第三章 地图的数学基础分析

第三章地图的数学基础

第一节地图投影的概念

地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独立的学科。

我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确的辨认使用各种常用的投影。

一、地球的形状和大小

地球的形状近似于一个球体，但并不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似于梨形的椭球体。这个不规则的地球体满足不了测绘工作的需要，于是人们选择了一个最接近地球形状的旋转椭圆体表示地球，称为地球椭球体。

地球椭球体的大小，由于推算所用资料、年代和方法不同，许多科学家所测定地球椭球体的大小也不尽相同，我国1953年以前采用海福特椭球体，从1953年起采用克拉索夫斯基椭球体，它的长半径a=6378245m，短半径b=6356863m ，偏率d=a-b/a=1：298.3 这是原苏联科学家克拉索夫斯基1940年测定的。

由于地球椭球体长短半径差值很小，约21km，在制作小比例尺地图时，因为缩小的程度很大，如制作1：1000万地图，地球椭球体缩小1000万倍，这时长短半径之差只是2.1mm，所以在制作小比例尺地图时，可忽略地球扁率，将地球视为圆球体，地球半径为6371km。制作大比例尺地图时必须将地球视为椭球体。

二、地图表面和地球球面的矛盾

地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。无论是将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是在赤道结合，他们都是有裂隙的。

三、地图投影的概念

球面上任一点的位置是用地理坐标（φ、λ）表示的，而平面上点的位置是用直角坐标

（纵坐标是x,横坐标是y）表示的，所以要将地球球面上

的点转移到平面上，必须采用一定的数学方法来确定地理

坐标与平面坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立

点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。

球面上任意一点的位置决定于它的经纬度，所以实际

投影时是先将一些经纬线的交点展绘在平面上，再将相同

经度的点连成经线，相同纬度的点连成纬线，构成经纬线

网。有了经纬线网后，就可以将球面上的地理事物，按照

其所在的经纬度，用一定的符号画在平面上相应位置处。

由此看来，地图投影的实质是将地球椭球面上的经纬网按

一定的数学法则转移到平面上。经纬线网是绘制地图的

“基础”，是地图的主要数学要素。

四、地图投影的方法

1.几何投影（透视投影）

假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地图投影面除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除了位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面这一对矛盾的一种方法。

2.解析法

随着科学生产的发展，几何透视法远远不能满足编制各种类型地图

的需要，这样推动了地图投影的发展，出现了解析法。所谓解析法就是

不借助于几何投影光源（而仅仅借助于几何投影的方式），按照某些条

件用数学分析法确定球面与平面之间点与点之间一一对应的函数关系。

X=f1(φ、λ)

Y=f2(φ、λ)

函数的f1f2具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系

式，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。

第二节地图投影的变形

一、变形的概念

由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无论采用什么投影方法，投影后经纬

网的形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须了解投影后产生得变形，所以投影变形问题是地图投影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布规律，具有重大的实际应用价值。

二、研究变形的方法

研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们分析一下地球仪上经纬网的特点：

1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。

2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。

3.经线和纬线是相互垂直的。

4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。

5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。

二、研究变形的方法

研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们分析一下地球仪上经纬网的特点：

1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。

2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。

3.经线和纬线是相互垂直的。

4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。

5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。

二、研究变形的方法

研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们分析一下地球仪上经纬网的特点：

1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。

2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。

3.经线和纬线是相互垂直的。

4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。

5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。

三、投影变形的相关概念

1.长度比和长度变形

设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds’,如图所示。

平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：

μ=ds’/ds

长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。

通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：

m2+n2=a2+b2

m·n·sinθ=a·b

用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度比（μ）与1之差，用v表示长度变形则：v=μ-1

由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。

2.主比例尺和局部比例尺

平常地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小，如制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。由于投影后有变形，所

以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。

注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。

3.主方向

由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点，过o作两条垂线ac和bd，投影后为a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc为直角，投影后分别为钝角a’o’b’和锐角b’o’c’。

设想ac、bd二垂线相对位置保持不便，并绕o点顺时针旋转，当旋转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的锐角转变成钝角；同样的，直角boc转到了cob 的位置，它的投影由原来的钝角变为锐角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。那么在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。

在主方向上，具有极大和极小长度比。例如高斯-克吕格投影，经纬线投影后均保持垂直。所以该投影中，经纬线方向就是主方向。经纬线投影后为正交，经纬线方向就是为主方向。但也有一些投影后经纬线斜交，因此，主方向与经纬线方向并不一致。

4.变形椭圆

在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接触点位置外，一般情况下为椭圆，下面我们用数学方法验证一下。

设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为

x2+y2=1

o’为o的投影，以主方向作为坐标轴，M‘（x’,y’）是M（x,y）的投影，令主方向长度比为a和b，则:

x’/x= a, y’/y= b

则:x =x’/a, y =y’/b

(x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得

x2/a2+y2/b2=1

这是一个椭圆方程，这表明该微小圆投影后为长半径为a短半径为b的椭圆，这种椭圆可以用来表示投影后的变形，故叫做变形椭圆。

在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为b<μ

5.面积比与面积变形

投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=π12为例，以P表示面积比，则: P=dF’/dF=abπ/π12=ab

上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时：P=mn

若经纬线方向不是主方向时，则面积比:

P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)

面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就是面积比与1之差，以Vp表示。

Vp=p-1

面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。

6.角度变形

投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。

7.等变形线

在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。

等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状，在方位投影中，因投影中心点无变形，从投影中心向外变形逐渐增大，等变形线成同心圆状分布。

等变形线通常是用点虚线来表示的。

第三节地图投影的分类

地图投影的种类很多，由于分类的标志不同，分类的方法也不同。

一、按变形性质分类

地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、角度和面

积三种，根据变形特征可分为：等角投影、等积投影和任意投影三

种。

1.等角投影（正形投影）

角度变形为0，地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的

微小圆，其形状保持不变，只有长度和面积变形。等角投影的条件

是：

w=0

sin(w/2)=(a—b)/（a+b)=0

a=b，m=n

等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地

点长度比是不同的。

多用于编制航海图、洋流图、风向图等地形图。

2.等积投影

投影后图形保持面积大小相等，没有面积误差。也就是球面上的不同地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆，但椭圆的形状不一样。因此有角度和长度变形。

等积投影的条件是：

Vp=p―１＝０p=1

因为p=ab

所以a=1/b或b=1/a

由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利

于在图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地

图和经济地图。

3.任意投影

任意投影是既不等角也不等积的投影。这种投影的特点是面

积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。

在任意投影中，有一种特殊的投影，叫做等距投影，其条件

是，m=1。即误差椭圆上的一个半径和球面上相应微小圆半径相等。

如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。通过比较可以看出：

①等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性。

②任意投影不能保持等积、等角特性。

③等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。

二、按构成方法分类

1.几何投影

几何投影是把地球球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到的，根据几何面的形状，可进一步分为如下几类：

⑴方位投影以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

⑵圆住投影以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

⑶圆锥投影以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

2.非几何投影

不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆住投影、伪圆锥投影和多圆锥投影等。