专题01 平方根及立方根(知识点串讲)(解析版)
专题01 平方根及立方根
知识框架
重难突破
一. 平方根
1.平方根
（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．
（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2. 算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：
①被开方数a是非负数；
②算术平方根本身是非负数．
即a≥0，a≥0．
备注：
例1．（2019·河南偃师?初二期末）9的算术平方根是( ) A ．3 B ．9
C ．±3
D ．±
9
【答案】A 【解析】∵32=9， ∴9的算术平方根是3． 故选A ．
练习1．（2019·
） A ．4 B ．±
4
C ．2
D ．±2
【答案】C 4， 4的算术平方根是2，
2， 故选C ．
练习2．
（2019·河南西华?初一期中）下列各式中，正确的是( ) A
3=- B
．3=-
C
3=±
D
3±
【答案】B 【解析】解：A
3= ，故本选项错误；
B 、
3=-，故本选项正确； C 3= ，故本选项错误；
D 3= ，故本选项错误； 故选B ．
例2．（2020·河南建安?初二期中）已知()2
x y+3-，则x+y= ▲ ． 【答案】1． 【解析】
非负数的性质，算术平方根，偶次方，解二元一次方程组．
【分析】根据算术平方根，偶次方的非负数的性质，由()2
x y+3-得
x y+3=0{2y=0--，解得x=1{y=2
-．∴x+y=﹣1+2=1．
练习1．（2019·郑州?河南省实验中学初二期中）已知a 、b 满足（a ﹣1）2，则a+b=_____． 【答案】﹣1
【解析】∵（a ﹣1）2， ∴a=1，b=﹣2， ∴a+b=﹣1， 故答案为﹣1．
练习2．（2018·河南新郑?初二期中）已知5a =7=，且a b a b +=+，则-a b 的值为（ ） A ．2或12 B ．2或12- C ．2-或12 D ．2-或12-
【答案】D
【解析】根据a =5，得a 5,b 7=±=±，因为a b a b +=+，则a 5,b 7=±=，则-a b =5-7=-2或-5-7=-12. 故选D.
例3．（2018·安徽初一期中）9的平方根是（ ） A ．3- B ．3 C ．3± D ．81
【答案】C
【解析】∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3 故选C
练习1．（2020· ） A ．9 B ．9或－9 C ．3 D ．3或－3
【答案】D
【解析】
3或－3 故选D ．
练习2．（2020·河南潢川?4=，则x =__． 【答案】±4
【解析， 则x=4或-4． 故答案为：±
4． 例4．（2020·开封市第五中学初一月考）若x 与2x －6是同一个正数m 的两个不同的平方根，则x ＝ ， m ＝ . 【答案】2，4
【解析】由题意得，x+（2x-6）=0， 解得：x=2， 故m=22=4． 故答案为：2，4．
练习1．（2019·河南偃师?初二期中）某正数的平方根为3a 和29
3
a -，则这个数为____________． 【答案】1
【解析】依题意得：3
329
0a a -=+，即a+2a-9=0， ∴a=3， ∴
9
3213
a a --== ∴这个数为1． 故答案为：1．
练习2．（2018·郑州市第二高级中学初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值. 【答案】13.
【解析】解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5， ∴2m+2=16，3m+n+1=25， 联立解得，m=7，n=3， ∴m+2n=7+2×
3=13．
=，1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果3x a 那么x叫做a的立方根．记作：．
2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
备注：①符号中的根指数“3”不能省略；
②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
例1．（2019·河南夏邑?初一期中）若一个数的平方根是±8，那么这个数的立方根是（）
A．2B．±4C．4D．±2
【答案】C
【解析】若一个数的平方根是±8，那么这个数是82=64，
=.
所以，这个数的立方根是3644
故选：C
练习1．（2019·河南桐柏?初二期中）若，则m的立方根是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：m的立方根是，虽然强调，但立方根与m本身的符号一致.
故选A.
例2．（2019·河南唐河?初二期中）下列说法中，正确的是（）
A9B．64的立方根是±4
C．66D．25的算术平方根是5
【答案】D
【解析】A93，故错误；
B．64的立方根是4，故错误；
C．6的平方根是±6，故错误；
D．25的算术平方根是5，正确；
练习1．（2020·河南鹿邑?初一期中）给出下列说法：①﹣0.064的立方根是±0.4；②﹣9的平方根是±3；
；④0.01的立方根是0.00001，其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【答案】A
【解析】①﹣0.064的立方根是﹣0.4，故原说法错误； ②﹣9没有平方根，故原说法错误；
，故原说法正确；
④0.000001的立方根是0.01，故原说法错误， 其中正确的个数是1个， 故选：A ．
例3．（2019·河南川汇?初一期中）求下列各式中的x 的值： （1）()2
110x +-=； （2）
()3
291034
x ++=. 【答案】（1）x=0或x=-2；（2）5
x=2
- 【解析】解：（1）()2
110x +-=
()2
1=1+x
x 1=1+±
∴x=0或x=-2 （2）
()3
291034
x ++= ()3
291=34
+-x ()3
27
1=-8
+x 3x 1=2
+-
5x=2
-
练习1．（2019·河南柘城?初一期中）求下列各式中的x 的值： (1)(x ＋10)3＝－343； (2)36(x －3)2＝49． 【答案】（1）-17 ；（2）25
6x
或116
x ． 【解析】解：(1)∵(－7)3＝－343， ∴x ＋10＝－7， ∴x ＝－17． (2)∵36(x －3)2＝49，
∴2
49(3)36x -=
， ∵2749()636
±=，
∴7
36x -=±，
∴256x 或116
x ．
例4．（2020·河南嵩县?初二期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，c 的整数部分．
（1）求a ，b ，c 的值； （2）求3a-b+c 的平方根.
【答案】（1）a=5，b=2，c=3；（2）3a-b+c 的平方根是±4． 【解析】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4， ∴5a+2=27，3a+b-1=16， ∴a=5，b=2，
∵c 的整数部分， ∴c=3，
（2）由（1）可知a=5，b=2，c=3 ∴3a-b+c=16， 3a-b+c 的平方根是±4．
练习1．（2019·河南淅川?初二期中）已知某正数的两个平方根分别是m +4和2m ﹣16，n 的立方根是﹣2，求﹣n ﹣m 的算术平方根． 【答案】2
【解析】∵某正数的两个平方根分别是m +4和2m ﹣16， 可得：m +4+2m ﹣16＝0， 解得：m ＝4， ∵n 的立方根是﹣2， ∴n ＝﹣8，
把m ＝4，n ＝﹣8代入﹣n ﹣m ＝8﹣4＝4， 所以﹣n ﹣m 的算术平方根是2．
练习2．（2019·河南长葛?初一期中）观察下列计算过程，猜想立方根.
31=1 32=8 3
3=27 34=64 35=125 36=216 37=343 38=512 39=729
（1）小明是这样试求出19683的立方根的，先估计19683的立方根的个位数, 猜想它的个位数为 , 又由320<19000< 330，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是 . （2）请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
① = ； ；③= . 【答案】（1）7，2，27；（2）49，-72，0.81
【解析】解：（1）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27
（2）①估计117649的立方根的个位数为9，又由403＜117649＜503，
=49；
②估计373248的立方根的个位数为2，又由603＜373248＜703，
；
③估计0.531441的立方根的个位数为，又由0.83＜0.531441＜0.93，
=0.81
故答案为：（1）7，2，27；（2）① 49，②-72，③0.81．