120
1 0 0 cos 0 sin 0 0
第三步，根据单元定位矢量 e 由 k e 计算整体刚度矩阵 K e ； 第四步，计算等效结点荷载：
P Fp ；
第五步，解举证位移法基本方程： K P ，求出结构中的实际荷载产生的 位移 ； 第六步，求单元在局部坐标系下的杆端内力：
7632.71 3
-240000.00 (7)
2
图 4 只在竖向均布荷载作用下结构轴力图 在竖向均布荷载与横向均布荷载同时作用下，结构的内力图如下：
-74194.69 -74194.69 7 (4) 64788.22 (3) -61393.49 -8616.83 5 52776.65 (8) 58297.59
图 1 平面框架结构模型示意图 该框架结构材料采用 Q235 钢，型钢柱截面定义为 H500×300×11×18，型 钢梁截面定义为 H400×300×10×16。查阅资料，得到材料的一些力学参数： 表 1 Q235 钢材力学性能参数
型号 Q235 弹性模量 E/GPa 200 泊松比 0.3 抗拉强度 σ/MPa 375
2 两种理论的简介
2.1 结构力学简介 结构力学是固体力学的一个分支，它主要研究工程结构受力和传力的规律， 以及如何进行结构优化的学科。结构力学研究的内容包括结构的组成规则，结构 在各种效应（外力，温度效应，施工误差及支座变形等）作用下的响应，包括内 力（轴力，剪力，弯矩，扭矩）的计算，位移（线位移，角位移）计算，以及结 构在动力荷载作用下的动力响应（自振周期，振型）的计算等。 就基本原理和方法而言， 结构力学是与理论力学、 材料力学同时发展起来的。 所以结构力学在发展的初期是与理论力学和材料力学融合在一起的。到 19 世纪 初，由于工业的发展，人们开始设计各种大规模的工程结构，对于这些结构的设 计，要作较精确的分析和计算。因此，工程结构的分析理论和分析方法开始独立 出来，结构力学开始成为一门独立的学科。之后随着图解法、单位载荷法、位移 互等定理、力法、位移法等理论的诞生，结构力学被不断完善，逐渐成为土木工 程的最主要学科之一。20 世纪中叶，电子计算机和有限元法的问世使得大型结 构的复杂计算成为可能，从而将结构力学的研究和应用水平提到了一个新的高 度。 一般对结构力学可根据其研究性质和对象的不同分为结构静力学、 结构动力