建筑结构抗震总复习第四章-多自由度体系结构的地震反应

h2
k2
X1(t)
K2(X2-X1)
K2(X2-X1) 恢复力 fS2＝－fS21＝－k2 x2 t x1 t
m1
-m1X1
h1
k1
Xg
(a)
(b)
k1X1
惯性力 fI1＝－m1 x1 t xg t
恢复力 fS1＝－fS11 fS12＝－k1x1 t k2 x2 t x1 t (c)
12
主振型
xt
＝
x1 x2
t t
＝
X11 X12
sin
1t
1
X X
21 22
sin
2t
2
由上式可见，在一般的初始条件下，任一质点的振动都 是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动，它不 再是简谐振动，而且各质点之间位移的比值也不再是 常数，而是随时间而发生变化的。
13
振型的正交性
第四章 多自由度体系结构的地震反应
1
层间模型：假定楼板在振动过程中只发生刚体运动。 按层间变形特征，层间模型可以分为： 层间剪切模型仅考虑层间剪切变形； 层间弯曲模型仅考虑层间弯曲变形； 层间弯剪模型同时考虑层间剪切和弯曲变形。
2
多自由度体系的自由振动
X2(t)
m2
-m2X2 惯性力 fI 2＝－m2 x2 t xg t
矩阵；而 xt 和 xt 称为体系的加速度矢量和位
移矢量。如考虑阻尼影响，则体系的运动方程为
M xtCx t K x t ＝－M Ixg t （4.4）
矩阵[C]称为体系的阻尼矩阵,如采用瑞利阻尼假定，则阻 尼矩阵为
C＝0 M 1 K 其中，0， 1为与体系有关的常数
6
多自由度体系的自振频率及振型
Fi t ＝－mi xg t xi t
n
由式（4.54）
j X ji＝1
j＝1
，xg
t
可写成
n
n
xg t ＝xg t
j
X
j
＝
i
xg t j X j i
j＝1
j＝1
而由式（4.53）
n
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n
xi t ＝
q
j
t
X
＝
ji
j j t X ji
，可知
j＝1
j＝1
n
xi t ＝
j j t X ji
振型的正交性，是指在多自由度体系中，任意两个不 同频率的主振型间，都存在着下述互相正交的性质：
设i为第i个频率，对应的振型为{X}i，j为第j个频率，
对应的振型为{X}j，则有：
XT M X ＝0 i j
i
j
（4.18）
XT KX ＝0 i j
i
j
（4.19）
14
多自由度体系的振型分解法
一、振型分解法基本概念 1.思路：利用各振型的正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干
• 当需要对建筑结构进行地震作用下的时程分析时，一 般均采用数值计算方法，较为常用的是Wilson-法及 第三章介绍过的线性加速度法。
24
本 章 结 束！
25
两个自由度的层间剪切模型计算简图
3
运动方程的建立
根据达朗贝尔原理上述两力构成平衡力系（暂不考虑 阻尼影响）
质点1 fI1 fS1＝－m1x1 t m1xg t －k1x1 t k2x2 t k2x1 t ＝0
即 质点2
即
m1x1 t k1 k2 x1 t k2x2 t ＝－m1xg t fI 2 fS2＝－m2x2 t －m2xg t －k2 x2 t x1 t ＝0
15
16
多自由度体系地震反应振型分解法的求解步骤
1）求体系的自振频率和振型；
2）计算振型参与系数j；
3）求解耦的各阶单自由度体系的广义坐标qj(t)； 4）按振型叠加原理计算各质点的位移：
n
n
{x(t)} {X ( j)}q j (t) {X ( j)} j j (t)
j 1
j 1
17
振型分解反应谱法 多自由度体系的水平地震作用可用各质点所受的惯性力来 代表，故质点i上的地震作用为
22
3.总底部剪力的分配
FEk＝1Geq
(4.67)
根据第一振型近似为直线的假定，取
X1i＝ Hi
(4.68)
式中，Hi为质点i的计算高度，将式（4.68）代入式（4.67）
F1i＝1 1 Hi Gi
(4.69)
再根据各质点的水平地震作用之和等于总水平地震作用的条 件，得
11＝ n FEk
HiGi
不一定也达到最大。从而结构地震作用的最大值并不等于各
振型地震作用最大值之和，根据随机振动理论，近似地取
“平方和开方”。
20
底部剪力法(寻求更为简便的适合设计的方法） 适用条件： • 结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； • 房屋的总高度不超过40m； • 建筑结构在地震作用下的变形以剪切变形 为主； • 建筑结构在地震作用时的扭转效应可忽略 不计。 结构在地震作用下的反应一第一振型为主， 图 3-18 底部剪力法地震作用分布 且近似为直线。
m2x2 t k2 x2 t k2 x1 t ＝－m2xg t
（4.1） （4.2）
4
运动方程的建立
将式（4.1）和式（4.2）合并写成矩阵形式，有
m1
0
0 m2
x1 x2
t t
k1 k2
－k2
－k2 k2
x1 x2
t t
＝－m01
0 xg t
m2
xg
t
令
x11 t X11
k2
对应于2
x22 t ＝ X 22 ＝k1 k2 m122
x21 t X 21
k2
上述比值与时间无关，且为常数。也就是说，当体系按其 自振频率振动时，两个质点的位移比值始终保持不变， 这种特殊的振动形式通常称为主振型，或简称振型，当 体系按1振动时称第一振型或基本振型，当按2振动时 称第二振型。
2k2 m2
（4.11）
可得到的两个正号实根，它们就是两自由度体系的两个自振
圆频率。其中较小的一个1为第一自振圆频率或基本自振圆频
率，T1=2π/ 1 为第一自振周期；较大的一个2称为第二自振
圆频率， T2=2π/ 2 为第二自振周期。
9
主振型
K
2
M
X X
1 2
＝0
将求得的1和2分别代入式（4.7），可求得质点 l、
21
《抗震规范》规定，当n=1时，取ζ=1，而当n >1时，取ζ
=0.85，并定义等效总重力荷载代表值Geq=GE，其底部
剪力（或称总水平地震作用）为
n 1时 n 1时
FEk＝1 Geq 1GE 1GE FEk 1 Geq 1GE 0.851GE
GE—为总重力荷载代表值，Geq—为等效总重力荷载代表值
•利用单自由度反应谱
Fji
＝
,max
xg
t
g
j
t
Gi j X ji
max
（4.60）
＝
j
xg
t j
g
t
max
（4.61）
aj为对应于j振型自振周期为 Tj＝2 / j 的单自由度体系 的地震影响系数，可按单自由度体系的地震影响系数确定。
19
对应于第j振型质点i的最大地震作用为
Fji
＝
,max
i 1
代入（4.69）式得
F1i＝
H i Gi
n
FEk
H iGi
i 1
(4.70)
23
4.5 多自由度体系地震反应的时程分析
• 对于特别不规则的建筑、特别重要的建筑，以及房屋 高度和设防烈度较高的建筑，规范规定，宜采用时程 分析法进行补充计算；
• 当进行房屋结构的弹塑性变形验算时，由于结构已出 现了明显的非线性，振型分解反应谱法已不再适用， 而需采用弹塑性时程分析法。
j＝1
（4.57）
18
从而 式中
Fi t ＝－mi n j X j i xg t j t ＝ n Fji t
j＝1
j＝1
Fji t ＝－mi j X ji xg t j t
(4.59)
称为对应于第j振型质点i的水平地震作用
相当于单自由度的地震反应考虑了振型参与系数
(4.58)
xg
t
g
j
t
Gi j X ji
max
Fji,max＝ j j X jiGi
（4.62）
利用规范给出的反应谱曲线，可方便地求得对应于某一振型各
质点的最大地震作用所产生的作用效应Sj(弯矩、剪力、轴力、 位移等)。各振型产生的地震作用效应(平方和开方,SRSS法)
n
S＝
S
2 j
j＝1
(4.63)
S为总的地震作用效应，Sj为对应于第j振型的地震作用效应。 当某一振型的地震作用达最大值时，其余各振型的地震作用
解之可得
2
2
k1 k2 m1
k2 m2
2
k1k2 m1m2
＝0
2
2＝
1 2
k1 k2 m1
k2 m2
1 4
k1 k2 m1
k2 m2
k1k2 m1m2
化简后，可得
（4.10）
2＝
1
k1
k2
k2
2
m1
m2
k1 m1
k2 m2
2
k2 m1
2k1 k2 m1
[M
]
m1
0
0
m2
[K
]
k1 k2
－k2
－k2
k2
I＝11
x(t
)
x1 x2
t t
x(t
)
x1 x2
t t
则两自由度体系的运动方程可写成
M xtKxt＝－M Ixg t
多自由度体系的运动方程也可以按上式表示
（4.3）
5
运动方程的建立
矩阵[M]称为体系的质量矩阵；矩阵[K]称为体系的刚度
2的位移幅值X1和X2 ；解X1和X2不是唯一的。
对应于1 ，令X1和X2的解为X11和X12
对应于2 ，令X1和X2的解为X21和X22
由式（4.7）
对应于1 对应于2
X12 ＝ k1 k2 m112
X11
k2
X 22 ＝ k1 k2 m122
X 21
k2
10
主振型
x(t)
x1 x2
互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系的动力计算变为若 干个单自由度体系的问题； 2. 假设： （1）结构物的反应是弹性的，可以采用叠加原理进行振型组合。 （2）结构物最不利的地震反应为最大的地震反应，而与其他的动力反 应参数无关。 3.求解：在求得了各单自由度体系的解后，再将各个解进行组合，从而 可求得多自由度体系的地震反应。
自振频率
令式（4.4）右端项为零并忽略阻尼的影响，即得该 体系的无阻尼自由振动方程为
M xtKxt＝0
（4.5）
考虑两自由度体系的情况，令位移矢量
x(t)
x1 x2
(t) (t)
X1 X2
sin
t
（4.6）
式中，X1和X2分别为质点 l和质点2的位移幅值
7
将式（4.6）代入式（4.5），得
－M
X1 X2
2
sin
t
K
X1 X2
sin
t
＝0
化简得
K
2
M
X1 X2
＝0
(4.7)
要使式（4.7）有非零解，其系数矩阵行列式值必须为零， 即
K 2 M ＝0
（4.8）
或
k1 k2 m12
－k2 ＝0
－k2
k2 m22
上式称为频率方程。
（4.9）
8
将上式展开，可得关于2的二次方程
(t) (t)
X X
1 2
sin
t
由式（4.6）得体系自由振动时的位移为
对应于1 对应于2
x11 x12
t t
＝
X11 X12
sin
1t
1
x21 x22
t t
＝
X X
21 22
sin
2t
2
11
当体系分别按第一自振频率或第二自振频率振动时， 两质点的位移比值为
对应于1
x12 t ＝ X12 ＝k1 k2 m112