正弦型曲线教案(高教版拓展模块)

1.2.2 正弦型曲线

一、教学目标

1.会用“五点法”画()sin y A x ωϕ=+的图象；会用图象变换的方法画()sin y A x ωϕ=+的图象；会求正弦型函数的周期、最值等

2.通过作图像到变换规律的探索过程，体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想；增强作图能力；了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。

3. 通过学习了解数学和生活密切相关，逐步提高学生的学习兴趣，通过合作学习强化学生集体意识、团队意识。

二、教学重、难点

1. 教学重点：利用“五点作图法”正确找出函数y ＝sin x 到y ＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律

2. 教学难点：多种变换的顺序。

三、教学设想：

（一）导入：

我们已经学习了正弦函数和余弦函数，在物理、电工和工程技术中，经常会遇到形如

()sin y A x ωϕ=+的函数，这类函数叫做正弦型函数，它与正弦函数有着密切的联系。正弦函数的图像

我们在以前已经学习了，那么()sin y A x ωϕ=+的图像又是什么呢？ （二）探讨过程：

例1画出函数1

sin ;2sin ;sin 2

y x y x y x ===

的图象（简图） 解：画简图，我们用“五点法”

∵这三个函数都是周期函数，且周期为2π ∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表：

作图：

(1) 2sin y x =的值域是［－2，2］

2sin y x =图象可看作把sin y x =上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)

(2) 1sin 2

y x =

的值域是［－21，21］

1sin 2

y x =图象可看作把2sin y x =上所有点的纵坐标缩短到原来的21

倍而得(横坐标不变)

引导,观察,启发（与sin y x =的图象作比较）结论：()sin 0y A x A =>的图象可以看作把sin y x =曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

例2 画出函数1

sin ;sin 2;sin 2

y x y x y x ===的图象（简图） 解：函数sin 2y x =的周期T ＝π

我们先画在［0，π］上的简图,在[0, π]上作图,列表：

函数sin

2

y x =的周期T ＝4π 我们画［0，4π］上的简图，列表：

作图：

(1)函数sin 2y x =的图象，可看作把sin y x =上所有点的横坐标缩短到原来的2

1

倍(纵坐标不变)而得到的

(2)函数1

sin 2

y x =的图象，可看作把sin y x =上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到

引导, 观察启发（ 与sin y x =的图象作比较） ：()sin 0y x ωω=>的图象，可看作把正弦曲线上所

有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

ω

1

倍（纵坐标不变） 例3画出函数sin ;sin ;sin 34y x y x y x ππ⎛⎫

⎛

⎫==+=- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭的简图 解：列表

作图：

(1)函数sin 3y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象，可看作把sin y x =上所有点向左平移

3

π

个单位而得到(2)函数sin 4y x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

的图象，可看作把sin y x =上所有点向右平移

4

π

个单位而得到 引导, 观察启发（与sin y x =的图象作比较）：()sin y x ϕ=+的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（0ϕ>）或向右（0ϕ<）平移ϕ个单位。

总结：一般的，函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>可以看做由下面的方法得到：首先将正弦函数上的所有点向左（0ϕ>）或向右（0ϕ<）平移ϕ个单位；然后把所得的曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

ω

1

倍（纵坐标不变）；最后把所得的曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

在物理中常用正弦型函数：()[)()

sin 0,,0,0y A x x A ωϕω=+∈+∞>>，表示振动量，其中x 表示振动的时间，y 表示所离开平衡位置的位移，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，

所以通常把A 叫做振动的振幅，函数的最大值max y A =，最小值min y A =-； 往复振动一次所需的时间2T π

ω

=

叫做这个振动的周期。

单位时间内往复振动的次数12f T ω

π

=

=

叫做振动的频率。 x ωϕ+叫做相位，0x =时的相位ϕ叫做初相。

（三）例题讲解：

例1、利用“五点法”做出正弦型函数3sin 326y x π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭在一个周期内的图像，并指出曲线经过怎样的步骤可以由正弦曲线得到。

解：1、作图（略）

2、图像变换：首先将正弦函数上的所有点向右平移

6

π

个单位；然后把所得的曲线上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）；最后把所得的曲线上的所有点的纵坐标伸长到原来的3

2

倍得到的。

例2

、指出函数sin 22y x x =+的周期，振幅及频率，并指出当角x 取何值时，函数取得最大值和最小值。

解：由于

1sin 222(sin 22)

22sin 2cos cos 2sin 2sin 2333y x x x x x x x πππ=+=+⎛⎫⎛⎫

=+=+ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝

⎭

故函数的周期为π，振幅为2，频率为

1

π

当223

2

x k π

π

π+

=+

，即12

x k π

π=+

时，函数2sin 23y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

有最大值，最大值为2； 当3223

2x k π

ππ+

=+

，即712x k ππ=+时，函数2sin 23y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭有最小值，最小值为-2；

（四）练习：

教材P15面练习1.2.2 （五）小结：

1、用“五点法”画()sin y A x ωϕ=+的图象；

2、用图象变换的方法画()sin y A x ωϕ=+的图象；

3、求正弦型函数的周期、最值等