【精品】浙江大学9906年研究生高等代数试题

浙江大学1999年研究生高等代数试题

一．n a a a ,,,21 是n 个不相同的整数，证明1)())(()(21+---=n a x a x a x x f 在有理数域上可约的充分必要条件是)(x f 可表示为一个整数多项式的平方

二．设??????

? ??=n a a a 21α，且0=ααT ，求(1)T n E αα-(2)1)(--T n E αα （其中n E 为n 阶单位阵，的转置为ααT ）

三．矩阵n m A ?是行满秩)(m A =即秩，证明：

(1）存在可逆阵Q ，使得Q E A m )0,(=

（2)存在矩阵m n B ?,使得m E AB =

四．设n 阶方阵A 满足A A =2，n ααα,,,21 是n P 中n 个线形无关的列向量，设2V 是由n A A A ααα,,,21 生成的子空间，1V 是0=AX 的解空间,证明：21V V P n ⊕=（21V V ⊕表示1V 与2V 的直和)

五．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则存在????

? ??=n D S λλ 1及,使得T T SS B SDS A ==,

六．设n 阶矩阵)(ij a A =，满足下列条件：（1)0≤ij a ≤1,j i ,?(2)121=+++in i i a a a (i=1，2， ，n ）

求证：（1)A 的每一个特征值λ,都有1≤λ（2）10=λ为A 的一个特征??

????????????? ??=?是实数i n n x x x |1 ，阶正定阵是n A ，????? ??=n x x 1α，n

n y y ?∈????

? ??= 1β，求证：（1）))(()(2ββααβαA A A T T T ≤等号成立当且仅当βα与线形相关时成立

（2）若是正定矩阵，则A ))(()(2ββααβαA A A T T T ≤也成立

八（1）设B A ,分别为复数矩阵域上的阶方阵阶和l k ，并且B A ,没有公共的特征值,求证XB AX =只有空解（这里k k ij x X ?=)(）

（2）在n n ??中，变换n n A XA AX X ??∈+A ,: ，A 为一个固定的矩阵，且A 的特征值不为（-A ）的

特征值，求证：A 为一个线形变换。

二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题

一、(20分)()f x 是数域P 上的不可约多项式

（1)()[]g x P x ∈，且与()f x 有一个公共复根，证明()|()f x g x ;

（2）若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根,证明1

b 也是()f x 的根。

二、（10分）计算行列式

2

100001

2100

00001210

00012n D =

. 三、（20分） A 是正定阵，C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P 使得11,P AP P CP --同时为对角形；

A 是正定阵,

B 是实矩阵，而AB 是实对称的,证明：AB 正定的充要条件是B 的特征值全大于0.

四、（20分)设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值,线性变换B 与A 可交换的充要条件是B 是21

,,,,n E A A A -的线性组合，其中E 为恒等变换。

五、（10分）证明:n 阶幂零指数为1n -的矩阵都相似.

（若10n A -=,20n A -≠而称A 的幂零指数为1n -）

六、（20分)设,A B 是n 维欧氏空间V 的线性变换。对任意,V αβ∈，都有((),)(,())A B αβαβ=。证明：A 的核等于B 的值域的正交补。

2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答

一、()f x 是数域P 上的不可约多项式

(1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，证明：()|()f x g x 。

(2)若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根,证明：1

b 也是()f x 的根。

Proof ：(1)()f x 是数域P 上的不可约多项式,故对于P 上任一多项式()g x 只有以下两种情形：

01()|()f x g x ，02

((),())1f x g x =

下证不可能是情形二。（反证法）若不然为情形二,就是((),())1f x g x =则 (),()[].()()()()1

(*)u x v x P x s t

u x f x v x g x ?∈+=由已知条件，f 与g 有一公共复根（设为α),则()()0f g αα==，将α代入(*)中得

到10=