一维水量水质模型

第七章 一维非恒定河流和河网水量水质模型

对于中小型河流， 通常其宽度及水深相对于长度数量较小， 扩散质（污染物 质、热量）很容易在垂向及横向上达到均匀混合， 即扩散质浓度在断面上基本达 到均匀状态。这种情况下， 我们只需要知道扩散质在断面内的平均分配状况， 就 可以把握整个河道的扩散质空间分布特征， 这是我们可以采用一维圣维南方程描 述河流水动力特征或水量特征（水位、流量、槽蓄量等） ；用一维纵向分散方程 描述扩散质在时间及河流纵向上的变化状况。 特别地， 对于稳态水流， 可以采用 常规水动力学方法推算水位、 断面平均流速的沿程变化； 采用分段解析解法计算 扩散质浓度沿纵向的变化特征。 但是，在非稳态情况下 （水流随时间变化或扩散 质源强随时间变化） 解析解法将无能为力 （水流非恒定） 或十分繁琐 （水流稳态、 源强非恒定），这时通常采用数值解法求解河道水量、水质的时间、空间分布。 在模拟方法上， 无论是单一河道还是由众多单一河道构成的河网， 若采用空间一 维手段求解， 描述水流、水质空间分布规律的控制方程是相同的， 只不过在具体 求解方法上有所差异而已。

7.1 单一河道的控制方程 7.1.1 水量控制方程

采用一维圣维南方程组描述水流的运动，基本控制方程为：

(1)

Q x

Z

B W

t

q

Q

Q Z 2 A

2

nu

Q

2u gA

u

g

4/3 0

(2)

t

x

x

x R

式中 t 为时间坐标， x 为空间坐标， Q 为断面流量， Z 为断面平均水位， u 为断面 平均流速， n 为河段的糙率， A 为过流断面面积， B W 为水面宽度（包括主流宽度 及仅

起调蓄作用的附加宽度） ， R 为水力半径， q 为旁侧入流流量（单位河长上 旁侧入流场）。此方程组属于二元一阶双曲型拟线性方程组，对于非恒定问题， 现阶段尚无法直接求出其解析解， 通常用有限差分法或其它数学离散方法求其数 值解。在水流稳态、 棱柱形河道条件下， 上述控制方程组退化为水力学的谢才公 式，可采用相应的方法求解水流特征。

7.1.2 扩散质输运控制方程 描述河道扩散物质运动及浓度变化规律的控制方程为： 带源

的一维对流分散 （弥散）方程，形式如下：

（AC ）

（QC ）

AE x

c KAC A S

r

S （3）

t x

x x

x h r

式中，C 为污染物质的断面平均浓度， Q 为流量， E x 为纵向分散系数， S 为单位 时间内、单位河长上的污染物质排放量， K 为污染物降解系数， S r 为河床底泥释 放污染物的速率。

下角标 i+1/2 表示断面 i 与断面 i+1 河段的均值。按照同样的方法，可得动量方 程的差分方程：

E i Q i G i Q i 1

F i Z i F i Z i 1 H i

此方程属于一元二阶偏微分方程， 对于非恒定水流问题， 微分方程位变系数 的偏微分方程， 现阶段尚无法直接求出其解析解， 通常用有限差分法或其它数学 离散方法求其数值解。 在水流稳态、 污染源源强恒定条件下， 可按水动力特征将 河道分为若干子段，在每个分段上，上述控制方程简化为常系数的常微分方程， 可采用解析方法秋初起理论解。

7.2 单一河道一维水量水质模型 7.2.1 单一河道一维水量模型 (1)控制方程的离散

采用四点隐式差分格式离散方程组。如图

1 所示，河道被 (n+ 1)个断面分为 n

个子河段，在第 i 个子河段 M(i,i+ 1)上，对任一变量 取：

(M ) ( i j

i j 1

) / 2

(M)

i j 1! i j 1

(1 ) i j

1 i

xx (M) t

j 1 j 1 j j

i i 1 i i 1

2t

(4)

(5)

(6)

第i 个子河段

i i+1 n n+1

图1 计算断面示意图

式中，上角标表示时间坐标，下脚标表示空间坐标。 为空间差商的权重系 数(0 1), =0

时，此格式为显式格式， 而当 0时，此格式具有隐式差分的

特征。为使差分方程保持无条件稳定， 必须 0.5 。采用下式进行阻力项的线性 化：

n 2

Qu n 2 u

j 1 n 2

u

j 1

g 4/3 g 4/3 Q i

j 1 4/3

Q i j 11

0.5 (7)

R R i R i 1

将式 (4)-(6)代入连续方程得第 i 个子河段的差分方程：

C i Z i C i Z i 1 Q i Q i 1

D i

(8)

x i

式中， C i Bw i 1/2 i

， D i

2t

(1 )

(Q i j

Q i 1j

) C i (Z i j

Z i j

1)

q

i xi

(9)

式中， E i x i

2 t 2u i 1/2

g x i 2

2

n

4/3

F i gA

2j

Bu i 1/ 2

G i

x i

2t

2u i j

1/2

g x i 2

2

n

4/ 3

i1

H i

x t

i Q i j

1/2

2

1

u i 1/2

(Q i j

j

1 2 j

j j

Q i j

1)

gA Bu 2

i 1/2(Z i j

1 Z 1j

)

对任一河段 i(i

n) ，可得到方程

组：

Q i Q i 1 D i F i Z i F i Z i 1 H i 对每一河段可列出两个线性代数方程， 再加上上下游边界条件， 构成完备的封闭 方程组，采用追赶法可求得各个断面的水位流量。 (2)边界条件 根据上有下游边界条件类型的不同可以写成如下两种追赶形式： C i Z i

E i Q i

C i Z i 1 G i Q i

1 (10)

上游水位边界条件 Z 1 Z 1* (t) ；下游水位(或流量)边界条件 Z n1 Z n 1* (t)(或 Q n 1 Q n 1 (t) )，追赶形式为： Z 1 P 1 R 1Q 1

Q 1 L 2 M 2Q 2 Z 2 P 2 R 2Q 2

Q i L i 1 M i 1Q i 1

(11)

Q n L n 1 M n 1Q i 1

Z n 1 P n 1 R n 1Q n 1

Z n 1 Z n * 1(t) (or,Q n 1 Q n * 1(t)) Z i 1 P i 1 R i 1Q i 1

式中， P,R,L,M 为已知系数，依据上述方程组，可逐步由下边界水位或者流量， 推算得到上游各个断面水位流量值 上游流量边界条件 Q 1 Q 1*

(t ) ；下游水位边界条件 Z n 1 Z n 1*

(t) ，追赶形式为：