数学物理方法第14章.

n1=α(m)+iβ(m ),n2=α( m )−iβ( m )，则
u(x,y)=c1emx+[α(m)+iβ(m )]y+c2emx+[α( m )−iβ( m )]y
例题14.2.4求解
解b2−4ac<0,椭圆型，上述方程有两个共轭虚根
n1=1+mi,n2=1−mi，则
u(x,y)=c1emx+[1+mi]y+c2emx+[1−mi]y
U(x,y)=f[y-(2-i)x]+g[y-(2-i)x]
如果方程为
（14.2.6）
其中A、B、C、D、E、F均为实数，则u(x,y)=emx+ny(14.2.7)
上式代入方程（14.2.6）得
Am2+Bmn+Cn2+Dm+En+F=0(14.2.8)
b2−4ac>0,双曲型，上述方程有两个不同的实根n1(m),n2(m)，则
Xy=c1)（常数），y/x=c2(常数)
做自变量变换
则题设方程可化为如下标准形式：
再作代换v=uη,将上述方程化简为
这个方程经过分离变量很容易积分。对ζ积分后，我们有
再将上式对η积分，即得u(ζ,η)=G(ζ)+
其中f(η),F(η),G(ζ)是三个任意二次连续可微函数。
恢复到原来变量x,y,就得到原方程的通解
(iii)b2−4ac<0,椭圆型，上述方程有两个共轭虚根
n1=α(m)+iβ(m ),n2=α( m )−iβ( m )，则
u(x,y)=c1emx+[α(m)+iβ(m )]y+c2emx+[α( m )−iβ( m )]y(14.2.11)
例题14.2.1求解
解: ∆=b2−4ac<0 ，对应于椭圆型方程,λ1=-2+i,λ2=-2−i,
2.更为一般的含实常系数的偏微分方程
如果方程具有更一般的形式
其中a,b,c,d,e,f均为实常数。我们可以令u(x,y)=emx+ny(14.2.7)
代入方程（14.2.6）得am2+bmn+cn2+dm+en+f=0(14.2.8)
(i)b2−4ac>0,双曲型，上述方程有两个不同的实根n1(m),n2(m)，则
由λ2-a2=0,λ1=a,λ2=-a泛定方程（14.3.1）的通解为
或u(x,y)=ey[f(x+iy）+g(x-iy)]
第14.3节
一、达朗贝尔公式
设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为
utt−a2uxx=0(−∞<x<∞, t>0)
u( x, 0)=ϕ( x)(14.3.1)
ut(x.0)=ψ(x)
容易得知偏微分方程的判别式 ∆=4a2>0 ，该方程为双曲型
u(x,y)=G(x,y)+ (14.1.2)
再求上述方程适合如下条件的解：
将式(14.1.2)代入式(14.1.3)
微分式(14.1.4),得
（14.1.6）
式（14.1.5）与式（14.1.6），解出
因此
于是
第14.2节
一、行波法
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程
为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程
其中，f(ζ)和g(ζ)是两个任意连续二次可微函数。
恢复到原来x、y,就得到原方程的通解
u(x,y)=yf(y/x)+g(y/x)
例题14.1.2求偏微分方程x2uxx-y2uyy=0 (x>0,y>0)的通解。
解：因为方程的判别式∆=B2−4AC=x2y2>0,所以方程为双曲型的，
其特征方程为（xdy+ydx）(xdy-ydx)=0因此特征曲线是如下两族曲线：
auxx+buxy-cuyy=0(14.2.1)
方程中的系数a, b, c为实常数．（说明：这里我们用了小写字母
a, b, c 表示它是实常数，而不是(x,y)的函数）
假设方程的行波解具有下列形式
u(x,y)=F(y+λx)代入方程即得
aλ2F′′(y +λx)+bλF′′(y+λx)+cF′′(y+λx)=0
u(x,y)=c1emx+n1(m)y+c2xemx+n2(m)y
例题14.2.3求解
解(i) b2−4ac=0,抛物型，上述方程有相等的实根n1=n2=1+m ，则
u(x,y)=c1emx+n1y+c2xemx+n1y
或u(x,y)=ey[f(x+y）+xg(x+y)]
(ii)b2−4ac<0,椭圆型，上述方程有两个共轭虚根
第14章
第14.1节
一、二阶线性偏微分方程的通解
例题14.1.1求偏微分方程
X2uxx+2xyuxy+y2uyy=0
的通解
解：判别式∆=B2−4AC=4x2y2-4x2y2=0,所以方程为抛物型的，其
特征方程为（xdy-ydx）2=0因此，特征曲线为 若令
，做自变量变换，原方程化为如下标准形式：
将上式对η积分两次，得u(ζ,η)=ηf(ζ)+g（ζ)
u(x,y)=F(y+λ1x)+xG(y+λ2x)(14.2.4)
(iii) ∆=b2−4ac<0，对应于椭圆型方程Biblioteka Baidu式（14.2.4）
有两个虚根λ1=α+iβ,λ2=α−iβ则
u(x,y)=F(y+λ1x)+G(y+λ2x)=F((y+αx)+iβx)+G((y+αx)-iβx) (14.2.5)
u(x,y)=c1emx+n1(m)y+c2emx+n2(m)y
例题14.2.2求解
解：（i）b2−4ac>0,双曲型，上述方程有两个不同的实根n1=m-1,n2=-m+1，则
u(x,y)=c1emx+(m-1)y+c2emx+(-m+1)y
或u(x,y)=e-yf(x+y）+e-yg(x-y)
b2−4ac=0,抛物型，上述方程有相等的实根n1(m)=n2(m) ，则
需要求方程的非零解，故
F''( y+λx) ≠0
上述方程变为
aλ2+bλ+c=0(14.2.2)
(i)∆=b2−4ac>0
对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根λ1,λ2
u(x,y)=F(y+λ1x)+G(y+λ2x)(14.2.3)
(ii)∆=b2=−4ac=0
对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根
u(x,y)=c1emx+n1(m)y+c2emx+n2(m)y(14.2.9)
(ii)b2−4ac=0,抛物型，上述方程有相等的实根n1(m)=n2(m) ，则
u(x,y)=c1emx+n1(m)y+c2xemx+n2(m)y(14.2.10)
（注明：上式中的第二项乘以 x是为了保证两根线性独立）