轴心受压构件
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2
2
crd
切线模量 临界应力
欧拉双曲线 也称柱子曲线
二、实际轴心压杆的整体稳定
实际轴心压杆有多种初始缺陷，如初始弯曲、 初始偏心、残余应力、材料不均匀，使得实际轴心 压杆与理想轴心压杆之间存在很大区别。 初始缺陷使得压杆在受力一开始就出现弯曲变 形，压杆失稳为极值型失稳。 实际轴心压杆的稳定极限承载力不再是长细比 的唯一函数。 实际轴心压杆整体稳定计算公式：
2
2
欧拉扭转失稳 临界应力：
E 2
2
绕x轴长细比： 绕y轴长细比： 扭转长细比：
l0 x x Ix A
y
l0 y Iy A
l0 I l GIt R 2 Ar0 EAr02
2 0 2
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳 对于一般的双轴对称截面，弯曲失稳的
采用换算长细比后，理想轴心压杆的弯 扭失稳临界应力的计算公式与弯曲失稳临界 应力的计算公式完全一样。
单轴对称截面弯扭失稳极限承载力计算过程： 计算换算长细比
1 2 1 2 2 x 2 2
2 x
2 2
2 x0 2 2 4 1 r 2 x 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN f A
三、轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳与弯扭失稳
钢结构压杆一般都是开口薄壁杆件，根据开口 薄壁杆件理论，具有初始缺陷的轴心压杆的弹性微 分方程为：
4 EI x v 4 v0 Nv2 Nx0 2 0 4 4 2 2 EI u u Nu Ny 0 y 0 0 4 4 2 2 2 2 2 2 2 EI GI Nx v Ny u r N R 0 0 t 0 0 0 0
（1）和（3）式相关，（2）式独立
r
2 0
Ix Iy A
2 x0
假定两端铰支时，上述微分方程的通解为： nz v C sin 1 l nz 令n=1，代入到上述微分方程得： C2 sin l
2 EI x C1 l2 N C2 Nx0 0 2 EI 2 1 C1 Nx0 C2 l 2 GIt R r 2 N r0 0 0
fy E
0
初偏心率见 P104表5-2
相对长细比 附表4-1与4-2给出了我国《冷弯薄壁型钢结构技术规范》 对Q235与Q345钢计算得到的稳定系数表，设计时直接查表。
3、按极限承载力理论计算临界应力
实际轴心受压构件存在初始弯曲、残余应力、初始偏心 等缺陷，我国《钢结构设计规范》将其作为压弯构件来处理。 实际轴心受压构件的柱子曲线分布在一个相当宽的带状 范围内，因此，用单一的柱子曲线来反映构件的整体稳定， 显然是不合理的。
三个微分方程是相互联系的
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
双轴对称截面因其剪力中心与形心重合，有
x0 y0 0
故双轴对称截面弹性微分方程简化为:
4 EI x v 4 v0 Nv2 0 绕x轴平面内弯曲失稳 4 4 2 绕y轴平面内弯曲失稳 EI u u Nu 0 y 0 4 4 2 2 2 2 2 EI GI r N R 0 0 t 0 0
2 0 2 0
2 0x 2
N Ey
EI y
2
l
2 0y
r
2 0
Ix Iy A
x y
R T x y dA
2 2 A
l0 x xl l0 y y l l0 l
计算长度系数 查P101表5-1
欧拉弯曲失 稳临界应力：
Ex
E
E E 2 Ey 2 y x
当 0.215时，
当 0.215时，
cr
fy
1 1 2
公式（5-34）
1 2 2 3 2 f y 2
或附表4查稳定系数 整体稳定计算
cr
2 3
2 2
4 2
N f A
结合下式：
2 EA 2 EA N Ex 2 N E 2 x
N E
2 EA 2
弯扭失稳临界力公式
其中换算长细比为：
1 2 1 2 2 x 2 2
2 x
2 2
2 x0 2 2 4 1 2 r x 0
柱子曲线见P105图5-5
我国《钢结构设计规范》方法： 以初弯曲为l/1000，选用不同的截面形式，不同的残余应 力模式计算出200条柱子曲线，这些曲线呈相当宽的带状分布。 根据数理统计原理，将这些柱子曲线分成a、b、c、d四组
这四条曲线具有如下形式：
当 0.215时，
当 0.215时，
Wx
m
L
x y1 y2 x y
N cr A 平
均 cr 应 力
N 1 N Ex
欧拉应力
联 合 两 式
f y 1 0 Ex 2
2
m
N
f y 1 0 Ex f y Ex 2
上式给出了关系
佩 利 公 式
cr
第5章
轴心受压构件
Chapter 5 Axial Compression Member
钢结构基本原理
Basic Principles of Steel Structure
本章基本内容：
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 §5.8 可能破坏形式 轴心受压构件的强度 实腹构件的整体稳定 格构式构件的整体稳定 整体稳定计算 实腹构件的局部稳定 格构式构件的局部稳定 轴心受压构件的刚度
绕z轴扭转失稳
此时，三个微分方程变为相互独立，可以单独分析。
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
对于理想压杆，对方程组的三式分别求解可以得到失稳临界力
u0 v0 0 0
欧拉弯曲失 稳临界力： 欧拉扭转失 稳临界力：
N Ex
N E
EI x
2
l
EI 1 l 2 GIt R r2 0 0
3、单轴对称截面在非对称平面内的弯扭失稳微分方程：
假设x轴为对称轴，则有 y0 0
4 EI x v 4 v0 Nv2 Nx0 2 0 4 4 2 EI y u u0 Nu 0 4 4 2 2 2 2 2 2 EI GI Nx v r N R 0 0 t 0 0 0
则上式的系数行列式必为0，即：
N Ex N Nx0
Nx0 0 2 N E N r0
2 2 x0 N N N 1 1 2 N N N Ex N E r 0 Ex E
结合下式
2 EA 2 EA N Ex 2 N E 2 x
5.4 轴心受压格构式构件的整体稳定 一、格构式构件的形式
给定 0 即可求得 cr 关系，我国《冷弯薄 壁型钢结构技术规范》采用了这个方法，并用下式 计算 cr / f y ，称为轴心压杆稳定系数 ：
2 cr 1 1 1 4 1 2 1 0 1 2 1 0 2 fy 2
四、弯曲失稳的极限承载力
1、弯曲失稳极限承载力的准则
边缘纤维屈服准则：截面边缘纤维的应力达到屈
服点时就认为轴心受压构件 达到了弯曲失稳极限承载力。 稳定极限承载力理论：轴心构件的压力达到极值 型失稳的顶点。
2、按边缘纤维屈服准则计算临界应力 弯曲变形的微分方程：
N
EI x v v0 Nv
cr
fy
1 1 2
1 2 2 3 2 f y 2
系数见P105表5-3
cr
2 3
2 2
4 2
截面分类见P106表5-4
五、单轴对称截面弯扭失稳的极限承载力
1、单轴对称截面在对称平面内失稳时为弯曲失稳，计算 方法同上节 2、单轴对称截面在非对称平面内失稳时为弯扭失稳，其 极限承载力计算方法不同
欧拉临界压力：
2 EA E NE 2 cr 2
2
N N E 压杆维持直线平衡 N N E 压杆维持曲线平衡，临界状态 N N E 压杆失稳
1947年，香莱(Shanley)研究了理想轴心压 杆的非弹性稳定问题，临界压力与临界应力为：
Et A Et Nt t 2 2
将以下关系代入上式
N Ex
EI x
2
l
2 0x
N E
EI 1 GI R t l2 r2 0 0
2
C1 N Ex N C2 Nx0 0 2 C Nx C N N r 2 E 0 0 1 0
nz nz 由v C1 sin ； C2 sin 知：C1 0；C2 0 l l
极限承载力小于扭转失稳，因此不会出现扭
转失稳现象，但对某些特殊截面形式如十字 形等，扭转失稳的极限承载力会低于弯曲失 稳的极限承载力。 （1）和（2）式的临界力≤（3）式
4 EI x v 4 v0 Nv2 0 4 4 2 EI y u u0 Nu 0 4 4 2 2 2 2 2 EI 0 GIt 0 r0 N R 0
5.1 轴心受压构件的可能破坏形式
一、截面的强度破坏
截面无消弱：发生整体失稳破坏而不发生强度破坏 截面有消弱：消弱处可能发生强度破坏
二、整体失稳破坏
1、整体失稳破坏过程
稳定状态 临界状态 失稳状态
2、整体失稳形式
弯曲失稳：双轴对称截面、单 轴对称截面绕非对称轴失稳 弯扭失稳：单轴对称截面绕对 称轴失稳 扭转失稳：十字形、Z字形截 面，发生弯曲失稳，也可能只 发生扭转失稳
v0 0 sin
4
4
2
0
L
x y1 y2 x y
假定压杆为两端简支，杆轴具有正弦 曲线的初弯曲，即 z
l
压杆中点最大初挠度
m
N
0 m N 1 N Ex 压杆中点的最大挠度
N
N N m 由边缘屈服准则得： fy A W x 初偏心率 A 0 0 0
三、局部失稳破坏
轴心受压构件的翼缘或腹板的宽度与厚度之 比太大就会出现局部失稳。
5.2 轴心受压构件的强度
N f An
与轴心受拉构件相同
5.3 轴心受压实腹构件的整体稳定
一、理想轴心压杆的整体稳定
18世纪，瑞士欧拉(Euler)对理想压杆模型 的稳定性进行研究，假定杆件是等截面直杆， 压力的作用线与截面形心纵轴重合，材料完全 均匀弹性。
计算相对长细比
fy E
查表找初偏心率
按边缘纤维屈服准则计算稳定系数
2 cr 1 1 1 4 1 2 1 0 1 2 1 0 2 fy 2
公式（5-32）
或按稳定极限承载力理论计算稳定系数
2
crd
切线模量 临界应力
欧拉双曲线 也称柱子曲线
二、实际轴心压杆的整体稳定
实际轴心压杆有多种初始缺陷，如初始弯曲、 初始偏心、残余应力、材料不均匀，使得实际轴心 压杆与理想轴心压杆之间存在很大区别。 初始缺陷使得压杆在受力一开始就出现弯曲变 形，压杆失稳为极值型失稳。 实际轴心压杆的稳定极限承载力不再是长细比 的唯一函数。 实际轴心压杆整体稳定计算公式：
2
2
欧拉扭转失稳 临界应力：
E 2
2
绕x轴长细比： 绕y轴长细比： 扭转长细比：
l0 x x Ix A
y
l0 y Iy A
l0 I l GIt R 2 Ar0 EAr02
2 0 2
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳 对于一般的双轴对称截面，弯曲失稳的
采用换算长细比后，理想轴心压杆的弯 扭失稳临界应力的计算公式与弯曲失稳临界 应力的计算公式完全一样。
单轴对称截面弯扭失稳极限承载力计算过程： 计算换算长细比
1 2 1 2 2 x 2 2
2 x
2 2
2 x0 2 2 4 1 r 2 x 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN f A
三、轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳与弯扭失稳
钢结构压杆一般都是开口薄壁杆件，根据开口 薄壁杆件理论，具有初始缺陷的轴心压杆的弹性微 分方程为：
4 EI x v 4 v0 Nv2 Nx0 2 0 4 4 2 2 EI u u Nu Ny 0 y 0 0 4 4 2 2 2 2 2 2 2 EI GI Nx v Ny u r N R 0 0 t 0 0 0 0
（1）和（3）式相关，（2）式独立
r
2 0
Ix Iy A
2 x0
假定两端铰支时，上述微分方程的通解为： nz v C sin 1 l nz 令n=1，代入到上述微分方程得： C2 sin l
2 EI x C1 l2 N C2 Nx0 0 2 EI 2 1 C1 Nx0 C2 l 2 GIt R r 2 N r0 0 0
fy E
0
初偏心率见 P104表5-2
相对长细比 附表4-1与4-2给出了我国《冷弯薄壁型钢结构技术规范》 对Q235与Q345钢计算得到的稳定系数表，设计时直接查表。
3、按极限承载力理论计算临界应力
实际轴心受压构件存在初始弯曲、残余应力、初始偏心 等缺陷，我国《钢结构设计规范》将其作为压弯构件来处理。 实际轴心受压构件的柱子曲线分布在一个相当宽的带状 范围内，因此，用单一的柱子曲线来反映构件的整体稳定， 显然是不合理的。
三个微分方程是相互联系的
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
双轴对称截面因其剪力中心与形心重合，有
x0 y0 0
故双轴对称截面弹性微分方程简化为:
4 EI x v 4 v0 Nv2 0 绕x轴平面内弯曲失稳 4 4 2 绕y轴平面内弯曲失稳 EI u u Nu 0 y 0 4 4 2 2 2 2 2 EI GI r N R 0 0 t 0 0
2 0 2 0
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Ix Iy A
x y
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2 2 A
l0 x xl l0 y y l l0 l
计算长度系数 查P101表5-1
欧拉弯曲失 稳临界应力：
Ex
E
E E 2 Ey 2 y x
当 0.215时，
当 0.215时，
cr
fy
1 1 2
公式（5-34）
1 2 2 3 2 f y 2
或附表4查稳定系数 整体稳定计算
cr
2 3
2 2
4 2
N f A
结合下式：
2 EA 2 EA N Ex 2 N E 2 x
N E
2 EA 2
弯扭失稳临界力公式
其中换算长细比为：
1 2 1 2 2 x 2 2
2 x
2 2
2 x0 2 2 4 1 2 r x 0
柱子曲线见P105图5-5
我国《钢结构设计规范》方法： 以初弯曲为l/1000，选用不同的截面形式，不同的残余应 力模式计算出200条柱子曲线，这些曲线呈相当宽的带状分布。 根据数理统计原理，将这些柱子曲线分成a、b、c、d四组
这四条曲线具有如下形式：
当 0.215时，
当 0.215时，
Wx
m
L
x y1 y2 x y
N cr A 平
均 cr 应 力
N 1 N Ex
欧拉应力
联 合 两 式
f y 1 0 Ex 2
2
m
N
f y 1 0 Ex f y Ex 2
上式给出了关系
佩 利 公 式
cr
第5章
轴心受压构件
Chapter 5 Axial Compression Member
钢结构基本原理
Basic Principles of Steel Structure
本章基本内容：
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 §5.8 可能破坏形式 轴心受压构件的强度 实腹构件的整体稳定 格构式构件的整体稳定 整体稳定计算 实腹构件的局部稳定 格构式构件的局部稳定 轴心受压构件的刚度
绕z轴扭转失稳
此时，三个微分方程变为相互独立，可以单独分析。
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
对于理想压杆，对方程组的三式分别求解可以得到失稳临界力
u0 v0 0 0
欧拉弯曲失 稳临界力： 欧拉扭转失 稳临界力：
N Ex
N E
EI x
2
l
EI 1 l 2 GIt R r2 0 0
3、单轴对称截面在非对称平面内的弯扭失稳微分方程：
假设x轴为对称轴，则有 y0 0
4 EI x v 4 v0 Nv2 Nx0 2 0 4 4 2 EI y u u0 Nu 0 4 4 2 2 2 2 2 2 EI GI Nx v r N R 0 0 t 0 0 0
则上式的系数行列式必为0，即：
N Ex N Nx0
Nx0 0 2 N E N r0
2 2 x0 N N N 1 1 2 N N N Ex N E r 0 Ex E
结合下式
2 EA 2 EA N Ex 2 N E 2 x
5.4 轴心受压格构式构件的整体稳定 一、格构式构件的形式
给定 0 即可求得 cr 关系，我国《冷弯薄 壁型钢结构技术规范》采用了这个方法，并用下式 计算 cr / f y ，称为轴心压杆稳定系数 ：
2 cr 1 1 1 4 1 2 1 0 1 2 1 0 2 fy 2
四、弯曲失稳的极限承载力
1、弯曲失稳极限承载力的准则
边缘纤维屈服准则：截面边缘纤维的应力达到屈
服点时就认为轴心受压构件 达到了弯曲失稳极限承载力。 稳定极限承载力理论：轴心构件的压力达到极值 型失稳的顶点。
2、按边缘纤维屈服准则计算临界应力 弯曲变形的微分方程：
N
EI x v v0 Nv
cr
fy
1 1 2
1 2 2 3 2 f y 2
系数见P105表5-3
cr
2 3
2 2
4 2
截面分类见P106表5-4
五、单轴对称截面弯扭失稳的极限承载力
1、单轴对称截面在对称平面内失稳时为弯曲失稳，计算 方法同上节 2、单轴对称截面在非对称平面内失稳时为弯扭失稳，其 极限承载力计算方法不同
欧拉临界压力：
2 EA E NE 2 cr 2
2
N N E 压杆维持直线平衡 N N E 压杆维持曲线平衡，临界状态 N N E 压杆失稳
1947年，香莱(Shanley)研究了理想轴心压 杆的非弹性稳定问题，临界压力与临界应力为：
Et A Et Nt t 2 2
将以下关系代入上式
N Ex
EI x
2
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2 0x
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EI 1 GI R t l2 r2 0 0
2
C1 N Ex N C2 Nx0 0 2 C Nx C N N r 2 E 0 0 1 0
nz nz 由v C1 sin ； C2 sin 知：C1 0；C2 0 l l
极限承载力小于扭转失稳，因此不会出现扭
转失稳现象，但对某些特殊截面形式如十字 形等，扭转失稳的极限承载力会低于弯曲失 稳的极限承载力。 （1）和（2）式的临界力≤（3）式
4 EI x v 4 v0 Nv2 0 4 4 2 EI y u u0 Nu 0 4 4 2 2 2 2 2 EI 0 GIt 0 r0 N R 0
5.1 轴心受压构件的可能破坏形式
一、截面的强度破坏
截面无消弱：发生整体失稳破坏而不发生强度破坏 截面有消弱：消弱处可能发生强度破坏
二、整体失稳破坏
1、整体失稳破坏过程
稳定状态 临界状态 失稳状态
2、整体失稳形式
弯曲失稳：双轴对称截面、单 轴对称截面绕非对称轴失稳 弯扭失稳：单轴对称截面绕对 称轴失稳 扭转失稳：十字形、Z字形截 面，发生弯曲失稳，也可能只 发生扭转失稳
v0 0 sin
4
4
2
0
L
x y1 y2 x y
假定压杆为两端简支，杆轴具有正弦 曲线的初弯曲，即 z
l
压杆中点最大初挠度
m
N
0 m N 1 N Ex 压杆中点的最大挠度
N
N N m 由边缘屈服准则得： fy A W x 初偏心率 A 0 0 0
三、局部失稳破坏
轴心受压构件的翼缘或腹板的宽度与厚度之 比太大就会出现局部失稳。
5.2 轴心受压构件的强度
N f An
与轴心受拉构件相同
5.3 轴心受压实腹构件的整体稳定
一、理想轴心压杆的整体稳定
18世纪，瑞士欧拉(Euler)对理想压杆模型 的稳定性进行研究，假定杆件是等截面直杆， 压力的作用线与截面形心纵轴重合，材料完全 均匀弹性。
计算相对长细比
fy E
查表找初偏心率
按边缘纤维屈服准则计算稳定系数
2 cr 1 1 1 4 1 2 1 0 1 2 1 0 2 fy 2
公式（5-32）
或按稳定极限承载力理论计算稳定系数