5、机器人动力学解析.ppt
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《机器人学》
第五章、机器人动力学 战强
北京航空航天大学机器人研究所
第五章、机器人动力学
❖机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。 机器人动力学的用途：
❖机器人的最优控制；优化性能指标和动态性能、调整伺服增益； ❖设计机器人：算出实现预定运动所需的力/力矩； ❖机器人的仿真：根据连杆质量、负载、传动特征的动态性能仿真。
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的动力学系统， 存在严重的非线性，需要非常系统的方法来处理。
➢动力学的原问题：给定力/力矩，求解机器人的运动； 是非线性的微分方程组，求解困难。
➢动力学的逆问题：已知机器人的运动，计算相应的力/力矩， 即实现预定运动所需施加的力矩；不求解 非线性方程组，求解简单。
••
••
f2 D21 D22 r D211 D222 r D212 r D221 r D2
惯性力项
向心力项
哥式力项 重力项
对照可得：
••
••
••
f1 m1r12 m2r 2 2m2r r g cos (m1r1 m2r)
•2
Dijj q j : 关节j的速度在关节i上产生的向心力
Dijk qj qk , Dikj qk qj 是作用在关节i上的哥氏力
Di : 作用在关节i上的重力
••
••
•2
•2
••
••
f1 D11 D12 r D111 D122 r D112 r D121 r D1
••
••
•2
•2
r C
速度是
•
x2
•
•
r cos r sin
•
y2
•
r sin
r
•
cos
速度的模方是
• 2 • 2 •2
•2
v22 x2 y2 r r 2
2、机器人的动能
质量为m，速度为v的质点的动能定义为 Ek
1 mv2 2
连杆1和2的动能 质量m1, m2的动能
为
Ek1 Ek 2
1 2 1 2
该方程 表示关 节上的 作用力 与各连 杆运动 之间的 关系
4、Lagrange动力学方程的一般形式
••
••
••
f1 m1r12 m2r 2 2m2r r g cos(m1r1 m2r)
••
f2 m2 r m2r2 m2 g sin
••
••
•2
•2
••
••
f1 D11 D12 r D111 D122 r D112 r D121 r D1
关节1上的作用力
f1
d dt
Ek
•
q1
Ek q1
E p q1
d dt
m1r12
•
m2r 2
•
0
g
cos m1r1
g
cos m2r
••
••
••
m1r12 m2r 2 2m2r r g cos (m1r1 m2r)
关节1是转动关节，所以 f1是转矩，即
••
••
1 (m1r12 m2r 2 ) 2m2r r g cos (m1r1 m2r)
L Ek Ep
动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示，不局限于笛卡儿坐标
假设机器人的广义坐标为 qi ,i 1,2, , n
则该机械系统的动力学方程为：
fi
d dt
L
•
qi
L qi
（5-1）
qi qi
是直线坐标，fi 是角度坐标，fi
是 是力 力矩 ；广义力
fi
d dt
LBiblioteka Baidu
•
qi
L qi
广义速度
••
••
•2
•2
••
••
f2 D21 D22 r D211 D222 r D212 r D221 r D2
Dii : 关节i的有效惯量；Dii qi 是关节i的加速度在关节i上产生的作用力矩
Dij (i j) : 关节j对i的耦合惯量；Dij qj 是关节j的加速度在关节i上的作用力矩
机器人的总势能为 Ep Ep1 Ep2 m1gr1 sin m2 gr sin
4、机器人的动力学方程
根据式5-2，分别计算关节1和关节2上的力/力矩
机器人的总动能为 Ek
1 2
m1r12
•2
1 2 m2
•2
r
1 2
m2
r
2
•2
机器人的总势能为 Ep m1gr1 sin m2 gr sin
m1v12 m2v22
1 2
m1r12
•2
1 2
•
m2[r
2
r
2
•2
]
机器人的总动能为 Ek
Ek1
Ek2
1 2
m1r12
•2
1 2 m2
•2
r
1 2
m2
r
2
•2
3、机器人的势能
质量为m，高度为h的质点的势能定义为 Ep mgh
连杆1和2的势能为
E E
p1 p2
m1 gr1 m2 gr
sin sin
将 L Ek E p 代入到（5-1）式中：
fi
(d dt
Ek
•
qi
Ek qi
)( d dt
E p
•
qi
Ep ) qi
•
由于势能Ep不显含 qi ，i 1, , n，Lagrange动力学方程也可写成：
fi
d dt
Ek
•
qi
Ek qi
Ep qi
（5-2）
例：图示R-P机器人，求其动力学方程。
v12
x2 1
y2 1
r12
笛卡儿
Cartesian(Latin)[ka:’ti:zjən] Descartes[dei’ka:t]: 法国哲学家、 数学家、物 理学家，1596-1650，将笛 卡尔坐标体系公式化而被 认为是解析几何之父。
质心 m2的位置是
x2 y2
r r
cos sin
加速度部分 速度部分 位置部分
关节2上的作用力
••
f2 m2 r m2r2 m2 g sin
关节2是移动关节，所以f2是作用力
该R-P机器人的动力学方程为：
••
••
••
f1 m1r12 m2r 2 2m2r r g cos (m1r1 m2r)
••
f2 m2 r m2r2 m2 g sin
1、质心的位置和速度
r
m2
为了写出连杆1和连杆2（质量 m1和 m2）的动能和势能，需要 知道它们的质心在共同的笛卡 儿坐标系中的位置和速度。
r1
Y
m1
X
质心 m1 的位置是
x1 y1
r1 r1
cos sin
r1 C
速度是
•
x1
•
r1
sin
•
•
y1 r1 cos
速度的模方是
••
•2
动力学方法很多，如Lagrange、Newton-Euler、Gauss、Kane、 Screw、Roberson-Wittenburg。
5.1 Lagrange动力学方法
Lagrange法：能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程， 而且具有显式结构。
Lagrange函数L定义：任何机械系统的动能 Ek和势能E p 之差
第五章、机器人动力学 战强
北京航空航天大学机器人研究所
第五章、机器人动力学
❖机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。 机器人动力学的用途：
❖机器人的最优控制；优化性能指标和动态性能、调整伺服增益； ❖设计机器人：算出实现预定运动所需的力/力矩； ❖机器人的仿真：根据连杆质量、负载、传动特征的动态性能仿真。
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的动力学系统， 存在严重的非线性，需要非常系统的方法来处理。
➢动力学的原问题：给定力/力矩，求解机器人的运动； 是非线性的微分方程组，求解困难。
➢动力学的逆问题：已知机器人的运动，计算相应的力/力矩， 即实现预定运动所需施加的力矩；不求解 非线性方程组，求解简单。
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f2 D21 D22 r D211 D222 r D212 r D221 r D2
惯性力项
向心力项
哥式力项 重力项
对照可得：
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f1 m1r12 m2r 2 2m2r r g cos (m1r1 m2r)
•2
Dijj q j : 关节j的速度在关节i上产生的向心力
Dijk qj qk , Dikj qk qj 是作用在关节i上的哥氏力
Di : 作用在关节i上的重力
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•2
•2
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f1 D11 D12 r D111 D122 r D112 r D121 r D1
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•2
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r C
速度是
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x2
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r cos r sin
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y2
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r sin
r
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cos
速度的模方是
• 2 • 2 •2
•2
v22 x2 y2 r r 2
2、机器人的动能
质量为m，速度为v的质点的动能定义为 Ek
1 mv2 2
连杆1和2的动能 质量m1, m2的动能
为
Ek1 Ek 2
1 2 1 2
该方程 表示关 节上的 作用力 与各连 杆运动 之间的 关系
4、Lagrange动力学方程的一般形式
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f1 m1r12 m2r 2 2m2r r g cos(m1r1 m2r)
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f2 m2 r m2r2 m2 g sin
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•2
•2
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f1 D11 D12 r D111 D122 r D112 r D121 r D1
关节1上的作用力
f1
d dt
Ek
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q1
Ek q1
E p q1
d dt
m1r12
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m2r 2
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0
g
cos m1r1
g
cos m2r
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m1r12 m2r 2 2m2r r g cos (m1r1 m2r)
关节1是转动关节，所以 f1是转矩，即
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1 (m1r12 m2r 2 ) 2m2r r g cos (m1r1 m2r)
L Ek Ep
动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示，不局限于笛卡儿坐标
假设机器人的广义坐标为 qi ,i 1,2, , n
则该机械系统的动力学方程为：
fi
d dt
L
•
qi
L qi
（5-1）
qi qi
是直线坐标，fi 是角度坐标，fi
是 是力 力矩 ；广义力
fi
d dt
LBiblioteka Baidu
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qi
L qi
广义速度
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•2
•2
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f2 D21 D22 r D211 D222 r D212 r D221 r D2
Dii : 关节i的有效惯量；Dii qi 是关节i的加速度在关节i上产生的作用力矩
Dij (i j) : 关节j对i的耦合惯量；Dij qj 是关节j的加速度在关节i上的作用力矩
机器人的总势能为 Ep Ep1 Ep2 m1gr1 sin m2 gr sin
4、机器人的动力学方程
根据式5-2，分别计算关节1和关节2上的力/力矩
机器人的总动能为 Ek
1 2
m1r12
•2
1 2 m2
•2
r
1 2
m2
r
2
•2
机器人的总势能为 Ep m1gr1 sin m2 gr sin
m1v12 m2v22
1 2
m1r12
•2
1 2
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m2[r
2
r
2
•2
]
机器人的总动能为 Ek
Ek1
Ek2
1 2
m1r12
•2
1 2 m2
•2
r
1 2
m2
r
2
•2
3、机器人的势能
质量为m，高度为h的质点的势能定义为 Ep mgh
连杆1和2的势能为
E E
p1 p2
m1 gr1 m2 gr
sin sin
将 L Ek E p 代入到（5-1）式中：
fi
(d dt
Ek
•
qi
Ek qi
)( d dt
E p
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qi
Ep ) qi
•
由于势能Ep不显含 qi ，i 1, , n，Lagrange动力学方程也可写成：
fi
d dt
Ek
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qi
Ek qi
Ep qi
（5-2）
例：图示R-P机器人，求其动力学方程。
v12
x2 1
y2 1
r12
笛卡儿
Cartesian(Latin)[ka:’ti:zjən] Descartes[dei’ka:t]: 法国哲学家、 数学家、物 理学家，1596-1650，将笛 卡尔坐标体系公式化而被 认为是解析几何之父。
质心 m2的位置是
x2 y2
r r
cos sin
加速度部分 速度部分 位置部分
关节2上的作用力
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f2 m2 r m2r2 m2 g sin
关节2是移动关节，所以f2是作用力
该R-P机器人的动力学方程为：
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f1 m1r12 m2r 2 2m2r r g cos (m1r1 m2r)
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f2 m2 r m2r2 m2 g sin
1、质心的位置和速度
r
m2
为了写出连杆1和连杆2（质量 m1和 m2）的动能和势能，需要 知道它们的质心在共同的笛卡 儿坐标系中的位置和速度。
r1
Y
m1
X
质心 m1 的位置是
x1 y1
r1 r1
cos sin
r1 C
速度是
•
x1
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r1
sin
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y1 r1 cos
速度的模方是
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•2
动力学方法很多，如Lagrange、Newton-Euler、Gauss、Kane、 Screw、Roberson-Wittenburg。
5.1 Lagrange动力学方法
Lagrange法：能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程， 而且具有显式结构。
Lagrange函数L定义：任何机械系统的动能 Ek和势能E p 之差