控制工程知识点总结(修订)

第二部分 类型题 第二章 建模 第三章 二阶 第四章 稳态响应
系统类型 伯德图 最小相位系统 频域指标 第六章 系统稳定条件 劳斯判据 奈奎斯特判据 稳定裕度 第七章 稳态误差
微分方程 → 闭环传递函数 闭环传递函数←→时域指标 闭环传递函数→G(ω)→A(ω)，φ(ω) →稳态响应 开环传递函数→0、I、II 型系统 开环传递函数←→对数幅频特性曲线 闭环传递函数→零、极点分布→最小相位系统 闭环传递函数→频域指标（谐振频率、谐振峰值） 闭环传递函数→系统稳定充要条件 闭环传递函数→特征方程→劳斯判据 开环传递函数→奈曲线→奈判据（2N=P） 开环传递函数→G(ω)→A(ω)，φ(ω) →Kg，γ 开环传递函数→静态误差系数→稳态误差
10. 稳态响应 （1）频率特性定义 ① 频率特性与传递函数的关系： G( j ) G(s)
s j
② 频率特性公式 G( j) A()e j() U() jV ()
③ 稳态响应 xo(t) A()A sin(t ())
11. 闭环频域指标
（1）常用频域性能指标： 零频幅值 M0、谐振频率r 与谐振峰值 Mr、截止频率b 与带宽、剪切率
三、开环传递函数 14. 开环频率特性
（1）典型环节
环节 A(ω)
φ(ω)
比例
K
0
1
积分

- 90
微分

90
奈奎斯特图
伯德图
1
惯性
2T 2 1 arctan T
一阶微 分
2T 2 1
arctan T
振荡
-
-
-
（2）开环频率特性
A( ) A1( )A2( ) An ( ) ( ) 1( ) 2( ) n ( )

F
(
S
) c2SY2 (S ) c1S[Y2 (S)
第一部分 知识点
知识点：1. 系统建模；2. 传递函数；3. 方块图；4. 频率特性与传递函数关系；5. 开环\闭 环传递函数；6. 一阶系统；7. 二阶系统；8. 时域指标；9. 最小相位系统；10. 稳态响应； 11. 闭环频域指标；12. 稳定性充要条件；13.劳斯判据；14.开环频率特性；15.频域特性类 型；16. 奈稳定性判据；17. 伯德图；18. 稳定裕度；19. 稳态误差

5

1 j

1 0.5j

1

1 0.2j

1
③代入公式求解 A
5
0.252 1 0.042 1
90 arctan 0.5 arctan 0.2
15. 频域特性类型
（1）标准形式
G(
j
)

(
K (1 j1 )(1 j2 )(1 jm ) j )v (1 jT1 )(1 jT2 )(1 jTnv
1. 建模（机械、电路）：建微分方程，转换成传递函数；
步骤：①列微分方程、②L 变换、③求 G(s) 重点：① 6 个表达式：质量、阻尼、弹簧、电阻、电容、电感
②
L
d
nf dt
t
n



s nF s 、 L ... f t dt n

1 sn
F s
例 1、如图所示电气系统，输入量为 ui t ，输出量为 uo t 。
a. 求极点；b. 方程转换 F s

n
i 1 s
Ai pi
；c.
求 Ai
Ai

B s

A
s
s

pi

s pi
② 共轭极点情况
③ 重极点情况
（4）解微分方程
步骤：①拉变换；②代入初始条件，整理；③拉反变换。
（5）传递函数
① 定义
② 零极点 分母=0 → 极点；分子=0 → 零点；分布图如右图
18. 稳定裕度
（1）基本概念
相位裕度γ （2）相对关系
幅值裕度 Kg
（3）物理意义 ① 相位裕度和谐振峰值 Mr 反映了过渡过程的平稳性，它们与时域指标超调量 Mp 相对应； ② 剪切频率c 、谐振频率r，反映了响应的快速性，它们与时域指标调整时间 ts 相对应。 （4）解题思路（必考，步骤见后面）
其中 L 4 亨利， R 1.5欧， C 2 法。试求系统的微分方程式及其传递函数。
L ui(t)
R
uo(t) C
解：设 I 为电流，可得：
ui

Ri L di 1 dt C
uo

1 C

idt

idt
整理得，系统的微分方程式：
LC
d
2uo (t) dt 2

RC
（6）典型环节
3. 方块图
（1）运算法则
串
联
并
联
（2）变换法则
分支点
前移
后移
反 馈
前移
相加点
后移
4. 频率特性与传递函数关系
5. 开环/闭环传递函数
标准形式
单位负反馈
图示
开 GK (s) G(s)H(s)
环
GK (s) G(s)
闭 环
(s) G(s) 1 G(s)H(s)
(s) G(s) 1 G(s)
峰值时间
响应超过其稳态值到达第一个峰值所需的时间
超调量
指响应的最大偏离值 c(tp)与稳态值 c(∞) 之差与稳态值 c(∞)的百分比
调整时间
指响应到达并保持在稳态值±5%(或±2% )内所需的最短时间
振荡次数
调节时间内，输出偏离稳态的次数
总结
（2）公式和性质
阻尼自然频率 d n 1 2
)
(n m)
（2）分类：根据积分环节个数分为 0 型系统、I 型系统、II 型系统
（3）系统奈奎斯特图
0 型系统（v=0）
I 型系统（v=1）
II 型系统（v=2）
16. 奈稳定性判据
（1）原始判据定义 系统的开环频率特性 G(jω)H(jω)，当 ω 从-∞变化到+∞时逆时针包围(-1, j0)点的圈数 N，
等于其开环传递函数 G(s)H(s)在 S 平面右半部的极点数 P。 即：Z = P – N，闭环稳定的充要条件 Z=0，∴N=P; N— G(s)H(s)逆时针包围(-1, j0)点的圈数, Z — 闭环在右半平面的极点数, P — 开环在右半平面的极点数。
（2）简易判据定义 当 ω 由 0 变化到∞时，G(jω)H(jω)曲线在(-1，j0)点以左的负实轴上的正负穿越之差为
上升时间
tr

arccos n 1 2
峰值时间 超调量
tp
d
n
1 2
M p % e 12 100%
超调量（反）
调整时间 振荡次数
一定时，n 越大，tr 越小； n 一定时， 越大，tr 越大。
一定，n 越大，tp 越小；n 一定， 越大，tp 越大。
越大， Mp 越小，系统的平稳性越 好。
当一定时，n 越大，ts 越小，系统响 应越快。 越大，N 越小，系统平稳性越好
9. 最小相位系统
（1）定义：极点和零点全部位于 s 左半平面系统称为最小相位系统。 （2）性质：若→∞时，幅频特性的斜率为-20(n-m)dB/dec，相角等于-90(n-m)，其中 n、m 分别为传递函数中分母、分子多项式的阶数。
思路：标准化开环函数→转换成 G(jω) →典型环节 A(ω)，φ(ω) →求系统 A(ω)，φ(ω)
例 已知系统开环传递函数G s

ss

10 2 0.2s

1
，求系统 A(ω)，φ(ω)
解：①标准化
G s

5

1 s

1 0.5s
1

1 0.2s

1
②转换
G j
（2）公式（背下来）
谐振频率: r n 1 2 2
谐振峰值： M r
2
1 1 2
12. 稳定性充要条件
（1）特征方程：系统闭环传递函数分母等于零； （2）充要条件：系统特征方程的根均具有负的实部，另一种说法，系统特征方程的根全部 位于 s 平面的左半平面。
13.劳斯判据
（1）对象：闭环传递函数，是基于上述稳定性充要条件的代数判据，两者等价。 （2）方法：根据特征方程，建立劳斯阵列，求解，根据第一列元素，进行判断。 （3）判据描述 ① 必要条件：特征方程的各项系数全部大于 0。系数同号，且不缺项； ② 充分条件：第一列所有项全部为正。 （4）特殊情况一（第一列有元素为 0）：用ε代替 0 继续求解，结果可能有两种。 ① 第一列中，仅有一个 0 元素，没有负元素，系统有一对共轭纯虚根，临界稳定； ② 第一列中，第一列元素符号改变了两次，此时系统有 2 个正实部根（即 2 个根位于 s 平 面右半部、2 个位于 s 平面右半部的极点），系统不稳定。 （5）特殊情况二（某行元素全为 0）：由零行的上一行构成辅助方程，对辅助方程求导，用 求导后方程的系数代替 0 行，继续阵列。求解辅助方程可得系统特征根。可能结果有两种。 ① 第一列元素符号改变了两次，系统有 2 个正实部根，求解辅助方程可判断是否有共轭纯 虚根。无论有没有共轭纯虚根，此时系统都不稳定。 ② 第一列元素符号没有改变，仅有一个 0 元素，此时系统临界稳定。 （6）结题思路 ①无论给你什么条件，都转换成闭环传递函数；②特征方程；③劳斯阵列；④稳定性判断
duo (t) dt

uo
(t)

ui
(t)
带入参数得：
8
d
2uo (t dt 2
)

3
duo (t dt
)

uo
(t
)

ui
(t
)
拉氏变换得：18s2UO (s) 3sUO (s) UO (s) Ui (s)
所以传递函数为：
G(s)

UO (s) Ui (s)

8s2
1 3s
1
例 2 设图所示系统的输入为外力 f (t) ，输出为质量 m1 的位移 y2 (t) 。阻尼器 1、2 的粘性
二、闭环传递函数
6. 一阶系统
（1）典型信号 单位脉冲、单位阶跃、单位斜坡、单位加速、单位正（余）弦
（2）特征 标准形式
s

K
1 Ts 1
阶跃响应
y t

K 1

t
e T



脉冲响应
y t

K

1 T
t
e T
调整时间 3T(95%)、4T(98%)
19. 稳态误差
（1）理论计算公式（误差与偏差的关系）
ss
ess
lim sE s s 0

lim
s 0
s
1
1 G
s
Xs
（2）稳态误差表（背下来）
（3）组合信号
x(t)
R0
R1t

1 2
R 2t
2
→ X(s)
R0 s

R1 s2

R2 s3
（4）解题思路（必考，步骤见后面）
摩擦系数为 c1 、 c2 ，弹簧常数为 k 。试求系统的传递函数。
解：分别对 m1 、 m2 进行受力分析，写出其运动方程为：

f
c2 y2 c1( y2 y1) m1y2 c1( y2 y1) ky1 m2 y1
对上面的式子进行拉氏变换得到：
P/2。 （3）计算规则
①从上向下穿越过实轴一次—N+=1；穿一半—N+=1/2。 ②从下向上穿越过实轴一次—N-=1；穿一次—N+=1/2。 （4）判断准则 ①稳定：N+-N- = P/2 ②不稳定：N+-N- ≠ P/2 ③临界稳定： G(jω)H(jω)曲线正好(-1，j0)点
17. 伯德图
两种题型（开环传递函数→伯德图；伯德图→开环传递函数）必考，解题思路见后面
0 点处斜率
K
1 T
7. 二阶系统
（1）标准形式
G(s)

T
2s2
1 2Ts
1

s2

n2 2n s
n2
（2）系统分类
8. 时域指标
（1）指标定义（理解记忆）
上升时间
对非振荡系统，指响应从稳态值 10%上升到稳态值 90%所需的时间; 对振荡系统，指响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。
一、建模 1. 系统建模
（1）线性定常系统：方程组成项最高次数为 1，各项系数为常数的系统。 （2）常见系统：机械平移、机械回转、电路 （3）建立微分方程步骤：
①确定输入、输出量；②列方程；③消元；④标准型（左出右入，降幂排列） （4）常见元件
2. 传递函数
（1）拉氏变换
Hale Waihona Puke Baidu
（2）拉定理
① 线性定理f x1 x2 f x1 f x2 ；
②
微分定理
L
d nf

dt
t
n


s nF s ；③
积分定理 L ... f t dt n

1 sn
F s；
④ 初值定理f 0 lim sF s；⑤ 终值定理f lim sF s。
s
s 0
（3）拉氏反变换
① 不同实数极点情况：