24.4 弧长和扇形面积(第1课时)

24.4 弧长和扇形面积(第1课时)

教学内容

1．n °的圆心角所对的弧长L=180

n R π

2．扇形的概念；

3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=

2

360

n R

π；

4．应用以上内容解决一些具体题目．

教学目标

1．知识与技能

了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．

通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2

180

n R π和扇形面积

S 扇=2

360

n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．

2．过程与方法

（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．

（3）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．

3．情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．

重难点、关键

1．重点：n °的圆心角所对的弧长L=

180

n R π，扇形面积S 扇=

2

360

n R π及其它们的应用．

2．难点：两个公式的应用．

3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教具、学具准备

小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 教学过程

一、复习引入

（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题． 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？

老师点评：（1）圆的周长C=2πR （2）圆的面积S 图=πR 2

（3）弧长就是圆的一部分．

二、探索新知

（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……

5．n °的圆心角所对的弧长是_______．

（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：

n °的圆心角所对的弧长为360

n R

π

例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的

管道的展直长度，即 AB 的长（结果精确到0.1mm ）

.c

分析：要求 AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110

∴ AB 的长=

180

n R π=11040180

π

⨯≈76.8（mm ） 因此，管道的展直长度约为76.8mm

．

问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m•的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:

（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？

学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A （柱子）为圆心，5m 为半径的圆的面积．

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域应该是n °圆心角的两个半径的n °圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:

5

.c

n ︒

像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （小黑板），请同学们结合圆心面积S=πR 2的公式，独立完成下题： 1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积． 2．设圆的半径为R ，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 3．设圆的半径为R ，2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．

4．设圆的半径为R ，5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． ……

5．设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 老师检察学生练习情况并点评 1．360 2．S 扇形=

1360

πR 2

3．S 扇形=

2360

πR 2

4．S 扇形=

2

5360

R π 5．S 扇形=

2

360

n R π

因此：在半径为R

例2．如图，已知扇形

AOB 的半径为10，∠AOB=60°，求 AB 的长（•结果精确到0．1）和扇形AOB 的面积结果精确到0．1）

分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．

解： AB 的长=

60180

π×10=10

3

π≈10.5 S 扇形=

60360

π×102=

1006

π≈52.3

因此， AB 的长为25.1cm ，扇形AOB 的面积为150.7cm 2． 三、巩固练习 课本P122练习．

四、应用拓展

例3．（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．

（2）尝试与思考：如图

a 、

b 所示，•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕O 旋转，，

当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．

E

B

(a) (b)

（3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正n 边形的中心O 点处，若将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ，这时正n•边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定