自动控制系统的数学模型

第二章自动控制系统的数学模型

教学目的：

（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。

（2）掌握传递函数的概念及求法。

（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。

（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。

（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。

（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力

教学要求：

（1）正确理解数学模型的特点；

（2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；

（3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；

（4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传

递函数，能够熟练的掌握；

（5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；

（6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。

教学重点：

有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。

教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构

。

图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式的余子式

k

教学方法：讲授

本章学时：10学时

主要内容：

2.0 引言

2.1 动态微分方程的建立

2.2 线性系统的传递函数

2.3 典型环节及其传递函数

2.4系统的结构图

2.5 信号流图及梅逊公式

2.0引言：

什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？

1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。

１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函

数。如：微分方程，传递函数，状态方程等。

２） 静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数 2. 建立动态模型的方法

１） 机理分析法：用定律定理建立动态模型。

２） 实验法： 运用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。

3. 建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。

2.1动态微分方程的建立

无论什么系统，输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律，来反映该系统的特征。 为了使系统满足暂态性要求，必须对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型可以描述这一规律。

一、编写系统或元件微分方程的步骤：

1. 根据实际情况，确定系统的输入输出变量。

2. 从系统输入端开始，按信号传递顺序，以此写出组成系统的各个元件的微分 方程（或运动方程）。

3. 消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。

二、举例

例1 R —L —C 电路

根据电路基本原理有:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧==++dt du c i u u L R c r c dt

di

i

r c c

c u u dt du Rc dt u

d Lc =++⇒2

2

例2 质量－弹簧－阻尼系统

由牛顿定律： ∑=ma F

2

2dt

y

d m dt dy f ky F =--

F ky dt dy

f dt

y d m =++⇒22

3） 电动机：

电路方程： a a a

a a r i R dt

di L E u +=- (1) 动力学方程： dt

d J

M M c Ω

=- (2) ⎩⎨⎧=Ω=(4) (3)

a d d a i k M k E

(4) →(2) 得：(5) d

c

d a k M dt d k J i +Ω=

(3)(5)→(1) 得：

)(22c d

a

c a a r

d d a d a M k R dt dM R L u k dt d k J R dt d k J L --=Ω+Ω+Ω

整理并定义两个时间常数

m d

a

T k JR =2 机电时间常数

a a

a

T R L = 电磁时间常数 ∴ 电机方程

(........)

1

22-=Ω+Ω+Ωr d m m a u k dt d T dt

d T T 如果忽略阻力矩 即0=c M ，方程右边只有电枢回路的控制量r u ，则电机方程是一典型二阶方程

如果忽略a T （0=a T ）电机方程就是一阶的

r d

m

u k dt d T 1

=Ω+Ω

小结：本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型，介绍了系统的动态以及静态数学模型，

描述了系统的动态微分方程，并通过几个典型实例给出了求自动控制系统动态微分方程的步骤。

2.2线性系统的传递函数

求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因此对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算,可是问题分析大大简化.

1. 传递函数的定义：

传递函数：线性系统,在零初始条件下,输出信号的拉氏变换与输入拉氏变换之比，叫做系统的传递函数。

线性定常控制系统微分方程的一般表达式：

设线性定常系统由下述n 阶线性常微分方程描述：

)

()()()()

()()()(1111011110t r b t r dt d

b t r dt d b t r dt d b t

c a t c dt d

a t c dt

d a t c dt d a m m m m m m n n n n n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++------