典型例题与习题1

例3.如下近似值的绝对误差限均为0.005,问各 近似值有几位有效数值
x1=1.38, x2=-0.0312, x3=0.00086。
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例4.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
63 7.937
求 x1 8 63 使具有4位有效数。
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
4 3 V R 3

dV 4R 2dR

e(V ) 4R 2 e( R)
相对误差传播规律
e r (V ) 3e r ( R)
故当球体V 的相对误差限为 1% 时，测量球半径R 的相对误差限最大为0.33%。
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例9. 利用级数

可计算出无理数 的近似值。由于交错级数的部分 和数列Sn在其极限值上下摆动, 试分析为了得到级数 的三位有效数字近似值应取多少项求和。
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
计算出的x1 具有两位有效数 1 1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937) 9/36
3
5
7
arctan( x ) 14/36
e 1 0
i
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例10.在计算机上对调和级数逐项求和计算
1 Sn k 1 k
当 n 很大时，Sn 将不随n 的增加而增加。试 分析原因。
n
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例11. 证明方程1-x-sinx=0在区间[0,1]上有 一根, 使用二分法求误差不大于0.5*10-4的 根需要二分多少次？ 提示: f(0)=1, f(1)=-sin1<0。且f′(x)=-1cosx在区间(0,1]严格单调递减。
提示 : 因为 ( x )连续, 由局部保号性知存在一个邻域
有| ( x )| L<1,且有 有| ( x )| L<1,且有
| ( x ) x | | ( x ) ( x )| L|x x |<
* * *
对于x [ x* , x* ]有x* ( x ) x*
1 0 1 4 10 n 1 2 2
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例12. 构造求ex+10x-2=0根的迭代法。 提示:
(2 e ) ( x) 10
x
e ( x ) 10
故迭代法算法一阶收敛。
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x
例13. 应用牛顿迭代法于方程 x3 – a = 0,
导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。
p( x) 1 / f ( x)
f ( x ) q( x ) 2[ f ( x )]3
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Ex2. 若 x*是f(x)=0的m重根,试证明修正的牛顿 1/m或 [ f ( x )] f ( xn ) 迭代法
x n 1 x n m f ( xn )
f(x)/f′(x)单根
x n 1 2 x n 1 2 ( xn 2)
2

( xn 2)2
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牛顿迭代法的收敛域问题:
用牛顿迭代法求解方程 zd – 1 = 0的复根。例如d=3 时, 方程在复平面上三个根分别是 1 3 1 3 z3 i z2 i z1 = 1 2 2 2 2 选择中心位于坐标原点，边长 为2的正方形内的任意点作初始 值，进行迭代，把收敛到三个 根的初值分为三类，并分别标 上不同颜色(例如红、绿和蓝)。 对充分多的初始点进行实验， 绘出牛顿迭代法对该方程的收 敛域彩色图。
1 | x k 1 7 | 101 2 n 2
Ex1：对 C 是否都有这 一性质? 10/36
例6. 序列{ yn }满足递推关系 yn = 10yn-1 – 1 (n = 1,2,· · · · · ) 若取 y0=21/2 ≈1.41(三位有效数字)。递推计算 y10 时误差有多大？
2k
1 f ( x) a 0 x
1 axk (1 ax0 )
所以,当| 1 – a x0| < 1 时, 迭代公式收敛。
1 2k x k [1 (1 ax0 ) ] a
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例15. 证明对于C>0,迭代格式
x n 1
*
xn ( x 3C ) 3x C
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30/36
31/36
迭代法思想:
| ( x) | 1
收敛性
( x*) ( x*)
( r 1) ( x*) 0
( r ) ( x*) 0
收敛速度
x0 x1 ( x0 )
n
xn ( xn1 )
*
lim ( xn ) x
5/36 Iterate: To say or do again or again and again 18:11
《数值分析》典型例题
一、二章内容提要
典型例题分析
I
例题与练习题 实验题介绍
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化大为小 化繁为简 化难为易
收敛性 稳定性 复杂度(时间与空间)等
算法的构造与分析
核心的概念
误差
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18:11
有效数字概念
若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个 单位,该位到 x 的第一位非零数字一共有 n 位,则称近似值 x 有 n 位有效数字。
n位有效数字
x wk.baidu.com ***
从左向右看第 一个非零数 18:11
*** .**
***
误差限不超过该 3/36 位的半个单位
如果一个规格化浮点数
x 0.a1a2 an 10
其绝对误差满足:

m
1 mn | e( x ) | x x 10 2 则称近似数x具有n位有效数字。
如果x具有n位有效数字, 则相对误差满足: 5 n er ( x ) 10 a1 4/36
故立方根迭代算法二阶收敛
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例14. 设a 为正实数,试建立求1/a 的牛顿迭代公 式,要求在迭代公式中不含有除法运算,并考虑 迭代公式的收敛。 解:建立方程
利用牛顿迭代法，得 xn+1 = xn(2 – a xn)，( n = 0，1，2 ……) 整理，得 1 – a xn+1 = (1 – a xn)2
例1.经过四舍五入得出x1=6.1025和x2=80.100, 试问它们分别具有几位有效数字?
解：
| x x* | 10
* 1 1 2
4
| x x* | 10
* 2 1 2
3
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例2.已知近似数x有两位有效数字,试求其相对 误差限。
解：| er(x)|<5*10-2
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26/36
18:11
例19.已知方程x3-x2-1=0在x0=1.5附近有根, 试判 断下列迭代格式的收敛性。
2 1) xn1 1 1 / x 2 ; 2) xn1 1 / xn 1; 3)xn1 3 1 xn 。
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例20.证明由迭代格式xn+1=xn/2+1/xn产生的迭代 序列{xn},对任意的x0>0, 均收敛于21/2。
思考: 这个计算过程稳定吗？
例7. 设 y0=28, 按递推公式 yn = yn-1 – (783)1/2/100 (n = 1,2,· · · · · ) 计算到y100。若取(783)1/2 ≈27.982(5位有效数 11/36 字), 试问计算 y100 将有多大的误差？
例8.设计算球体V允许其相对误差限为 1%,问测量 球半径R 的相对误差限最大为多少? 解：由球体计算公式分析误差传播规律
1 1 1 1 4 3 5 7
解: 由部分和
1 | S n | 4 2n 1

S n ( 1)
k 1
n
k 1
只需
1 1 3 10 2n 1 2
1 2k 1
n > 1000时, Sn有三位有效数。
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d [arctan( x )] 1 2 dx 1 x
例5. 采用迭代法计算 7 , 取x0 = 7
xk 1 1 7 ( xk ) 2 xk
(k = 0，1，2，……)
若xk具有n位有效数字,求证xk+1具有2n位有效数字。
xk 1 1 1 ( xk 7 / xk ) ( xk 7 / xk )2 7 7 2 2
1 1 2 | xk 1 7 | ( xk 7 ) | x k 7 |2 2 xk 2 7 1 1 1 2 | xk 1 7 | | xk 7 | 102 2 n 2 7 2 7 4
( x ) p( x ) f ( x ) p( x ) f ( x ) p( x ) f ( x ) p( x ) f ( x )
( x* ) 2 p( x* ) f ( x* ) p( x* ) f ( x* ) 2q( x* )[ f ( x * )]2 0
q( x ) f 2 ( x ) 2q( x ) f ( x ) f ( x ) 2q( x ) f ( x ) f ( x ) 2q( x ) f ( x ) f ( x ) 2q( x ) f ( x ) f ( x )
* * * ( x ) 1 p( x ) f ( x ) 0
解：令 f(x) = x3 – a，则牛顿迭代公式
x a 2 a xn 1 xn xn 2 2 3 xn 3 3 xn 2 a 2 2 a ( x) x 2 ( x ) 3
3 n
a ( x ) 2 4 x
3
3x
3
3x
* * ( x ) 0且 ( x ) 0

x
0
1 dx arctan( x ) arctan(0) arctan( x ) 2 1 x
1 2 3 1 a a a 1 a
( 1 a 1)

x
0
(1 a a a
2 4 6
)d a arctan( x )
x x x 1 3 5 7
2 n 2 n
是计算x C 的三阶方法。
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例16. 设 ( x ) x p( x ) f ( x ) q( x ) f ( x ), 试确
2
定函数p( x )和q( x ), 使求解f ( x ) 0根的迭 代格式 ( x )至少三阶收敛。
解:
( x ) 1 p( x ) f ( x ) p( x ) f ( x ) q( x ) f 2 ( x ) 2q( x ) f ( x ) f ( x )
1/ m
Ex3 对于复变量 z = x + i y 的复值函数 f(z) 应用牛顿迭代公式
f ( zn ) z n1 z n f ( zn )
时为避开复数运算,令 zn = xn + i yn
f(zn) = An + i Bn，f′ (zn) = Cn + i Dn
证明
AnC n Bn Dn xn1 xn 2 2 C n Dn An Dn BnC n yn 1 yn 2 2 C n Dn
至少为二阶收敛 。
u( x ) [ f ( x )]
1/ m
1/ m 1 且u ( x ) 1 / m[ f ( x )] f ( x )
[ f ( x )] f (x) ( x) x xm 1/ m 1 ( x ) 1 / m[ f ( x )] f ( x ) f23/36
24/36
例17.
给出求xn 2 2
2 的迭代格式,并证明lim xn =2。
n
提示: 取初值x1=21/2,
迭代格式xn1 2 xn
考虑序列单调有界,则该序列必有极限。
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例18. 定理 2.5 设x*为 ( x )的不动点, ( x )在x *的某邻域连 续且 ( x ) 1, 则迭代法局部收敛。