部分习题及答案

第一章部分习题及答案

1.证明线段的中点是仿射不变性.

D'

C'

B'

D'

C'

B'

图2---3

证明 取等腰三角形ABC(AB=AC)和不等边三角形A ′B ′C ′,如图

2--3.由平面仿射几何的基本定理有一个仿射变换T,使

T(A)=A',T(B)=B',T(C)=C'.设D 为线段BC 中点,则AD ⊥BC,且∠α=∠β,设T(D)=D ’,由T 保留简比不变,即（BCD ）=（B ′C ′D ′），于是

''''B D C D =BD

CD

=－1，因此，D ′为线段B ′D ′中点，即线段中点是仿射不变性。

2．证明三角形的中线是仿射不变性。

D

C

B

D'

C'

B'

图2——4

证明 设仿射变换T 将V ABC 变为V A ′B ′C ′，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、

AB 边的中点，由于仿射变换保留简比不变，所以D ′=T （D ），E ′=T （E ），F ′=T （F ）分别是B ′C ′、C ′A ′、A ′B ′的中点，因此，A ′D ′、B ′E ′、C ′F ′是V A ′B ′C ′R 的三条中线，如图2——4，即三角形的中线是仿射不变性。

3．证明三角形的重心是仿射不变性。

证明 如图2——4所示，设G 是V ABC 的重心，且G ′=T （G ）。因为G ∈AD ，由性质2、1.2得G ′∈A ′D ′；又因为（AGD ）=（A ′G ′D ′），即

''''A D G D =AD GD =3

1

同理 ''''B E G E =''''C F G F =3

1

∴G ′是V A ′B ′C ′的重心，即三角形的重心是仿射不变性。

4．角的平分线是不是仿射不变量？答：不是。如图2——6所示。

D C

B

D'

C' B'

图2——6

取等腰∆ABC（AB=AC）由平面仿射几何的基本定理，存在仿射变换T，使T（A）=A′、T（B）=B′、T（C）=C′。设D为线段BC中点，则AD⊥BC，且∠α=∠β，但在V A′B′C′中∠α′≠∠β′，否则，A′B′=A′C′，这与∆A′B′C′为不等腰三角形矛盾。因此，角平分线不是仿射不变性。

5．两直线垂直是不是仿身不变量？

答：不是。在上题中，AD⊥BC但A′D′不垂直于B′C′，这说明两直线垂直不是不变性。

6．证明梯形在仿射对应下仍为梯形。

证明如图2——7所示，

C

B

D

C'

D'

如图2——7

设在仿射对应下，梯形ABCD（AB∥CD，AD‖BC）功能四边形A′B′C′D′相对应，由于仿射对应保持平性不变，所以A′B′∥C′D′,A′D′‖B′C′,故A′B′C′D′为梯形，即梯形在仿射对应下仍为梯形。

7．给定点A、B，作出点C使：（1）(ABC)=4 (2)(ABC)=-

3

4

(3)(ABC)=-1

解 (1)∵(ABC)=

AC

BC

=

4

1

即

AB

AC

=3，故点C在AB延长线上，且BC=

1

3

AB，如图2——8所示。

图2——8

2

1

C

B

（2）∵（ABC）=

AC

BC

=-

3

4

,

∴

_AC BC BC =-74,即AB BC

=-74。若线段AB 七等分，点C 在AB 内部且距点A 三等分点处，如图2—9所示

8

7

6

5

4

3

21

0B C A

图2——9

（3）∵（ABC ）=-1，即AC

BC

=-1，

∴点C 为线段AB 的中点如图2—10所示

1

0.5

.

C A

图2——10

8．经过A （-3，2）和B （6，1）两点的直线被直线ｘ+3ｙ-6=0截于P ，求简比（ABP ）。

解 设AP PB =λ，则点P 的坐标为P （361－＋λ＋λ，21＋λ＋λ

），因为点P 在

直线x ＋3y －6＝0上，所以有

361－＋λ＋λ+3（21＋λ

＋λ

）－6=0 解得 λ＝1 所以（ABP ）=-

AP

BP

=-λ=-1 9.求仿射变换式使直线x ＋2y －1＝0上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）。

解 设所求仿射变换为⎩⎨

⎧++='++='2

221

11c y b x y c y b x x αα在

x+2y-1=0上

任取两点，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。而点（1，-1）变为（-1，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得

⎩⎨

⎧=+=+012211c c αα ，⎩⎨⎧-=+-=+-1333222111c b c b αα ⎩⎨⎧=+--=+-21

222

111c b c b αα 由以上方程联立解得：1α＝2 ，1b =2 ,1c =-1 ,

2α=-23

,2b =-2 ,2c =2

3

故所求的仿射变换为：⎪⎩

⎪

⎨⎧+--='-+='23223122y x y y x x

10.应用仿射变换求椭圆的面积. 解 如图2—14所示,