(完整版)平方根与立方根知识点小结
平方根和立方根知识点总结及练习汇编
【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
平方根 算术平方根 立方根
平方根算术平方根立方根三说王峰一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数x的平方等于a（即），那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根），记作：，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为，例如16的算术平方根是，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①；②。
2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。
联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。
3. 立方根的定义与性质如果一个数x的立方等于a（即），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根），记作：。
立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
二、解题中常见的错误剖析例1. 求的平方根。
错解：的平方根是剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。
例2. 求的算术平方根。
错解：的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。
，而3的算术平方根为，故的算术平方根应为。
仿此你能给出的平方根的结果吗？三、典型例题的探索与解析例3. 已知：是算数平方根，是立方根，求的平方根。
分析：由算术平方根及立方根的意义可知联立<1><2>解方程组，得：代入已知条件得：所以故M＋N的平方根是±。
例4. 已知，求的算术平方根与立方根。
平方根和立方根知识点总结及练习
【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如错误！未找到引用源。
=5，错误！未找到引用源。
=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
数的开方知识点
平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“ ”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a ”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。
要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开平方。
（3）立方根的性质：A 正数有一个正立方根 B 负数有一个负立方根 C 零的立方根是零（4）立方根的表示：数a 的立方根我们用符号 来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。
注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = · （a≥0,b≥0）。
平方根和立方根知识点总结及练习
【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
初一数学重要知识总结平方根和立方根的计算规则整理
初一数学重要知识总结平方根和立方根的计算规则整理初一数学重要知识总结-平方根和立方根的计算规则整理在初一数学学习过程中，平方根和立方根是非常重要的概念和计算方法。
它们在解方程、计算几何图形的面积和体积等许多数学问题中都扮演着重要角色。
本文将对平方根和立方根的计算规则进行整理，帮助同学们更好地掌握这些知识。
一、平方根的计算规则平方根是一个数的平方等于这个数的算术平方根，表示为√a。
在计算平方根时，有以下几个基本规则：1. 平方根的基本概念对于非负实数a和非负实数x，如果x²=a，则x称为a的平方根。
2. 平方根的性质- 非负实数a的平方根是非负的。
- 0的平方根是0。
- 正数的平方根有两个，一个正数和一个负数，但通常我们只考虑正数的平方根。
3. 平方根的计算方法平方根的计算可以通过手算或使用计算器进行。
对于手算，可以采用试探的方法，逐步逼近平方根的值。
4. 常见整数的平方根下表是一些常见整数的平方根值。
通过记忆这些值可以在计算中更方便地使用。
整数平方根1 12 1.4143 1.7324 25 2.236二、立方根的计算规则立方根是一个数的立方等于这个数的算术立方根，表示为³√a。
在计算立方根时，有以下几个基本规则：1. 立方根的基本概念对于实数a和实数x，如果x³=a，则x称为a的立方根。
2. 立方根的性质- 实数a的立方根可能是正数、负数或零。
- 零的立方根是0。
- 完全立方数（即一个数的立方）的立方根是一个整数。
3. 立方根的计算方法立方根的计算也可以通过手算或使用计算器进行。
同样，对于手算，可以采用试探的方法或使用近似解法来计算。
4. 常见整数的立方根下表是一些常见整数的立方根值。
整数立方根1 12 1.2593 1.4424 1.5875 1.710三、平方根和立方根的应用举例1. 计算几何图形的边长在计算几何图形的边长时，如果面积或体积已知，可以通过平方根和立方根来计算边长。
平方根和立方根知识点总结及练习汇编
【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
平方根与立方根知识点
平方根与立方根知识点平方根1.概念：（1）定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方;（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数B零有一个平方根,它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根,用符号2a表示, a叫做被开方数,2叫做根指数,正数a的负的平方根用符号“﹣2a”表示,a的平方根合起来记作“±2a , 其中“2”读作“二次根号”“2a”读作“二次根号下a ”．当根指数为2时,通常将这个2省略不写,所以正数a的平方根也可记作“±2a”读作“正、负根号a”（5）算术平方根：注：1算术平方根是非负数,具有非负数的性质；2若两数的平方根相等或互为相反数时,这两数相等；反之,若两非负数相等时,它们的平方根相等或互为相反数；3平方根等于本身的数只有0,算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a ,a,－a,它们的意义分别是：非负数a的平方根,非负数a的算术平方根,非负数a的负平方根;要特别注意：a ≠±a;3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数,即a≥0. ②算术平方根a本身是非负数,即a≥0;4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,a 叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方;（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号3a来表示,读作"三次根号a",其中a叫做被开方数,3叫做根指数,3且不能省略,否则与平方根混淆;注：1若两数的立方根相等,则这两数相等；反之,若两数相等,则这两数的立方根相等；2立方根等于本身的数有0、1、-1. 相关概念某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即a≥0,b≥0;非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即a≥0,b>0;开方运算我们知道,当a≥0时,│a│=a；当a<0时,│a│=a.综上所述,有。
七年级数学下册平方根、立方根总结
七年级数学下册平方根、立方根总结--------------------------------------------------------------------------作者: _____________简易平方根的运算1(1)利用平方根的乘法运算法则：若a 、b 为正数，则 a ⨯b =ab 去计算两个正平方根的乘积。
(2)利用平方根的除法运算法则：ba =b a 或a ÷b =b a ÷ (a b ,0≥>0)去计算两个正平方根相除的商。
2例1.化简下列各数：(1)(5)2 (2)25 (3)2)5(- (4)(5-)2解：【答：(1) 5 (2) 5 (3) 5 (4)-5】 例2.化简下列各数： (1)8 (2)24 (3)75 (4)84 (5)200 解：【答：(1) 22 (2) 26 (3) 53 (4) 221 (5)102】 例3.化简下列各数： (1)95 (2)32 (3)124 (4)185 (5)322 解： 【答：(1) 35 (2) 36 (3) 33 (4) 610 (5) 362】 例4.求下列各式的积并化简： (1)133⨯ (2)326⨯ (3)287⨯ (4)3152⨯ 解： 【答：(1) 39 (2) 2 (3) 27 (4) 1530】例5.求下列各式的商并化简： (1)2332÷ (2)281÷ (3)3216÷ (4)5752÷ 解： 【答：(1) 32 (2) 41 (3) 26 (4) 714】3 1.化简下列各数： (1)(-3)2 (2)2)3(- (3)(3)22.化简下列各数： (1)12 (2)32 (3)54 (4)90 (5)3633.化简下列各数： (1)163 (2)59 (3)125 (4)203 (5)5334.求下列各式的积并化简： (1)205⨯ (2)1437⨯ (3)9320⨯ (4)335611⨯5.求下列各式的商并化简： (1)3127÷ (2)3151÷ (3)528÷ (4)65320÷4分 母 有 理 化如：计算：23÷时，先写成23，再把分子，分母都乘以2，化去分母中的根号，得：26222323=⋅⋅=，这样就完成了除法运算。
数的开方(平方根与立方根)
一、知识点归纳:1、平方根(1) 平方根的意义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根。
a 的平方根记作：±20或±丿5。
求一个数a 的平方根的运算叫做开平方 . (2) 平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数② 0有一个平方根，它是 0本身③负数没有平方根。
(3) 平方和开平方互为逆运算；2、算术平方根(1)算术平方根的意义：非负数 a 的正的平方根。
一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ j a ”读作：“根号a ”其中a 叫做被开方数 (2) 算术平方根的性质①正数a 的算术平方根是一个正数；② 0的算术平方根是0;③负数没有算术平方根。
3、立方根(1)立方根的意义如果一个数的立方等于 a ,那么这个数叫做 a 的立方根(也叫三次方根)。
如果x3=a ,则x 叫做a 的立方根。
记作：x=需 ,读作三次根号a ”求一个数的立方根的运算叫做开立方。
(2)立方根的性质">0②一个负数有一个负的立方根， 即若a<0,则V^0③0的立方根是0,即若a=0，则3垢=0 。
重要性质：旷弓=-V a (3)立方与开立方互为逆运算。
二、典型例题： 例1、x 为何值时，寸X +1(5)X —1例2、已知2a-1的算术平方根是 3，3a+b-1的平方根是 ±4，求a+2b 的平方根。
例3、若X 、y 都是实数，且y = J x -3 + J 3-X +2，求x+3y 的平方根。
例4、如果M =aP a +b +3是a+b+3的算术平方根, N =2噪a + 2b 是a+2b 的立方根，求M — N 的立方根。
第12章数的开方重要性质：J a 2=a ,(需 $ = a(a >0)下列代数式有意义。
(1W 3 + 2x(2) J x -2 + J 2—X(3) J x 2+31(4) -^= 如一1①一个正数有一个正的立方根， 即若a>0,则 (6) (X-1)2例5、已知a,b,c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简V a 2- a -b + c-a + J (b -C)2三、课堂练习:1、填空：(10)某种洗衣机的包装箱是长方形，其高为1.2m ,体积为1.2 m 3,底面是正方形，则该包装箱的底面边长m.(11)已知△ ABC 的三边长分别为a 、b 、c,,且满足7rW+|b -4+(c -3)2=0,则此△ ABC 的周长= (12 )请你观察、思考下列计算过程：因为112=121，所以 J121=11，同样，因为111^12321 ,所以 J12321 =111,由此猜想 J12345678987654321 =2、选择: (1) (2) 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是( -1 D 、1, -1 或 0 () A 、 1 B 、 0 C 、 下列各式中无意义的是A 、 —J 3B J-32).±J(-3丫(3) A下列说法正确的是( 、4的平方根是2、-16 的平方根是C 、实数a 的平方根是 土 J a 、实数a 的立方根是V a (4)有理数中，算术平方根最小的是)(1) 0.25的平方根是9 2的算术平方根是J 16 的平方根是 - J 2的相反数是,73的倒数是J 3 -1的绝对值是(16=±层，V (」)2(4)时，有意义；若 有意义，则x 时，j3-m 有意义；当m时，3治-3有意义(5)j 81的平方根是 ，74的算术平方根是邸64的平方根是，764的立方根若一个正数的平方根是 2a -1和-a + 2，贝U a =，这个正数是(7) 如果有-是m 的一个平方根，那么m 的算术平方根是 (8) 计算：口 +伙-1)2 + J (-1)2 =(9)已知 j 2a -1 +(b +3)2 =0,则 #竽=；(a+2)2+ |b — 1|+ J 3— C = 0,贝y a + b + c =、0.1A 、1B 、0 C（5）下列说法中，正确的是（ D 、不存在）•A 、27的立方根是3,记作J27=3B 、-25的算术平方根是5C 、a 的三次立方根是 土蚯D 、正数a 的算术平方根是 j a(6) V a 的值是（ ）• （A ） 是正数 (B) 是负数 （C ）是零 以上都可能(7) 若 X 2 =(-0.7 丫，则 X = ( )• (8) (9) (A) -0.7 ( B) ±).7(C ) 0.7 ( D ) 0.49下列等式：① ② y( - 2 ) = -2，③ J( - 2 ) = 2, ⑥-44 = —2;正确的有（ )个. (A) 4 ( B) 3 ( C) 2 ( D) 1 设 x 、y 为实数，且 y =4+J 5-X + J x-5 , 则|x —y 的值是（ (10) (11) (12) (13)下列说法中正确的是（ A 、4是8的算术平方根 下列各式中错误的是（ 下列计算中正确的是（ A 、J T8=J 32X 2=3 运 ).B 、16的平方根是 4C 、).B 、Q 0.36 = 0.6).④审= -V 8 ⑤ 716 = ±4, V 6是6的平方根D 、 -J1.44 = —1.2 D 、 B 、、/皿一心4-3"乎击不改变根式的大小把 （a —q丄 根号外的因式移入根号内，正确的是（(A) J 1-a (B W a —1 (C) -J a —1 -a 没有平方根J1.44 =±1.2莎=2 D、J 4^ =2a(D) - J 1-a).3、求下列各数的平方根和算术平方根: （1）空 4 (-4f(3) (- 2卜(一8 )•4、计算:6、已知实数 a,b,c 满足 一 a-b + J 2b +c +(c -7、a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简： J (a +1)2 + J (b -1)2 - J (a-b)2.abI _ !■ _. I J. ■ 1 •-2-1 0 1 2+------------ + ab (a + 1)(b +1) (a + 2)(b+2)+ 中(a +2004)( b + 2004)的值.(4)7001 5、解方程: (1) 4x 2=9 2(2) (X +1) =1⑶(5-3x(121-——=0 . 493(4)(x+3) =27(5) (2x-1)' =-8(6) 64(x-1)3+125=08、已知 2x-1的平方根是± 3, 3x+y-1的平方根是± 4，求x+2y 的平方根。
初中数学点知识归纳平方根和立方根的概念和计算
初中数学点知识归纳平方根和立方根的概念和计算初中数学点知识归纳：平方根和立方根的概念和计算数学是一门广泛应用于生活和实际问题解决的学科，它能够培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
在初中数学中，平方根和立方根是一些基础概念，本文将对其进行详细的介绍和计算。
一、平方根的概念和计算平方根是一个数学术语，表示一个数的平方为该数。
在数学符号中，平方根通常以√表示。
1. 平方根的概念设a是一个非负数，数x是非负数且x^2 = a，那么x就是数a的平方根。
平方根有正负两个值，分别表示正数和负数。
2. 平方根的计算平方根的计算主要有两种方法：试探法和公式法。
（1）试探法：试探法是通过猜测某个数的平方根，然后进行验证的方法。
例如，求16的平方根，我们可以猜测它的平方根为4。
验证结果为4的平方等于16，所以4是16的平方根。
（2）公式法：公式法是通过数学公式来计算平方根。
最常用的公式是牛顿切线法和二分法。
其中，牛顿切线法适用于任何正数的平方根计算。
牛顿切线法的计算步骤如下：步骤1：假设一个初始值x0；步骤2：计算初始值对应的函数值f(x0)和导数f'(x0)；步骤3：由初始值和函数值计算切线方程；步骤4：求得切线与x轴的交点x1；步骤5：将x1代入切线方程，得到新的函数值f(x1)；步骤6：重复步骤4和步骤5，直到获得的函数值足够接近0。
二、立方根的概念和计算立方根是一个数学术语，表示一个数的立方等于该数。
在数学符号中，立方根通常以³√表示。
1. 立方根的概念设a是一个实数，数x是实数且x^3 = a，那么x就是数a的立方根。
立方根也有正负两个值，分别表示正数和负数。
2. 立方根的计算立方根的计算方法与平方根类似，同样有试探法和公式法。
（1）试探法：试探法是通过猜测某个数的立方根，并进行验证的方法。
例如，求27的立方根，我们可以猜测它的立方根为3。
验证结果为3的立方等于27，所以3是27的立方根。
数的开方知识点
平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。
要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，a 叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开平方。
（3）立方根的性质：A 正数有一个正立方根B 负数有一个负立方根C 零的立方根是零 （4）立方根的表示：数a 的立方根我们用符号 来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。
注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b ≥0）。
七年级数学下册平方根、立方根总结
简易平方根的运算1(1)利用平方根的乘法运算法则：若a 、b 为正数，则 a ⨯b =ab 去计算两个正平方根的乘积。
(2)利用平方根的除法运算法则：ba =b a 或a ÷b =b a ÷ (a b ,0≥>0) 去计算两个正平方根相除的商。
2例1.化简下列各数： (1)(5)2 (2)25 (3)2)5(- (4)(5-)2解：【答：(1) 5 (2) 5 (3) 5 (4)-5】 例2.化简下列各数： (1)8 (2)24 (3)75 (4)84 (5)200解：【答：(1) 22 (2) 26 (3) 53 (4) 221 (5)102】 例3.化简下列各数： (1)95 (2)32 (3)124 (4)185 (5)322 解： 【答：(1)35 (2) 36 (3) 33 (4) 610 (5) 362】 例4.求下列各式的积并化简： (1)133⨯ (2)326⨯ (3)287⨯ (4)3152⨯ 解： 【答：(1) 39 (2) 2 (3) 27 (4) 1530】例5.求下列各式的商并化简： (1)2332÷ (2)281÷ (3)3216÷ (4)5752÷ 解： 【答：(1) 32 (2) 41 (3) 26 (4) 714】3 1.化简下列各数：(1)(-3)2 (2)2)3(- (3)(3)22.化简下列各数： (1)12 (2)32 (3)54 (4)90 (5)3633.化简下列各数： (1)163 (2)59 (3)125 (4)203 (5)5334.求下列各式的积并化简： (1)205⨯ (2)1437⨯ (3)9320⨯ (4)335611⨯5.求下列各式的商并化简：(1)3127÷ (2)3151÷ (3)528÷ (4)65320÷41015 (5) 5103 4.(1)10 (2) 26 (3) 215 (4) 610 5.(1) 9 (2) 155 (3) 25 (4) 22 分 母 有 理 化如：计算：23÷时，先写成23，再把分子，分母都乘以2，化去分母中的根号，得：26222323=⋅⋅=，这样就完成了除法运算。
(完整版)平方根和立方根经典讲义
内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根 实数了解实数的概念会进行简单的实数运算实数可按下图进行详细分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a=，则x就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a”．算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为a ；有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.知识点睛中考要求平方根和立方根一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥0a .平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．通过验算我们可以知道：⑴ 当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵ 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2()a a =；②不管a 2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<1a 2a 之间，即：120a a a ≤<范围．立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略. 前面学习的a 其实省略了根指数“2”2a a 3a “三次根号a ”2a “二次根号a ”a “根号a ”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 33a a =，33()a a =⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<， 31a 32a 33312a a a < 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．重、难点难点：平方根的性质【例1】 判断下列各题，并说明理由819±． ( ) a ( ) ⑶2a 的算术平方根是a ． ( ) ⑷ 2()5a -，则5a =-. ( ) 93=±. ( ) ⑹ 6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺ 2(6)-的平方根是6-．( )⑻ 若236x =，则366x =±=±. ( ) ⑼ 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) ⑽ 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾ 算术平方根一定是正数． ( ) ⑿ 2a -没有算术平方根． ( ) ⒀ 64的立方根是4±． ( )⒁ 1-是16-的立方根． ( )⒂ 33x x ． ( ) ⒃ 互为相反数的两个数的立方根互为相反数． ( ) ⒄ 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( )【例2】 ⑴ 若22(2)a =-，则a = ；若22()(3)x -=-，则x = .⑵ 22x +，则(25)x +的平方根是 ；若25x =，则x = .⑶ 21a =-，则a ；若20a a =，则a . ⑷ 当0m <，2m 的算术平方根是 .⑸ 2()a b -算术平方根是a b -，则a b .⑹ 若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 .⑺ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .例题精讲⑴21(51)30x --=； ⑵3(100.2)0.027x -=-3312573511164168---33321600010.125-【例4】 已知某正数的两个平方根是35a -与1a +，求这个正数．【例5】 已知3(2)27a b +=-235a b -=，求21(3)n a b ++的值(n 为正整数).【例6】 求22221995199519961996+⋅+的平方根.【例7】 (人大附单元测试)已知a 为实数，且满足200201a a a --=，求2200a -的值.【练习1】若22(3)x =-，33(2)y =-，求x y +所有可能值．【练习2】一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，求这个数．【练习3】(101数学实验班单元练习)已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．【练习4】(2007年成都)22(5)0a b -+=，那么a b +的值为 .【练习5】22111a ab -+-+=，求a ，b 的值.课堂作业【练习6】若a 、b 为实数，且|1|20a ab --，求1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993)ab a b a b a b +++++++++的值.1． ⑴ (安顺市中考题)16的平方根是 ；2( 2.5)-的平方根是 ；2(2)-的平方根是 .⑵ (威海中考题38的相反数是 ；64的立方根是 .⑶ 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根 等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 . ⑷ (江西省中考题)20n n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 ⑸ (上海市中考题)12x -=的根是 . 31.815848 1.2231815848- _____. 2． 若一正数的平方根是36a +与29a +，求这个正数．3． 已知x y +的负的平方根是3-，x y -的立方根是3，求25x y -的平方根. 4． 243a b x a -+=+3a +的算术平方根，323b a y b -+=-3b -的立方根，求y x -的立方根.5．已知：|1|2340a b a b -+--．求：24a b +的立方根． 家庭作业。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
即如果 x²＝ a，那么 x 叫做 a 的平方根。
例如，因为 2²＝ 4，（－2）²＝ 4，所以 4 的平方根是 2 和－2。
2、表示方法一个正数 a 的平方根记作“±√a”，读作“正负根号a”，其中“√”叫做二次根号，a 叫做被开方数。
例如，9 的平方根记作±√9 ＝ ±3。
3、性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 25 的平方根是±5，5 和－5 互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
因为任何数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
例如，因为（±8）²＝ 64，所以 64 的平方根是±8，即±√64 ＝ ±8，对 64 开平方得到±8。
5、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“√a”。
例如，9 的算术平方根是 3，记作√9 ＝ 3。
0 的算术平方根是 0。
6、平方根的估值对于一些非完全平方数的平方根，可以通过估算来确定其大致范围。
例如，估算√11 的值。
因为 9 ＜ 11 ＜ 16，所以 3 ＜√11 ＜ 4。
又因为 11 更接近 9，所以√11 更接近 3，比如 33 左右。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即如果 x³＝ a，那么 x 叫做 a 的立方根。
例如，因为 2³＝ 8，所以 8 的立方根是 2。
2、表示方法数 a 的立方根记作“³√a”，读作“三次根号a”。
例如，27 的立方根记作³√27 ＝ 3。
3、性质（1）正数的立方根是正数。
(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.23(2)0y z -++=，求xyz 的值。
平方根与立方根及实数知识点总结
“平方根”与“立方根”知识点小结例 2求以下各式的值一、知识重点 （ 1）81 ；（ 2） 16 ；（3）9； （ 4） (4)2 .1、平方根 ：25⑴、定义：假如 x 2=a ，则 x 叫做 a 的平方根，记作“a ”1.44 ，（ 6）36 ，（7）2525) 2（ a 称为被开方数） 。
（ 5） （ 8） (49⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是 0；负数没有平方根。
例 3、求以下各数的立方根：⑶、算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平⑴ 343；⑵10；⑶2方根，记作“ a ”。
272、立方根 ：二、巧用被开方数的非负性求值.⑴、定义：假如 x 3=a ，则 x 叫做 a 的立方根， 记作“ 3 a ” 大家知道，当 a ≥ 0 时， a 的平方根是± a ，即 a 是（ a 称为被开方数） 。
非负数 .⑵、性质：正数有一个正的立方根； 0 的立方根是0；负例 4、若 2 xx2 y 6, x的立方根 .求 y 数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方） ：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方） 。
二、规律总结：1、平方根是其自己的数是0；算术平方根是其自己的数是 0 和 1；立方根是其自己的数是 0 和± 1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，此中正的那个是算术平方根；任何一个数都有独一一个立方根，这个立方根的符号与原数同样。
3、a 自己为非负数，即 a ≥ 0； a 存心义的条件是 a ≥ 0。
4、公式：⑴ ( a )2=a （ a ≥ 0）；⑵ 3 a =3a （ a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于 0，则每 一个非负数都为 0（此性质应用很广，务必掌握） 。
例 1 求以下各数的平方根和算术平方根（ 1） 64 ；（ 2） ( 3) 2； （ 3） 115； ⑷1 49( 3)2练习：已知 y1 2x2x 1 2, 求 x y 的值 .三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值 .我们知道，当 a ≥ 0 时， a 的平方根是±a ，而 (a) ( a ) 0.例 5、已知：一个正数的平方根是2a-1 与 2-a ，求 a 的平方的相反数的立方根.练习：若 2a3 和 a 12 是数 m 的平方根，求 m 的值 .四、巧解方程例 6、解方程（ 1）（ x+1）2=36（2） 27(x+1) 3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.(3) 15的整数部分为a,小数部分为 b,则 a=____, b=____我们已经知道 a 0 ,即a=0时其值最小,换句话(4)实数包含 ____________ 或 __________________；34 ，(5)以下各数： 3 5 ，，， 0，，说 a 的最小值是零.例 4、已知： y= a 2 3(b 1) ,当a、b取不一样的值0.121121112L ， 3 ，22．此中无理数有（）个7时，y 也有不一样的值a七、实数大小比较的方法. 当 y 最小时 , 求b的非算术平方根 .比较3和一、平方法 3 的大小2练习①已知x 3 y 3 (z 2)20 ，求xyz的值。
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“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根：
⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。
2、立方根：
⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
（1）；（2）； （3）； ⑷ 642)3(-49151
21(3)-例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-49
25±2)25(-例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227
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二、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.
a 例4、若求y x 的立方根.
,622=----y x x 练习：已知求的值.
,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .
0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.
练习：若和是数的平方根，求的值.
32+a 12-a m m 四、巧解方程
例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.
0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。
23(2)0z -++=②已知互为相反数，求a ，b 的值。
(3)的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____
15(4)实数包括____________或__________________；
(5)下列各数：，，，0，，，，．其中无理数有（ ）个3π0.28 3.141590.121121112 227
④和－2.45。
7-。