第5章 轴心受压构件

采用换算长细比后，理想轴心压杆的弯 扭失稳临界应力的计算公式与弯曲失稳临界 应力的计算公式完全一样。
单轴对称截面弯扭失稳极限承载力计算过程： 计算换算长细比
1 2 1 2 2 x 2 2



2 x

2 2

2 x0 2 2 4 1 r 2 x 0
柱子曲线见P105图5-5
我国《钢结构设计规范》方法： 以初弯曲为l/1000，选用不同的截面形式，不同的残余应 力模式计算出200条柱子曲线，这些曲线呈相当宽的带状分布。 根据数理统计原理，将这些柱子曲线分成a、b、c、d四组
这四条曲线具有如下形式：
当 0.215时，
当 0.215时，
计算相对长细比

fy E
查表找初偏心率
按边缘纤维屈服准则计算稳定系数
2 cr 1 1 1 4 1 2 1 0 1 2 1 0 2 fy 2
公式（5-32）
或按稳定极限承载力理论计算稳定系数
N f A
三、轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳与弯扭失稳
钢结构压杆一般都是开口薄壁杆件，根据开口 薄壁杆件理论，具有初始缺陷的轴心压杆的弹性微 分方程为：
4 EI x v 4 v0 Nv2 Nx0 2 0 4 4 2 2 EI u u Nu Ny 0 y 0 0 4 4 2 2 2 2 2 2 2 EI GI Nx v Ny u r N R 0 0 t 0 0 0 0
5.1 轴心受压构件的可能破坏形式
一、截面的强度破坏
截面无消弱：发生整体失稳破坏而不发生强度破坏 截面有消弱：消弱处可能发生强度破坏
二、整体失稳破坏
1、整体失稳破坏过程
稳定状态 临界状态 失稳状态
2、整体失稳形式
弯曲失稳：双轴对称截面、单 轴对称截面绕非对称轴失稳 弯扭失稳：单轴对称截面绕对 称轴失稳 扭转失稳：十字形、Z字形截 面，发生弯曲失稳，也可能只 发生扭转失稳
将以下关系代入上式
N Ex
EI x
2
l
2 0x
N E
EI 1 GI R t l2 r2 0 0
2
百度文库
C1 N Ex N C2 Nx0 0 2 C Nx C N N r 2 E 0 0 1 0
nz nz 由v C1 sin ； C2 sin 知：C1 0；C2 0 l l
三、局部失稳破坏
轴心受压构件的翼缘或腹板的宽度与厚度之 比太大就会出现局部失稳。
5.2 轴心受压构件的强度
N f An
与轴心受拉构件相同
5.3 轴心受压实腹构件的整体稳定
一、理想轴心压杆的整体稳定
18世纪，瑞士欧拉(Euler)对理想压杆模型 的稳定性进行研究，假定杆件是等截面直杆， 压力的作用线与截面形心纵轴重合，材料完全 均匀弹性。
给定 0 即可求得 cr 关系，我国《冷弯薄 壁型钢结构技术规范》采用了这个方法，并用下式 计算 cr / f y ，称为轴心压杆稳定系数 ：
2 cr 1 1 1 4 1 2 1 0 1 2 1 0 2 fy 2
5.4 轴心受压格构式构件的整体稳定 一、格构式构件的形式
极限承载力小于扭转失稳，因此不会出现扭
转失稳现象，但对某些特殊截面形式如十字 形等，扭转失稳的极限承载力会低于弯曲失 稳的极限承载力。 （1）和（2）式的临界力≤（3）式
4 EI x v 4 v0 Nv2 0 4 4 2 EI y u u0 Nu 0 4 4 2 2 2 2 2 EI 0 GIt 0 r0 N R 0
Wx
m
L
x y1 y2 x y
N cr A 平
均 cr 应 力
N 1 N Ex
欧拉应力
联 合 两 式

f y 1 0 Ex 2
2
m
N
f y 1 0 Ex f y Ex 2
上式给出了关系
佩 利 公 式
cr
2
2
欧拉扭转失稳 临界应力：
E 2
2
绕x轴长细比： 绕y轴长细比：
扭转长细比：
l0 x x Ix A
y
l0 y Iy A

l0 I l GIt R 2 Ar0 EAr02
2 0 2
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳 对于一般的双轴对称截面，弯曲失稳的
欧拉临界压力：
2 EA E NE 2 cr 2
2
N N E 压杆维持直线平衡 N N E 压杆维持曲线平衡，临界状态 N N E 压杆失稳
1947年，香莱(Shanley)研究了理想轴心压 杆的非弹性稳定问题，临界压力与临界应力为：
Et A Et Nt t 2 2
第 5章
轴心受压构件
Chapter 5 Axial Compression Member
钢结构基本原理
Basic Principles of Steel Structure
本章基本内容：
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 §5.8 可能破坏形式 轴心受压构件的强度 实腹构件的整体稳定 格构式构件的整体稳定 整体稳定计算 实腹构件的局部稳定 格构式构件的局部稳定 轴心受压构件的刚度
v0 0 sin

4
4

2
0
L
x y1 y2 x y
假定压杆为两端简支，杆轴具有正弦 曲线的初弯曲，即 z
l
压杆中点最大初挠度
m
N
0 m N 1 N Ex 压杆中点的最大挠度
N
N N m 由边缘屈服准则得： fy A W x 初偏心率 A 0 0 0
2 0 2 0
2 0x 2
N Ey
EI y
2
l
2 0y
r
2 0
Ix Iy A
x y
R T x y dA
2 2 A


l0 x xl l0 y y l l0 l
计算长度系数 查P101表5-1
欧拉弯曲失 稳临界应力：
Ex
E
E E 2 Ey 2 y x
3、单轴对称截面在非对称平面内的弯扭失稳微分方程：
假设x轴为对称轴，则有 y0 0
4 EI x v 4 v0 Nv2 Nx0 2 0 4 4 2 EI y u u0 Nu 0 4 4 2 2 2 2 2 2 EI GI Nx v r N R 0 0 t 0 0 0




绕z轴扭转失稳
此时，三个微分方程变为相互独立，可以单独分析。
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
对于理想压杆，对方程组的三式分别求解可以得到失稳临界力
u0 v0 0 0
欧拉弯曲失 稳临界力： 欧拉扭转失 稳临界力：
N Ex
N E
EI x
2
l
EI 1 l 2 GIt R r2 0 0
结合下式：
2 EA 2 EA N Ex 2 N E 2 x
N E
2 EA 2
弯扭失稳临界力公式
其中换算长细比为：
1 2 1 2 2 x 2 2



2 x

2 2

2 x0 2 2 4 1 2 r x 0
2
2
crd
切线模量 临界应力
欧拉双曲线 也称柱子曲线

二、实际轴心压杆的整体稳定
实际轴心压杆有多种初始缺陷，如初始弯曲、 初始偏心、残余应力、材料不均匀，使得实际轴心 压杆与理想轴心压杆之间存在很大区别。 初始缺陷使得压杆在受力一开始就出现弯曲变 形，压杆失稳为极值型失稳。 实际轴心压杆的稳定极限承载力不再是长细比 的唯一函数。 实际轴心压杆整体稳定计算公式：




四、弯曲失稳的极限承载力
1、弯曲失稳极限承载力的准则
边缘纤维屈服准则：截面边缘纤维的应力达到屈
服点时就认为轴心受压构件 达到了弯曲失稳极限承载力。 稳定极限承载力理论：轴心构件的压力达到极值 型失稳的顶点。
2、按边缘纤维屈服准则计算临界应力 弯曲变形的微分方程：
N
EI x v v0 Nv
当 0.215时，
当 0.215时，
cr
fy
1 1 2
公式（5-34）
1 2 2 3 2 f y 2
或附表4查稳定系数 整体稳定计算
cr


2 3
2 2

4 2
N f A
cr
fy
1 1 2
1 2 2 3 2 f y 2
系数见P105表5-3
cr


2 3
2 2

4 2
截面分类见P106表5-4
五、单轴对称截面弯扭失稳的极限承载力
1、单轴对称截面在对称平面内失稳时为弯曲失稳，计算 方法同上节 2、单轴对称截面在非对称平面内失稳时为弯扭失稳，其 极限承载力计算方法不同




（1）和（3）式相关，（2）式独立
r
2 0
Ix Iy A
2 x0
假定两端铰支时，上述微分方程的通解为： nz v C sin 1 l nz 令n=1，代入到上述微分方程得： C2 sin l
2 EI x C1 l2 N C2 Nx0 0 2 EI 2 1 C1 Nx0 C2 l 2 GIt R r 2 N r0 0 0

fy E
0
初偏心率见 P104表5-2
相对长细比 附表4-1与4-2给出了我国《冷弯薄壁型钢结构技术规范》 对Q235与Q345钢计算得到的稳定系数表，设计时直接查表。
3、按极限承载力理论计算临界应力
实际轴心受压构件存在初始弯曲、残余应力、初始偏心 等缺陷，我国《钢结构设计规范》将其作为压弯构件来处理。 实际轴心受压构件的柱子曲线分布在一个相当宽的带状 范围内，因此，用单一的柱子曲线来反映构件的整体稳定， 显然是不合理的。
则上式的系数行列式必为0，即：
N Ex N Nx0
Nx0 0 2 N E N r0
2 2 x0 N N N 1 1 2 N N N Ex N E r 0 Ex E
结合下式
2 EA 2 EA N Ex 2 N E 2 x




三个微分方程是相互联系的
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
双轴对称截面因其剪力中心与形心重合，有
x0 y0 0
故双轴对称截面弹性微分方程简化为:
4 EI x v 4 v0 Nv2 0 绕x轴平面内弯曲失稳 4 4 2 绕y轴平面内弯曲失稳 EI u u Nu 0 y 0 4 4 2 2 2 2 2 EI GI r N R 0 0 t 0 0